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高二数学同步测试:抛物线


本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

抛物线
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 y ? 2x 2 的焦点坐标是 A. (1,0) 2 B. ( 1 ,0)
4

( D. (0, 1 )
4


/>C. (0, )

1 8

10.若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近 距离是 ( ) 1 1 1 1 1 1 A. a B. p C . a+ p D . a- p 2 2 2 2 2 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.抛物线 y 2 ? x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________. 12. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 , 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切, 则p? ___________. 13.如果过两点 A(a, 0) 和 B(0, a) 的直线与抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数 a 的取值范围是 . 14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; (1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上; (3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;(4)抛物线的通径的长为 5; (5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知点 A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,△ABC 的重心与 此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.(12 分)

已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P(m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物 线方程为 A. x 2 ? 8 y A. 15 ( B. x ? 4 y
2

) )

C. x ? ?4 y
2

D. x ? ?8 y
2

3.抛物线 y 2 ? 12x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于 B. 2 15 C. 15
2

( D.15 (

4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 4 9 4 9 A. x 2 ? ? y 或 y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? y 3 2 3 2 C. x 2 ? 4 y
3
? ? y ? 2t



D. y 2 ? ? 9 x
2

5.点 P(1,0) 到曲线 ? x ? t 2 (其中参数 t ? R )上的点的最短距离为





A.0 B .1 C. 2 D.2 2 6. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点,F 是它的焦点, 若 AF , BF , CF 成等差数列,则 A. x1 , x2 , x3 成等差数列 C. y1 , y 2 , y3 成等差数列 取得最小值时点 P 的坐标是 ( B. x1 , x3 , x2 成等差数列 D. y1 , y3 , y 2 成等差数列 ) )

7. 若点 A 的坐标为 (3, 2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点, 点 P 是抛物线上的一动点, 则 PA ? PF ( 1 A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D. ( ,1) 2 8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则关系式 y1 y 2 的值一定等于 ( x1 x 2



16. 已知抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点, 求 a 的取值范围.(12 分)

A.4p B.-4p C.p2 D.-p 2 9.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 p, q ,则 1 ? 1
p q

( B. 1
2a



A. 2a

C. 4a

D. 4
a

-

-

1

17.抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为 邻边作平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.(12 分)

19.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1=的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半 径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N, 设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF|的值;
(2)是否存在这样的 a 值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由.(14 分)

18.已知抛物线 C: y ? x 2 ? 4 x ? 点 M 的法线.

7 ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在 2

20.如图, 直线 y=
1 ,求点 M 的坐标(x0,y0); 2

(1)若 C 在点 M 的法线的斜率为 ?

1 1 x 与抛物线 y= x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 2 8

(2)设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线 通过点 P?若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由. (12 分)

y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B)的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值.(14 分)

-

-

2

参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案
2 ) 4

解得 a ? 8 B 9 C 10 D

3 . 4

1

2

3

4

5

6

7

C D A B B A C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 13. (?? , ? 13 ) 4 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 11. ( ,? 12. 2
1 8

x y ?1 17.(12 分)[解析]:设 R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形 FARB 的中心为 C ( , ) ,L:y=kx 2 2 -1,代入抛物线方程得 x2-4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k2 -16>0,即|k|>1 ①,
? y1 ? y 2 ? x1 2 ? x 2 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ? ? 4k 2 ? 2 ,∵C 4 4

14. (2),(5)

为 AB 的中点.

15.(12 分)[解析]:(1)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,有 8 2 ? 2 p ? 2 ,
解得 p=16. 所以抛物线方程为 y 2 ? 32x ,焦点 F 的坐标为(8,0). (2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的 AF 定比分点,且 ? 2 ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 FM
2 ? 2x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0 ,解得 x0 ? 11, y0 ? ?4 , 1? 2 1? 2



x x2 ? x2 ? ? 2k 2 2 y ?1 y2 ? y2 ? ? 2k 2 ? 1 2 2
x ? 4k y ? 4k 2 ? 3

?

,消去 k 得 x2=4(y+3),由① 得,

x ? 4 ,故动点

R 的轨迹方程为

x2=4(y+3)(

x ? 4 ).

