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材料力学1第五版 第二章习题答案


§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 1、工程实例

2、拉伸与压缩的特点
F F F
F

受力特点:直杆受到一对大小相等,作用线与 其轴线重合的外力F作用。 变形特点:杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压 杆。

§2-2 内力· 截面法· 轴力及轴力图
Ⅰ、内力
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部 各质点间相互作用的力的改变量。
F F

F

F

根据可变形固体的连续性假设可知,物体内部 相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力 系,我们所说的内力是该内力系的合成(力或 力偶)

Ⅱ、截面法· 轴力及轴力图 求内力的一般方法——截面法 步骤: (1)截: (2)取: (3)代: (4)平:
(a) (b) (c)

F F F FN
m
m m m

m m x

F

FN
x m m

(d)

F

(a)

F F
FN
m

m
m

F

(b)

FN
x m m

FN ? ? F
F

m

(c)

可看出:杆件任一横截面上的内力,其作用线均与 杆件的轴线重合,因而称之为轴力,用记号FN表示。

轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力(背离截面); 引起压缩变形的轴力为负——压力(指向截面)。
(a)

F F
m m

m m

F

(b)

FN
x m m

FN ? ? F
F

(c)

FN

(a)

F

m
m

F

(b)

F
FN

m

FN
x m m

m

FN ? ? F
F

(c)

若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位臵,用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值, 所绘出的图线可以表明轴力与截面位臵的关系, 称为轴力图。
F F F

F

F

FN图

F

FN图

注意:
用截面法法求内力的过程中,在截面取分离体 前,作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或 用静力等效的相当力系替代。
(a)

F F

F F

(b)

n

m m

F
A C

n n B

F

m m

C

n B

A

(a)
m m

(d)
m m

FN=F
(b)

F
A

FN=0
(e)

A

FN=F

n n

F
B (c) A

FN=F

n n B

F
A (f)

例2-1 试作图示杆的轴力图。
40kN 55kN 25kN 20kN 400

A

600

B

300

C

500

D

E

1800

解: 求支反力
FR
1

FR ? 10kN
2 2

F1=40kN

F2=55kN F3=25kN
3 4 4

F4= 20kN

A 1

B

C

3 D

E

FR

1

F1=40kN

2 2

F2=55kN F3=25kN
3 4 4

F4= 20kN

A 1

B

C

3 D

E

横截面1-1: 注意假设轴力为拉力
FR
1

FN1

FN1 ? 10kN(拉)

A 1

横截面2-2:
FR A

F1 2 FN2
B 2

FN2 ? 50kN(拉)

FR

1

F1=40kN

2 2

F2=55kN F3=25kN
3 4
4

F4= 20kN

A 1

B

C

3 D

E

横截面3-3:

此时取截面3-3右边为分离体方便, 仍假设轴力为拉力。
FN3
3 3

FN3 ? ?5kN(压)
同理

F3
D E
4
4

F4

FN4 ? 20kN(拉)

FN4

F4 E

FR

1

F1=40kN

2 2

F2=55kN F3=25kN
3 4 4

F4= 20kN

A 1

B

C

3 D

E

50 20

10 5

FN图(kN)

由轴力图可看出

FN,max ? FN2 ? 50kN

?
补充 例题1
l

F
F

q=F/l
F 2l l 3 F

解: 1、求支反力
1 FR 1 F F F 2 F'=2ql F 3 F 2 q

FR

FR = F

1
FR = F

F
F
FN1 = F

2
2

q

3
F 3

x

1
FR = F

FN 3 = F

F

F
FR = F

q
FN2

F F
FR = F

x1
F ?? ? Fx1 l

?F
FN 2

x

?0
Fx1 ?0 l Fx1 ? ?F l

FN2 ? 2 F - FR FN2

F

x1

F
F

q=F/l
F

l
FN

2l

l F
?

F
?

? F

思考: 此题中FNmax发生在何处?最危险截面又在何处?

?
补充例题2

图示砖柱,高h=3.5m,横截面面 积A=370×370mm2,砖砌体的容重 γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力 F=50KN,试做此砖柱的轴力图。
50

F y 350 n n

F

G ? Ay?

FNy

F ? Ay? ? FNy ? 0
FNy ? F ? Ay? ? 50 ? 2.46y

58.6

kN

10KN

10KN

A=10mm2

100KN

100KN

A=100mm2

哪个杆先破坏?

