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08年全国高中数学说课比赛全国一等奖教案——双曲线及其标准方程


高中数学 第二册(上)

课题: 双曲线及其标准方程
一 教材分析 (一)教学内容 双曲线及其标准方程是全日制普通高级中学(必修) 《数学》第二册(上) (人民教育出版社) 第八章第三节的内容.分两课时:第一课时:探索双曲线的 定义,标准方程的推导及其初步应用;第二课时:探索双曲线的定义及其标准方 程的进一步应用(巩固求曲线方程的两种基本方法,即定义

法和待定系数法). 现在说第一课时. (二)教材的地位和作用 双曲线是解析几何的重要内容——圆锥曲线之一, 椭圆的学习已为研究本 节内容提供了基本模式和理论基础;本节内容也是后继内容学习的基础,并在科 学技术和日常生活中有着广泛的应用. (三)教学重点与难点 [确定依据] 根据教学大纲,学生学习实际情况,结合以上分析. 教学重点 双曲线的定义及其标准方程

[解决方法] 为了突出此重点,让学生动手实践,自主探索,通过画图揭示双曲 线上的点所要满足的条件,由此得出定义,推出方程. 教学难点 双曲线的标准方程的推导

[解决方法] 为了突破此难点,回顾用坐标法求曲线方程的一般步骤,类比椭圆 标准方程的推导过程 ,关键是抓住“化简方程” 这一环节来进行方程的推导.

二 学情分析 (一) 有利因素 学生通过对椭圆的探究, 初步具备了一定的分析与归纳的能力,

为本节课的学习奠定了基础.由于双曲线在日常生活中有着广泛的应用,学生具 有了一定的好奇心和求知欲,并对双曲线有了一定的感性认识.. (二)不利因素 学生对数学图形,符号,文字三种语言的相互转化仍有一定困

难.同时受学习椭圆的定势思维,容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系(如:标 准方程中 a,b,c 的关系,焦点位置的确定) ,在教学中引起了高度的重视,并

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采取了相应的措施来克服这些不利因素.

三 教学目标分析 [确定依据] 根据教学大纲的要求,结合教材分析、学情分析特制定以下三维 教学目标. (一)知识与技能目标 掌握双曲线的定义,焦点,焦距的概念和标准方程;理解双曲线标准方程的 推导;并能初步运用定义和标准方程解决有关问题. (二)过程与方法目标 通过学生自主探索 , 亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程, 体 验数形结合的思想在处理几何问题中优越性; 培养学生观察、 比较、 分析、 归纳、 概括等思维能力, 形成良好的思维品质. (三)情感态度与价值观目标 通过实例, 激发学生对数学的好奇心,引导学生从数学的角度发现和提出问 题,正确使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识.让学生在自主 探索,合作交流中获得新知识,培养学生实事求是的科学态度,锲而不舍的探索 精神以及对数学学科的热爱,坚定学好数学的信心,形成正确的数学观.

[

四 教法学法分析

[确定依据] 为实现以上教学目标,根据教学大纲的要求,结合本节课的教学内 容,及学生的认知水平. (一)教学方法 引导探索、发现法

[设计意图] 这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性,使课堂气氛 更加活跃. 同时培养学生自主学习和动手探究的能力. (二)学习方法 自主探索、合作交流 .

[设计意图] 这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索 精神及合作意识. (三) 教学手段 多媒体辅助教学.

[设计意图]有利于激发学生学习的兴趣,增强动感与直观感,增大教学容量,提
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高教学效率和教学质量. (四)学具 一条拉链,两颗图钉,一块纸板.

[设计意图]为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件.