所以点 M 的坐标为(11,-4). (3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 11)(k ? 0).
y ? 4 ? k ( x ? 11), 消 x 得 2 由? ky ? 32y ? 32(11k ? 4) ? 0 , ?
2 ? y ? 32 x

18 .( 14 分) [ 解析 ] :( 1 )由题意设过点 M 的切线方程为: y ? 2 x ? m ,代入 C 得 7 x 2 ? 2 x ? ( ? m) ? 0 , 2 则 ? ? 4 ? 4( ? m) ? 0 ? m ?

所以 y1 ? y 2 ? 32 ,由(2)的结论得 y1 ? y 2 ? ?4 ,解得 k ? ?4. k 2

7 2

5 5 1 1 ,? x 0 ? ?1, y 0 ? ?2 ? ? ,即 M(-1, ). 2 2 2 2

y ? kx ? n , (2) 当 a>0 时, 假设在 C 上存在点 Q( x1 , y1 ) 满足条件. 设过 Q 的切线方程为:

代入

因此 BC 所在直线的方程为: 4 x ? y ? 40 ? 0.
16.(12 分)

y ? x 2 ? 4x ?

7 7 ? x 2 ? (4 ? k ) x ? ( ? n) ? 0 ,则 ? ? 0 ? (k ? 4) 2 ? 14 ? 4n 2 2



[解析]: 设在抛物线 y=ax2-1 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为 P(x,y),Q(- y,-x),则
? ? y ? ax ? 1 ① ? 2 ? ? x ? ay ? 1 ? ② ,由①-②得 x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q 为相异两点,∴x+y≠0,又 a≠0,
2

k PQ

k2 ?2 k ?4 .若 k ? 0 时,由于 , y1 ? 2 4 y ?a 1 1 ?? ? 1 ? ? ? k 2 ? 4a ? k ? ?2 a , k x1 ? 2 k

且 x1 ?

∴x? y?

1 1 , 即y ? x ? ,代入②得 a2x2-ax-a+1=0,其判别式△=a2-4a2(1-a)>0, a a

1 1 ;若 k=0 时,显然 Q(?2,? 2 ) 也满足要求. y1 ? a ? 2 2 ∴有三个点(-2+ a , a ? 1 ),(-2- a , 2a ? 1 )及(-2,- 1 ), 2 2 2 且过这三点的法线过点 P(-2,a),其方程分别为:



x1 ? a ? 2

1 或 y1 ? a ? 2

x1 ? ? a ? 2

-

-

3

x+2 a y+2-2a a =0,x-2 a y+2+2a a =0,x=-2. 当 a≤0 时,在 C 上有一个点(-2,- 为:x=-2. 19. (12 分)[解析]: (1)F(a,0),设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), P( x 0 , y 0 ) ,由
y 2 ? 4ax ( x ? a ? 4) 2 ? y 2 ? 16

1 ),在这点的法线过点 P(-2,a),其方程 2

? x 2 ? 2(a ? 4) x ? (a 2 ? 8a) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2(4 ? a) , MF ? NF ? ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? 8

(2)假设存在 a 值,使的

MF , PF , NF

成等差数列,即 2 PF ? MF ? NF ? 2 x0 ? x1 ? x2
y0 y ? y1 ? 2 x 0 ? a ? 4 x 2 ? x1

∵P 是圆 A 上两点 M、 N 所在弦的中点, ∴ AP ? MN ? ? x0 ? 4 ? a ①, 由①得 y 0 ? ?2a

y 2 ? y1 4a( y 2 ? y1 ) 8a 2 4a 2 ? ?2a ?? ?? ? y 0 2 ? ?4a 2 ? 0 ,这是不可能 x 2 ? x1 x 2 ? x1 y1 ? y 2 y0
MF , PF , NF

的. ∴假设不成立.即不存在 a 值,使的

成等差数列.

1 x x ? ?4 x ?8 2 20.(14 分)[解析]:【解】(1) 解方程组 得 1 或 2 y1 ? ?2 y2 ? 4 1 y ? x2 ? 4 8 y?

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== y-1=

1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 2

1 (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5). 2 1 2 (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x -4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 8
1 x ? x2 ? 4 8 d= = 1 x 2 ? 8x ? 32 , OQ ? 5 2 ,∴SΔOPQ= 1 OQ d = 5 x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16 8 2 2

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 30.

-

-

4


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