§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
F F F
? ?

q=F/l F

l
FN

2l

l F

? F

思考: 此题中FNmax发生在何处?最危险截面又在何处?

Ⅰ、应力的概念

轴力

拉压杆的强度

横截面尺寸 材料的强度

即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律 直接相关的。 杆件截面上的分布内力的集度,称为应力。

M点平均应力

?F pm ? ?A

M ?F ?A

p M

(a)

(b)

总应力

p ? lim

?A?0

?F d F ? ?A d A

总应力 p

正应力 ?: 法向分量, 引起长度改变
切应力 ? :切向分量,引起角度改变
?

M ?F ?A
(a)

? M

(b)

正应力:拉为正,压为负
切应力:对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为 正,反之为负

内力与应力间的关系

dF p? dA
? ? M

?F ?FS ?FN M ?A

(a)

(b)

d FN ?? dA d FS ?? dA

FN ? ? ? d A
A

FS ? ? ? d A
A

M
?F

? ? M

?A
(a)

(b)

应力量纲
应力单位

ML?1T ?2
Pa MPa
GPa

1Pa ? 1N/m2 6 1MPa ? 10 Pa 2 1MPa ? 1N/mm 1GPa ? 109 Pa

Ⅱ、拉(压)杆横截面上的应力 F F FN
m m m m m

F

FN

?

?
F

m

已知静力学条件

FN ? ? ? d A ? F
A

无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律

F F FN F
m m

m m

F FN

但荷载不仅在杆 内引起应力,还 要引起杆件的变 形。

?

?
F
c

m m
a' b'

a
b

d

c' d'

F

可以从观察杆件 的表面变形出发, 来分析内力的分 布规律。

观察现象:
等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍 为直线,仍相互平行,且仍垂直于杆的轴线。 F
a a' b' b c c' d' d

F

平面假设

原为平面的横截面在杆变形后仍为平面, 对于拉(压)杆且仍相互平行,仍垂直于轴线。

推论:
1、等直拉(压)杆受力时没有发生剪切变形, 因而横截面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。 亦即横截面上各点处的正应力 ? 都相等。

F

a a' b' b

c c' d' d

F

F F FN 即
m

m
m

F FN

?

m
m m

?
F

FN ? ? ? d A ? ?A
A

等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式

FN ?? A

适用条件: ⑴ 上述正应力计算公式对拉(压)杆的横 截面形状没有限制;但对于拉伸(压缩)时平截 面假设不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上 式计算横截面上的正应力。

⑵ 实验研究及数值计算表明,在载荷作用 区附近和截面发生剧烈变化的区域,横截面上的 应力情况复杂,上述公式不再正确。

FN ?? A

圣维南原理

作用于物体某一局部区域内的外力系,可以用一个 与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应 力分布只在力系作用区域附近有显著的影响,在离 开力系作用区域较远处,应力分布几乎相同。

圣维南原理
力作用于杆端方式的不同,只会使与杆端距 离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
F F

F 2
影响区

F 2

影响区

F

F

F 2

F 2

}

例2-2 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上 的最大工作应力。已知 F =50 kN。
F 50kN 3000

解:Ⅰ段柱横截面上的正应力

A
F B 4000 F

FN1 ? ?50kN
FN1 ?1 ? A1
150kN

C

370

240

? 50?10 N ? (240mm) ? (240mm) ? ?0.87MPa(压)
3

F
A F B 4000 F 3000 50kN

Ⅱ段柱横截面上的正应力

FN2 ? ?150kN
FN2 ?2 ? A2 ? 150? 103 N ? (370mm)(370mm) (压应力) ? ?1.1MP a
最大工作应力为

C 150kN 240

370

? max ? ? 2 ? 1.1MPa

例2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上 d ? 200mm, δ ? 5mm, p ? 2MPa。 的拉应力。已知:
b

p

解: ? ?? d 均匀分布

可认为径向截面上的拉应力沿壁厚

A ? b?

y

p
FN

p

FR d FN

根据对称性可得,径截面上内力处处相等

FR FN ? 2

y FR

FN

d ? ? ( pb ? d? )sin ? ? pbd 0 d 2 FN pbd FN ? 2 1 pbd pd FN ? ( )? ?? b? 2 2? A

p

d?