五 教学过程设计 [确定依据]为了充分发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导 下的“再创造”过程. 我设计了以下教学流程:
创设情境 引入新课

抽象概括

归纳定义

类比探究

建立方程

实践探索

形成能力

整理知识

纳入系统

分层作业

巩固提高

(一)创设情境, 引入新课 本节课的开始由多媒体演示实例,并引导学生观察图中的红色曲线. (1)济南市立交桥的外观结构; (2)为缓解交通拥堵,北京市创建的新式交通结构图; (3)城市标志雕塑的外形; (4)自然通风塔轴截面的外观轮廓. 并指出:这些红色曲线就是数学中研究的双曲线.上述都是实际生活中与双曲

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线有关的例子.除此之外,双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用,比如 有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线; 利用远程双曲线导航的罗兰 C 卫星导航系 统等.那如何定义双曲线呢?怎样建立它的方程呢?这就是本节课所要研究的内 容,由此引出课题: §8.3 双曲线及其标准方程(1) [设置意图]让学生形成双曲线的感性认识, 感受数学的应用价值, 体现数学来源 于生活实际,又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物 的能力 . (二)抽象概括 归纳定义

提出思考:如何定义双曲线呢? [设计意图]通过创设情境,激发了学生的求知欲,使学生急于想知道双曲线是 满足什么条件的点的轨迹,但现有知识又无从回答,形成认知冲突,使学生进入 愤悱状态. 教师指出:为探究双曲线的定义,先回顾椭圆的定义,即: 椭圆上动点 M 满足: MF1 ? MF2 ? 2a ( a >0) 引导一:若将上式改为 MF1 ? MF2 ? 2a ( a >0),动点 M 的轨迹是怎样的曲 线呢? [设计意图]“思维从疑问开始” , 以问题为出发点,创设有效的学习情景,不仅 可以复习旧知, 为本节课的学习奠定基础, 而且这样设问可以提高学生的求知欲, 激发学生学习的兴趣. 鼓励学生积极参与、 主动思考, 发挥学生学习的主体作用. [解决方法] 让学生拿出课前准备好的一条拉链,一块纸板,两枚图钉.介绍作图 方法:在拉链拉开的两段上各选择一点,分别固定在纸板上的点 F1 ,F2 处,取 拉锁处为 M 点,由于拉链两段是等长的,则 MF1 ? MF2 ? FF2 ,设 FF2 ? 2a , 把笔尖放在点 M 处,随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图.(如图 1).并由此提出 思考:若动点 M 满足: MF2 ? MF1 ? 2a ( a >0),应该怎样作图呢? 让同桌两人一组,相互磋商、动手绘图,教师巡视,对有困难的小组予以帮 助.然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程, 并展示画图结果.对完成较好的 小组予以表扬,让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦.
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[设计意图] 双曲线的定义为本节课的教学重点之一,为了突出重点,开展探究 活动,让学生动手操作,亲身经历双曲线的形成过程.

图1

图2

学生完成作图后, 再用课件演示作图过程, 指出这一条曲线(图 1)就是满足:
{M MF1 ? MF2 =2a,a ? 0} 集合 P 的动点 M 的轨迹.若将上述集合改为 1 ? P2 ? {M MF2 ? MF1 =2a,a ? 0} ,比较两集合的关系,取 FF1 ? 2a ,同理可画

出此时动点 M 的轨迹(图 2). [设计意图]课件演示不仅增强动感,而且帮助学生克服在实际操作中的困难,体 现数学的严谨性. 观察、比较,归纳: 上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支. 其中右边一支满足: MF1 ? MF2 ,左边一支满足: MF1 ? MF2 引导二: (1)在纸板上作图说明了什么? (2)根据上述绘图原理,双曲线上的动点 M 应满足什么条件? (3)常数 2a 与 F1 F2 有什么关系? 教师引导学生观察、分析,并归纳结论: (1)平面内 (2)动点 M 与两个定点 F1 (3) 0 ? 2a ? F1 F2 并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为: 平面内与两个定点 F1、F2 的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫
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F2 的差的绝对值等于常数.

