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高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇


电磁学
静电学
1、 静电场的性质 静电场是一个保守场,也是一个有源场。

? F ? dl ? o
静电力环路积分等于零

高斯定理

?? E ?ds ?
s

?q
Eo

i

? ? ? ? qi ?

??? ? dv ? v ? ?
电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法,两者有联系
b

? qE ? d r ? w
a

a

? wb


?E ?dr ?U
过程

a

? Ub

E ? dr ? ?dU
一维情况下

dU dx dU Ex ? ? dx Ex dx ? ?



2、 几个对称性的电场 (1) 球对称的电场 场源 点电荷 E U

1 Q 4? Eo r 2
1 Q 4? Eo r 2 r?R

1 Q 4? Eo r
1 Q 4? Eo r 1 Q 4? Eo R r?R 1 Q 4? Eo r r?R

均匀对电球 面

?Q、R ?

0
均匀带点球 体

r?R

r?R

?Q、R ?

1 Q 4? Eo r 2

r?R

1 Q r 4? Eo R3

r?R

1 Q 4? Eo r

Q ? 3R 2 ? r 2 ? 2 R3

r?R

3 1 3 ?r ? R ? 4?R ? ? ? ? 2 4? Eo r 3Eo ? r ?

3

例:一半径为 R1 的球体均匀带电,体电荷密度为 ? ,球内有一半径为 R2 的小球 形空腔,空腔中心与与球心相距为 a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场 E (2) 求空腔中心处的电势 U 解:(1)在空腔中任选一点 p ,

E p 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之
差, 即

Ep ?

?
3Eo

r1 ?

?
3Eo

r2 ?

?
3Eo

?r ? r ?
1 2

令 a ? o1o2

Ep ?

?
3Eo

a

这个与 p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处 Eo 2 ? (2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理

?
3Eo

a

U p 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差


Uo2 ?

?
6 Eo

?3 R ? a? ? 6? ?3 E
2 1 2 o

2 R ? 0 ?? 2

2 3 R ? ? 1 ? 6E o

??

?R?
2 2

? a2 ?

假设上面球面上,有两个无限小面原 si

s j ,计算 si ,受到除了 si 上电荷

之处,球面上其它电荷对 si 的静电力,这个静电力包含了 s j 上电荷对 si 上电 荷的作用力. 同样 s j 受到除了 si 上电荷以外 ,球面上其它电荷对 s j 上电荷的作用力 ,

这个力同样包含了 si 对 s j 的作用力. 如果把这里的 si

s j 所受力相加,则 si , s j 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法,现在把上半球面分成无限小的面元,把每个面元上所受的静 电力(除去各自小面元)相加,其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷 的作用力。

? R2 ? Q ? 求法: F =f o ? R ? ?? R ? ? ? ? 2 Eo 2 Eo ? 4? R 2 ?
2 2

?2

2

再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?

通常谈论的表面上电场强度是指什么?

例:求均匀带电球面 ? Q, R ? ,单位面积受到的静电力 fo ? ? 解:令 R ? R ? R

?

R ? R?

过程无限缓慢 得出此过程中静电力做功的表达式:

fo ? 4? R2 ? R ?

Q2 Q2 Q2 Q2 ? ? ? 2Co 2C 2 ? 4?? o R 2 ? 4?? o ? R ? R ?

?

Q2 ? 1 ? Q2 ? ? R ?? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? R? 8? Eo R ? 1 ? R ? 8? Eo R ? ? R ?? ?

Q2 ? R 8? Eo R 2 fo ? Q Q 1 ?2 ? ? ? 4? R 2 4? R 2 2? o 2Eo
E表面 ?

或者算出 f o ? E表面 ? ?

?
2 Eo

而且可以推广到一般的面电荷 ?? ? 在此面上电场强度

E表面 ?

1 ? E1 ? E2 ? 2

例:一个半径为 R,带电量为 Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的 电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的 电场强度分布,所以这样计较有困