d d F ? p(b ? d ? ) 2 π FR ? ? d Fsin?
0 π

(2MPa)(200mm ) ? ? 40MPa 2(5mm)

?
补充例题1

图示支架,AB杆为圆截面杆,d=30mm, BC杆为正方形截面杆,其边长a=60mm, P=10KN,试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。

FNAB sin 300 ? F
A
d

FNAB cos 300 ? ? FNBC
FNAB

300
C

B

? AB

FNAB ? ? 28.3MPa AAB

a

FNBC

F

? BC

FNBC ? ? ?4.8MPa ABC

Ⅲ、拉(压)杆斜截面上的应力
F
k k

F

F

k

F?
k

由静力平衡得斜截面上的 内力: F ? F
?

F

k k

p? F ?

p? ? ?

F

F

变形假设:两平行的斜截面在杆件发生拉(压) 变形后仍相互平行。 推论:两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长 变形相同。 即斜截面上各点处总应力相等。

F A F

k

A?
k

F

k k

p? F ?

F F F? ? ? cos ? p? ? A / cos ? A A?

? ? 0 cos?
?0 为拉(压)杆横截面上( ? ? 0 )的正应力。

总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力:
p?

??

? ? ? p? cos? ? ? 0 cos 2 ?

? ? ? p? sin ? ? ? 0 cos? sin ? ?

?0
2

sin 2?

??

p?

? ? ? ? 0 cos 2 ? ?0 ? ? ? sin 2? 2

通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况, 成为该点处的应力状态。

对于拉(压)杆,一点处的应力状态由其横截面上 一点处正应力即可完全确定,这样的应力状态称为 单向应力状态。

??

p?

? ? ? ? 0 cos 2 ? ?0 ? ? ? sin 2? 2

讨论: ( 1) ? ? 0

? ? 90? ? (2) ? ? 45 ? ? ?45?
? ? 0?

? max ? ? 0 (横截面) ?? ? 0 (纵截面) ? ? ? ? max ? ? 0 / 2 ? ? ? ? min ? ?? 0 / 2
?? ? 0 ?? ? 0
(横截面) (纵截面)

? ? 90?

结论:
1、轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 2、轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线 成450截面上。

F

? 45

0

? 45

0

? ? 45

? ? 45

0

切应力互等定理

0

3、在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。

§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
1、拉(压)杆的纵向变形 d1 F

d

F l l1

绝对变形 相对变形

?l ? l1 - l ?l ?? l

长度量纲
线应变--每单位长度 的变形,无量纲

当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变 形时,不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵 向线应变。 y x截面处沿x方向的纵向平均 线应变为 C
O z A ?x ?x???x A B' x B

?? x ?x

x x截面处沿x方向的纵向线应 变为

?? x d ? x ? x ? lim ? ?x?0 ?x dx

线应变以伸长时为正,缩短时为负。

2、横向变形 d1 F

d

F

l l1
横向绝对变形 横向线应变

?d ? d1 - d

?d ?? ? d

3、荷载与变形量的关系——胡克定律 d1

F

d

F
l l1

当杆内应力不超过材料的某一极限值(“比例极 限”)时

引进比例常数E

Fl ?l ? A FNl Fl ? ?l ? EA EA

d1

F

d

F l l1

FNl ?l ? EA
单位为 Pa;

拉(压)杆的胡克定律
-1 -2

E — 弹性模量,量纲与应力相同,为 ML T ,

EA — 杆的拉伸(压缩)刚度。

d1

F

d

F l l1



FNl ?l ? EA ? ?? E

?l 1 FN ? l E A

称为单轴应力状态下的胡克定律

4、横向变形的计算
d1

F

d

F
l l1

单轴应力状态下,当应力不超过材料的比例 极限时,一点处的纵向线应变? 与横向线应变?? 的绝对值之比为一常数:

?? ν? ?