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做双曲线. 并引入双曲线焦点和焦距的概念:这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的 距离叫做双曲线的焦距. [设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、 分析,启发学生认 识新的概念, 这有利于学生对概念的全面理解,同时培养了学生从量变到质变的 辨证思维. 并实现对数学图形,符号,文字三种语言的相互转化,渗透数形结合 分析问题的数学思想方法. 引导三:如果改变常数 2a 的范围(2a= F1 F2 ,2a=0, 2a> F1 F2 ) ,动点 的轨迹会发生什么变化呢? [解决方法]教师让学生相互讨论 ,鼓励学生大胆阐述自己的结论,并运用课件 进行演示,归纳出: 常数 2 a (1) MF1 ? MF2 ? ?2a (0<2a< F1 F2 ) (2)
MF1 ? MF2 ? 2a= F1 F2

动点 M 的轨迹 双曲线 线段 F1 F2 的延长线上 以 F2 为端点的一条射线

MF2 ? MF1 ? 2a= F1 F2

段 F2F1 的延长线上 以 F1 为端点的一条射线

(3) (4)

2a=0
2a ? F1 F2 (违背了三角形三边长的关系)

段 F1 F2 的中垂线 不存在

[设计意图]通过教师的设问,启发学生思考,让学生在自主探索,合作交流中 归纳概括出结论,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的能力.上述结论是 对满足集合 P ? M (三)类比探究

?

MF1- MF2 =2 a 的动点 M 的轨迹的全面说明.

?

建立方程

引导四:怎样建立双曲线的标准方程呢? [解决方法] 先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤,然后循此步骤,并类比椭 圆标准方程的推导过程,在教师的启发下,由学生自主推导双曲线的标准方程. [设计意图] 通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度,同时让学

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生明确思维的目的,为下一步教学搭桥铺路. 第一步 建系:建立直角坐标系 xOy ,使 x 轴经过点 F1、F2 ,并且 点 O 与线段 F1 F2 的中点重合. (在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后, 建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.) 第二步 设点: 设 M ( x, y) 是双曲线上任意一点,双曲线的 焦距为 2c(c ? 0) ,那么,焦点 F1、F2 的坐标分别是
图3

( ? c,0 )、( c,0 ).又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a. 第三步 写点集:根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集: P = { M | |MF1 | — |MF2 | =± 2 a } 第四步 列方程:用坐标法表示条件 P(M) ,列出方 f(x,y)=0, 即: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a 第五步 化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式. 将方程①化简,得
(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? 2(c 2 ? a 2 )





由双曲线的定义可知, 即c ? a, 所以 c 2 ? a 2 ? 0 .令 c 2 ? a 2 ? b 2 , 2c ? 2a , 其中 b ? 0 ,代入上式,得 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 两边除以 a 2b 2 ,得出:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
对此方程要强调:它是双曲线的焦点在 x 轴上的标准方程,焦点是: F1 ( ? c,0 )、F2 ( c,0 ),焦距 2c . [设计意图] 为了真正做到让学生主动思考、学习,让学生自己动手,独立的完 成这个任务, 从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步学生容易掌握, 第五步的二次根式较复杂,学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此,教师不

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失时机地加强了运算技能的训练.注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二 次根式的化简:平方,赋值,将含有两个根式之差的等式转化为含有 a,b,c 三 字母的整式,再化为等号右端为 1 的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必 要的指导,并选一名学生在黑板上书写化简过程,然后教师点评.这一环节教学 有助于突破本节的教学难点. 注 意:区别双曲线和椭圆的标准方程中 a, b, c 的关系: 双曲线: c 2 ? a 2 ? b 2 ( a ? 0, b ? 0 , a与b没有确定的大小关系) 椭 圆: c 2 ? a 2-b 2 ( a ? b ? 0 )

[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的 a, b, c 的关系,有助于学生克服 椭圆学习中的思维定势. 引导五:焦点在 y 轴上,并且点 O 与线段 F1 F2 的中点重合, a, b, c 的意义同 上,双曲线的方程又如何呢 ?

