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三角形形状的判定及求值专题


三角形形状的判定及三角形中的求值专题
一、三角形中的诱导公式
sin(A ? B) ? sin C
sin A? B C ? cos 2 2

c o sA ( ? B) ? ? c o C s
A? B C cos ?sin 2 2

t a nA ( ? B) ? ? t a n C
A? B C t an ? cot 2 2

二、三角形形状的判定
例 1、判断下列三角形的形状 (1) sin 2 A ? sin 2 B (3) tan 2 A ? tan 2 B (2) cos 2 A ? cos 2 B (4) sin A ? cos B

例 2、判断下列三角形的形状 (1)

a b c ? ? cos A cos B cos C

(2) a ? 2b cos C

(3)

tan A sin A ? tan B sin B

(4) sin A ?

sin B ? sin C cos B ? cos C

(5) cos A ? cos B ? cos C ? 1
2 2 2

例 3、在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab ,且 2 cos A sin B ? sin C ,试判断 ?ABC 的 形状.

例 4、在 ?ABC 中,已知 (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ,试判断 ?ABC 的形状.

例 5、在 ?ABC 中,已知 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cosC ,试判断 ?ABC 的形状.
2 2 2 2

例 6、在 ?ABC 中, cos

2

A b?c ? ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2c

例 7、在 ?ABC 中, tan

A? B a?b ? ,试判断 ?ABC 的形状. 2 a?b

tan A a 2 例 8、在 ?ABC 中, ,试判断 ?ABC 的形状. ? tan B b 2

三、三角形中的求值问题
例 9、在 ?ABC 中, a ? c ? 2b ,
2 2

tan A ? 3 ,则 b ? ________. tan C

例 10、在 ?ABC 中,若 a ? c ? 2b ,则 cos A ? cos C ? cos A cos C ?

1 sin A sin C ? ______. 3

例 11、在 ?ABC 中,若 b ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos2B 的值是_________.
2

例 12、在 ?ABC 中,若 (CA ? CB ) ? AB ?

2 tan A 2 ? __________. AB ,则 tan B 5

四、练习提升
1、若 ?ABC 的三边分别为 a、b、c ,且 S ?ABC ?

a2 ? b2 ? c2 ,则 C 等于· · · · · · · · · · · · · · ( 4
D、 30?



A、 60?

B、 45?

C、 120?

? 2、若 ?ABC 的三边分别为 a、b、c ,若 2b ? a ? c ,且 A ? C ? 90 ,则 cos B ? · · · · · · · ( B )

A、

2 4

3 B、 4

C、 ?

1 4

2 D、 3


3、若把直角三角形三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为· · · · · · · · · · · · · · · · · (

A、 锐角三角形

B、直角三角形

C、 钝角三角形

D、 由加的长度决定


4、在 ?ABC 中, tan A, tan B, tanC,2 tan B 成等差数列,则 cos(B ? A) 等于· · · · · · · · · · · · · (

A、 ?

3 10 10

B、 ?

10 10

C、

10 10

3 10 D、 10

? 5、在 ?ABC 中,若 A 、 B 为锐角,且 1 ? cosC cos(A ? B) ? sin C ,则 C ? _________.( 90 )

2? , AB ? 3 , AC ? 4 , D 为 BC 的中点,则 AD 长为_________. 3 2? 1 7、在 ?ABC 中,已知 ?A ? , AB ? 3 , AC ? 4 , D 在 BC 上,且 BD ? BC ,则 AD 的长 3 3
6、在 ?ABC 中,已知 ?A ? 为___________.
x 8、 ( 2011 福建理 10)已知函数 f ( x) ? e ? x . 对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点

A, B, C , 给出以下判断, 其中正确的判断是· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (
① ?ABC 一定是钝角三角形; ③ ?ABC 可能是等腰三角形 ② ?ABC 可能是直角三角形; ④ ?ABC 不可能是等腰三角形



A、 ①③

B、 ①④
x x x

C、 ②③

D、 ②④

9、 (湖南理 16)设函数 f ( x) ? a ? b ? c ,其中 c ? a ? 0 , c ? b ? 0 . (1)记集合 M ? (a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的 三边长,且 a ? b ,则 (a, b, c) ? M 所 对应的 f ( x ) 的零点的取值集合为_________________. (2)若 a , b, c 是 ?ABC 的三边长,则下列结论正确的是____________.(写出所有正确结论的序号) ① ?x ? (??,1), f ( x) ? 0 ; ② ?x ? R ,使 a , b , c 不能构成一个三角形的三边长;
x x x

?

?

③若 ?ABC 为钝角三角形, ?x ? (1,2) ,使 f ( x) ? 0 .



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