? ? ? -ν?

n ----- 横向变形因数或泊松比

低碳钢(Q235):

E ? 200 ~ 210 GPa

ν ? 0.24 ~ 0.28

例2-4 一阶梯状钢杆受力如图,已知AB段的横截 面面积A1=400mm2, BC段的横截面面积 A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求:AB、 BC段的伸长量和杆的总伸长量。 l1 =300 l2=200 F=40kN A B B'

C C'

解: 由静力平衡知,AB、BC两段的轴力均为

FN ? F

l1 =300

l2=200

F=40kN
A B B' C C'



FNl1 40 ? 103 N ? 300 mm ?l1 ? ? EA1 210 ? 103 MPa ? 400 mm 2 ? 0.143mm 40 ? 103 N ? 200 mm FNl2 ? ?l2 ? EA2 210 ? 103 MPa ? 250 mm 2

? 0.152mm

F=40kN A B B'

C C'

AC杆的总伸长 ?l ? ?l1 ? ?l2

? 0.143 ? 0.152 ? 0.295mm

例 2-5 图示杆系,荷载 F=100kN, 求结点A的位 移?A。已知两杆均为长度l =2m,直径d =25mm的圆 杆,? =30? ,杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。 解:1、求两杆的轴力。 B C

1

2 FN1

y FN2 x

?F ? 0 ?F ? 0
x y

FN1 ? FN 2

A
F 得 A F

2FN1 cos? ? F
FN1 ? FN 2 F ? 2 cos ?

2、由胡克定律得两杆的伸长: B C

1

2

FN1l FN 2l ?l1 ? ?l2 ? ? EA EA

A F 3、计算节点位移

Fl ? 2 EA cos ?
2 Fl ? Eπd 2 cos ?

根据杆系结构及受力情况的对称性可知,结点 A只有竖向位移。

关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位臵? B 1 2 1 A1 此位臵既应该符合两杆 间的约束条件,又满足 两杆的变形量要求。 2 A' A 2 A'' C

A A'

1 A1

2 A' A 2 A''

由变形图即确定结点A 的位移。由几何关系得

A A1 A A2 A A? ? ? cos? cos?



?l1 ?l2 2 Fl ΔA ? ? ? cos? cos? Eπd 2 cos 2 ?
3 3

代入数值得

2(100 ? 10 N)(2 ? 10 mm) ΔA ? (210 ? 10 3 MPa )[ π ? (25mm) 2 ] cos 2 30 ? ? 1.293mm(?)

B 1 2

C

此例可以进一步加深对变 形和位移两个概念的理解。

变形 A A'

杆件几何尺寸的 改变,标量 结点位臵的移动, 矢量

位移

二者间的函数关系

与各杆件间的约束有关,实 际是变形的几何相容条件。

? 补充例题3
图示结构,横梁AB是刚性杆,吊杆CD是等截面直杆,B点 受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、 已经测出CD杆的轴向应变ε;2、已知CD杆的抗拉刚度EA. 1. 已知ε D
FNCD

?LCD ? ? a

?LCD ? ?a

? B ? 2?LCD ? 2?a
刚杆

A
L 2

C C1

F
B

a

2. 已知EA

?LCD

FNCD a ? EA

?m
?B

A

?0

FNCD ? 2 F

L 2

B1

L ? FNCD ? F ? L ? 0 2 4 Fa ? 2?LCD ? EA

?

补充例题4

图所示结构,刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位臵上,斜杆CD 的抗拉刚度为EA,B点处受荷载F作用,试求B点的位移δB。 α
A
FNCD

D F B B1 a

BB1 ? ? B ? 2CC1
CC ? cos ? 2F FNCD ? ? mA ? 0 cos ? 1 F ? L ? L cos ? ? FCD 2

C

C?
C1

?LCD CC1 ? cos ?

L/2

L/2

?LCD ?

FNCD ? LCD 2? F ? a ? EA EA ? cos 2 ? 4 Fa ?B ? EA cos 3 ?

§2-6 拉(压)杆内的应变能
应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 F l l1

?l

应变能的计算:

能量守恒原理

Vε ? W
单位: 焦耳J

1J ? 1N ? m

弹性体的 功能原理

F

F

F

拉 (压)杆在线弹性范围内的应变能

1 外力功: W ? F ? ?l 2 1 Fl 杆内应变能: Vε ? W ? F ? ?l (?l ? ) EA 2 F 2l FN 2l ? ? 2 EA 2 EA F
F F

l l1

?l

?l

?l



1 Vε ? W ? F ? ?l 2 EA(?l ) 2 ? 2l

Fl (?l ? ) EA

F

F
l l1 ?l ?l

F ?l

应变能密度



——杆件单位体积内的应变能

两端受轴向荷载的等直杆,由于其各横截面上 所有点处的应力均相等,故全杆内的应变能是均匀 分布的。 F l l1 F

应变能密度单位:

J / m3

1 F ? ? l Vε 2 vε ? ? Al V 1 ? ?? (? ? E? ) 2 ? 2 E? 2 ? ? 2E 2

ql

A
FN(x) +d FN(x) l dx

q

FN(x)

q
B B

x

FN(x)
2

FN ( x) d x d Vε ? FN ( x) ? qx 2 EA 2 l F ( x) d x Vε ? ? d Vε ? ? N l 0 2 EA

例2-6 求图示杆系的应变能,并按弹性体的功能原理 求结点A的位移?A 。已知 F =10 kN, 杆长 l =2m,杆 径 d =25mm, ? =30°,材料的弹性模量 E =210GPa。 解: FN1 ? FN 2 ? F 2 cos ? C B
1

2

A F

F 2 ( ) l 2 FN1l Vε ? 2 ? ? 2 cos? 2 EA EA 10 ?103 N 2 3 ( ) (2 ?10 mm) ? 2 cos30 ? π 3 2 (210?10 MP a)[ (25mm) ] 4 ? 64.67 ?103 N ? mm ? 64.67 J

B

C

Vε ? 64.67?103 N ? mm ? 64.67J

1

2

1 FΔA ? Vε 而 2
2Vε 2 ? 64.67 ?103 N ? mm ΔA ? ? 3 F 100?10 N ? 1.293mm(?)

A F

§2-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能——材料受力时在强度和变形方面所表
现出来的性能。 力学性能 取决于

内部结构
由试验方式获得 外部环境

本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸(或压缩) 变形条件下的力学性能。

Ⅰ 、材料的拉伸和压缩试验 试验条件:常温(20℃);静载(及其缓慢地加载)
试件:
L0

d h

国家标准规定《金属拉伸试验方法》(GB228—2002)
L=10d 对圆截面试样: L=5d

对矩形截面试样: L ? 11.3 A

L ? 5.65 A

试验仪器:万能材料试验机

Ⅱ、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

1、拉伸图

四个阶段: (1) 弹性阶段(2) 屈服阶段 (3) 强化阶段 (4) 局部变形阶段

? P
A

d

e

?b

b a

c

?s ?e? p
O

o1 f

e? g

△L

?L

为了消除掉试件尺寸的影响,将试件拉伸图转变为 材料的应力——应变曲线图。

图中:

FN ?? A

A — 原始横截面面积

? — 名义应力

?l ?? l
l — 原始标距

? — 名义应变

2、拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点:
(1)、弹性阶段OB 此阶段试件变形完全是弹性的, 且?与?成线性关系

? ? E?
E — 线段OA的斜率
比例极限?p — 对应点A

弹性极限?e — 对应点B

?
a
b

d

弹性极限

?e

比例极限 ? p

c

e

O

?

(2)、屈服阶段

此阶段应变显著增加,但应力基本 不变—屈服现象。 产生的变形主要是塑性 的。
抛光的试件表面上可见 大约与轴线成45? 的滑移 线。

屈服极限 ? s — 对应点 D(屈服低限)

(3)、强化阶段 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。

此阶段如要增加应 变,必须增大应力
材料的强化 强度极限?b —对应 点G (拉伸强度), 最大名义应力

强化阶段的卸载及再加载规律
若在强化阶段卸载, 则卸载过程 ??? 关 系为直线。

? ? ?e ? ?p
立即再加载时,??? 关系起初基本上沿 卸载直线(cb)上升直 至当初卸载的荷载, 然后沿卸载前的曲 线断裂—冷作硬化 现象。

?e_— 弹性应变 ?p — 残余应变(塑性)

卸载定律:材料在卸载时应力与应变成直线关系

?
c

f

d

冷作硬化

?p

?
?e
冷作硬化现象经 过退火后可消除

?

冷作硬化对材料力学性能的影响

?p ?b 不变 ?p

(4)、局部变形阶段

试件上出现急剧局部横截面收 缩——颈缩,直至试件断裂。
伸长率

(平均塑性伸长率) 断面收缩率:

l1 ? l ?? ?100% l

A ? A1 ?? ?100% A
A1 — 断口处最 小横截面面积。

Q235钢的主要强度指 标:

? s ? 240MPa

? b ? 390MPa
Q235钢的弹性指标:

E ? 200 ~ 210GPa
Q235钢的塑性指标: ? ? 20% ~ 30% 通常 ? ? 5% 的材料称为塑性材料; ? ? 5% 的材料称为脆性材料。

? ? 60%

3、低碳钢拉伸破坏断面

Ⅲ、其他金属材料在拉伸时的力学性能
锰钢没有屈服和局部变形阶 段 强铝、退火球墨铸铁没有明 显屈服阶段

共同点:

? ?5%,属塑性材料

无屈服阶段的塑性材料,以 ?p0.2作为其名义屈服极限,称 为规定非比例伸长应力或屈服 强度。

?p0.2

对应于?p=0.2%时 的应力值

产生0.2%的塑性应变所对应的应力

灰口铸铁轴向拉伸试验

灰口铸铁在拉伸时的? —? 曲线
特点: 1、 ? —? 曲线从很低应力 水平开始就是曲线;采用割 线弹性模量

2、没有屈服、强化、局部 变形阶段,只有唯一拉伸强 度指标?b
典型的脆性材料

3、伸长率非常小,拉伸强 度?b基本上就是试件拉断时 横截面上的真实应力。

铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面:

Ⅳ、金属材料在压缩时的力学性能
1、压缩试样

l ?1~ 3 圆截面短柱体 d l ?1~ 3 正方形截面短柱体 b

2、低碳钢压缩时? —? 的曲线
特点:
压缩
拉伸

1、低碳钢拉、压时的?s以 及弹性模量E基本相同。
2、材料延展性很好,不 会被压坏。

3、灰口铸铁压缩时的? —? 曲线

特点: 1、压缩时的?b和? 均比拉伸时大得多,宜做受压构件; 2、即使在较低应力下其? —? 也只近似符合胡克定律; 3、试件最终沿着与横截面大致成 50? ? 55? 的斜截面 发生错动而破坏。

Ⅴ、几种非金属材料的力学性能

1、混凝土:拉伸强度很小,结构计算时一般不加以 考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。 特点: (1)、直线段很短,在变形不 大时突然断裂; (2)、压缩强度?b及破坏形式与 端面润滑情况有关; (3)、以? —? 曲线上? =0.4?b 的点与原点的连线确定“割线 弹性模量”。

2、木材 木材属各向异性材料 其力学性能具有方向性

亦可认为是正交各 向异性材料

其力学性能具有三个 相互垂直的对称轴

松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的? —? 曲线 特点:
1、顺纹拉伸强度很高,但 受木节等缺陷的影响波动; 2、顺纹压缩强度稍低于顺 纹拉伸强度,但受木节等缺 陷的影响小。

许用应力 [?] 和弹性 模量 E 均应随应力方 向与木纹方向倾角不 同而取不同数值。

3、横纹压缩时可以比例极 限作为其强度指标。 4、横纹拉伸强度很低,工 程中应避免木材横纹受拉。

3、玻璃钢

玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的 复合材料

玻璃纤维和树脂的性能
力学性能 玻璃纤维和树脂的相对量 材料结合的方式

纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的? —?曲线
特点: 1、直至断裂前? —? 基 本是线弹性的; 2、由于纤维的方向性, 玻璃钢的力学性能是各 向异性的。

§2-4 强度条件?安全因数?许用应力
Ⅰ、材料的许用应力 极限应力?u 许用应力 塑性材料: ?s 或?p0.2

脆性材料: ?b

[? ] ?

?u
n

对应于拉、压强度的安全因数 n >1

塑性材料:
脆性材料:

[? ] ? [? ] ?

?s
ns

或 [? ] ?

? p0.2
ns

? b (? bc )
nb

ns一般取 1.25 ~ 2.5,

nb一般取 2.5 ~ 3.0,甚至 4 ~ 14。

Ⅱ、关于安全因数的考虑 (1)极限应力的差异;

(2)构件横截面尺寸的变异;
(3)荷载的变异;

(4)计算简图与实际结构的差异;
(5)考虑强度储备。

Ⅲ、拉(压)杆的强度条件

? max ? [? ]
等直杆

保证拉(压)杆不 因强度不足发生破 坏的条件

FN,max ? [? ] A

强度计算的三种类型:

FN ,max ? max ? ? [? ] (1)强度校核 A FN ,max A? (2)截面选择 [? ] (3)计算许可荷载 FN,max ? A[? ]

例2-8 图示三铰屋架中,均布荷载的集度 q =4.2kN/m,钢拉杆直径 d =16mm,许用应力 [? ] = 170MPa 。试校核拉杆的强度。 q
1.42m 0.4m

C A
8.5m 9.3m

B

解: 1、求支反力

q
1.42m 0.4m

FAx A FAy

C
8.5m 9.3m

FBy

B

考虑结构的整体平衡并利用其对称性

?F

x

?0

FAx ? 0

ql 4.2kN ? 9.3m FAy ? FBy ? ? ? 19.5kN 2 2

2、求钢拉杆的轴力。 取分离体如图并考虑其平衡 q FCx
1.42m

A FAy
4.25m 4.65m

C FCy

?M

C

?0

FN

8.5 q 9.3 2 FAy ( m) ? ( m) 2 2 2 FN ? 1.42m 19.5kN (4.25m) ? 2.1kN/m (4.65m) 2 ? ? 26.3kN 1.42m

q 9.3 2 FN ? 1.42 ? ( ) 2 2 8.5 ? FAy ( ) ? 0 2

3、求钢拉杆的应力并校核强度。 q FCx
1.42m

A FAy
4.25m 4.65m

C FCy

FN ? 26.3kN

FN

3 26 . 3 ? 10 N FN ? ?? 2 A π ? (16mm) / 4

? 131MPa ? [? ] ? 170MPa
故钢拉杆的强度是满足要求的。

例2-9 已知:F =16kN,[? ]= 120MPa。试选择图示 桁架的钢拉杆DI的直径d。 F F F E F F Fm D G C A B H I m J K L
6?3=18m

C
A FA

F F'N FN

解:巧取分离体如图

3m

H

3m

I F"N

F ? M A ? 0 FN ? 2 ? 8kN

4m

C

F F'N FN H 3m I F"N

A
FA 3m

FN ? 8kN

由杆件的强度条件得
3 FN 8 ? 10 N 2 ? 66 . 7 mm ? A? [? ] 120 MPa

4A 4 d? ? (66.7 mm 2 ) ? 9.2mm π π
由于圆钢的最小直径为10mm,故取 d =10mm。

例2-10 图示三角架中,杆AB由两根10号工字钢组 成,杆AC由两根 80mm ? 80mm?7mm 的等边角钢 组成。两杆的材料均为Q235钢,[? ]=170MPa 。试 求此结构的许可荷载 [F ]。

C 1m

B

A F

C y 1m

FN1
B A F

A F
x

FN2

解: (1)节点 A 的受力如图,其平衡方程为:

?F ?F

x y

?0 ?0

FN2 ? FN1 cos 30 ? ? 0 FN1 sin 30 ? ? F ? 0

得 FN1 ? 2F (拉) FN 2 ? 1.732F (压)

(2)查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB

A1 ? (1086 mm 2 ) ? 2 ? 2172 mm 2 A2 ? (1430 mm 2 ) ? 2 ? 2860 mm 2

(3)由强度条件得两杆的许可轴力: 杆AC

[ FN1 ] ? (170 MPa ) ? (2172 mm 2 ) ? 369.24 ? 10 N ? 369.24kN
3

杆AB

[ FN 2 ] ? (170 MPa ) ? (2860 mm 2 ) ? 486.20 ? 10 N ? 486.20kN
3

C
1m

[ FN1 ] ? 369.24kN [ FN 2 ] ? 486.20kN FN1 ? 2 F A FN 2 ? 1.732F
F

B

(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载:

[ FN1 ] 369.24kN [ F1 ] ? ? ? 184.6kN 2 2 [ F ] ? 184.6kN [ FN1 ] 486.20kN [ F2 ] ? ? ? 280.7kN 1.732 1.732

?

补充例题1
图示石柱桥墩,压力F=1000kN,石料重度 ρg=25kN/m3,许用应力[ζ]=1MPa。试比较下列三种情 况下所需石料面积(1)等截面石柱;(2)三段等长 度的阶梯石柱;(3)等强度石柱(柱的每个截面的应 力都等于许用应力[ζ])
F 5m F F

15m

5m

5m

?

采用等截面石柱

FN ? F ? ?gAl
FN F ? ?gAl F ? ? ?gl ? ?? ? ? ?? A A A
F
3 F 1000 ? 10 N A? ?? ? ? ?gl ? 1?106 N / m2 ? 25?103 N / m3 ?15m

15m

? 1.6m2

V1 ? Al ? 1.6m2 ?15m ? 24m3

FN

?

采用三段等长度阶梯石柱
F

FN1 ? F ? ?gA 1l1 FN 2 ? F ? ?gA 1l1 ? ?gA 2l2 FN 3 ? F ? ?gA 1l1 ? ?gA 2l2 ? ?gA 3l3

5m

5m

FN 1 FN 2

A1 ?

5m

F ?? ? ? ?gl1

1000?103 N ? 6 2 3 3 1 ? 10 N / m ? 25 ? 10 N / m ? 5m FN 3
? 1.14m 2

F ? ?gA1l1 1000?103 N ? 25?103 N / m3 ?1.14m 2 ? 5m A2 ? ?? ? ? ?gl2 ? 1?106 N / m2 ? 25?103 N / m3 ? 5m ? 1.31m 2
F ? ?gA1l1 ? ?gA2l2 1000?103 N ? 25?103 N / m3 ?1.14m 2 ? 5m ? 25?103 N / m3 ?1.31m 2 ? 5m A3 ? ? ?? ? ? ?gl3 1?106 N / m 2 ? 25?103 N / m3 ? 5m

? 1.49m 2

V2 ? ? A1 ? A2 ? A3 ?l1 ? 1.41m2 ? 1.31m2 ? 1.49m2 ? 5m ? 19.7m3

?

?

?

?? ?

采用等强度石柱
?gA( x)dx
? ?x ? ?
FN ?x ? ? ?? ? A?x ?

这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力,使材料 得到充分利用。

?A?x? ? dA?x??? ?? ? ? A?x??? ?? ?gA?x?dx
F

dA?x ??? ? ? ?gA?x ?dx
dA?x ? ?g ? dx A?x ? ?? ?
A?x ? ? A0 exp
F

x
dx

?g x ?? ?

A0:桥墩顶端截面的面积

3 3 ?gl 25 ? 10 N / m ?15m 2 2 A?l ? ? A0 exp ? 1 . 45 m ? 1m ? exp ?? ? 1?106 N / m 2

1000?103 N 2 ? 1 m A0 ? ? ?? ? 1?106 N / m2

FN ?l ? ? F ? G
??
F ?G ? ?? ? A?l ?

G ? ?gV3

1?106 Pa ?1.45m 2 ? 1000?103 N ? ? ? ? G ? A l ? F V3 ? 25?103 N / m3 ?g ?g

G ? ?? ?A?l ? ? F

18m 3

24 : 19.7 : 18

?

图示三角形托架,AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可 补充 沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻,问斜撑杆与梁 例题3 之间夹角应取何值?不考虑BD杆的稳定。
取ABC杆为研究对象

设F的作用线到A点的距离为x

? mA ? 0

Fx ? Fx ? FNBD sin ? ? hctg? ? 0 FNBD ? h cos ? FL l x ? L FNBD max ? x h cos ?

A
h

?

FNBD

B F

C

BD杆:

ABD

FL ? ? ?? ? ?? ?h cos ?

FNBD

D

? ? 45

0

FL h 2 FL ? ? VBD ? ABD LBD ? ?? ?h cos? sin ? ?? ?sin 2? Vmin

§2-8 应力集中的概念
应力集中 由于杆件横截面突然变化而引起的应 力局部骤然增大的现象。
r
r d/2

d/2

D

D

d

? max ? max ? nom ? nom

截面尺寸 变化越剧 烈,应力 集中就越 严重。
d or D

r d

r d

理论应力集中因数:

? max K t? ? ? nom

下标t? 表示是对应于正应 力的理论应力集中因数

?nom ——截面突变的横截面上?max作用点处的
名义应力;轴向拉压时为横截面上的平均应力。

具有小孔的均匀受拉平板

K tσ ? 3

应力集中对强度的影响:
理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时

弹性阶段

荷载增大进 入弹塑性

极限荷载

F ? ? s ? Aj

塑性材料、静荷载 不考虑应力集中的影响

均匀的脆性材料 或塑性差的材料
要考虑应力集中的影响 非均匀的脆性材 料,如铸铁 动荷载



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