图4 [解决方法]先让学生作出图 4,引导学生观察、比较图 3 与图 4,并根据椭圆的 焦点在 y 轴上的标准方程的推导方法,鼓励学生大胆猜想,归纳出:只需将上述 标准方程中的 x 、 y 互换,即:

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
[设计意图]该问的设置, 一方面是为了得出焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程; 另一方面培养学生的类比能力, 充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学 生学习的主动性和积极性, 引导六:观察上述两个不同的标准方程,思考:
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(1)双曲线的标准方程有何特点? (2) x 2 , y 2 项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系? [解决方法] 由学生小组交流,教师对学生的回答进行必要的点评,一定要让学生 对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出: 由双曲线标准方程确定焦点位置的方法: 双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴). [设计意图]观察、比较,发现问题;概括、归纳,解决问题,不仅加强了学生对 所学知识的进一步理解,而且培养了学生自主探究和鉴别的能力.为检验学生对 上述结论的掌握情况布置课堂练习: 判断下列双曲线的焦点所在坐标轴: (1) ?
x2 ? y 2 ?-1 ; 16   

9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 ; (2) ?  

(3) 25 x 2 ? 16 y 2 ? 1 . (四) 实践探索 形成能力

1 例题剖析,初步应用 已知双曲线两焦点的坐标为 F1 (?5,0), F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F1 、 F2 的 距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程. [解决方法] 课本例题,难度不大,但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作 用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成,再由学生代表发言,叙 述解题过程,教师点评,板书规范的解题步骤.并指出:上述例题的求解运用了 求曲线方程的基本方法之一: 待定系数法. [设计意图]数学概念是要在运用中得以巩固的, 通过该例题使学生进一步理解双 曲线的定义,掌握标准方程,使知识内化为智能. 2 自我反馈,评价提高 (1)求适合条件 a ? 4, b ? 3 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程 [设计意图]检验学生对双曲线标准方程结构特征的掌握情况.

9 8.3 双曲线及其标准方程(一)第 9 页 共 9 页

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( 2 )填空:已知方程 是 .

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1

[设计意图]区别双曲线的两种不同形式的标准方程,注意焦点位置的讨论.

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 x 2 ? 15 y 2 ? 15 (3) 证明椭圆 25 9
[设计意图]比较两种圆锥曲线标准方程中 a , b, c 的异同.

的焦点相同

通过反馈练习, 再次加强学生对新知识的掌握情况,并检验学生新的认知结 构的形成和技能的发展状况,对教学中所出现的遗漏和不足给予即时补救.达到 巩固, 消化, 检验新知识的目的.同时使学生获得的知识信息纳入长时记忆系统. (五)知识整理,纳入系统 1 知识点: (1)双曲线的定义,焦点,焦距的概念. (2)双曲线标准方程两类形式,如何由方程判定其焦点所在坐标轴. (3) a, b 的确定依据. (4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 a, b, c 间的关系 ( a, b, c 都为正常数,且 c 最大,结构类似勾股定理: c 2 ? a 2 ? b 2 ) 2 3 数学思想: 数形结合、等价转化. 数学方法: 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法.

[设计意图] 通过画龙点睛,提纲挈领的小结,将所学知识纳入已有的知识系统 之中,形成学生自己的认知结构.突出重点,抓住关键,培养学生概括能力.通过 提炼数学的基本思想方法,使学生掌握数学的精髓和本质,提高数学素养. (六) 分层作业,巩固提高 1 必做题:课本 P108 习题第 1、2、3 (1)、4 题 2 课后探究题:
x2 y2 ? 1 共焦点,且过点 (3 2 ,2) 的双曲线的方程; (1)求与双曲线 ? 16 4

(2)当 0 ? ? ? 180? 时,方程 x 2 cos? ? y 2 sin? ? 1 的曲线怎样变化?
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[设计意图]第一部分为课本习题,全班学生必须完成,是基本要求.第二部分课 后探究题,是较高要求,鼓励学有余力的学生完成.分层作业,既巩固知识,形 成技能, 利于教师发现教学中的遗漏和不足.又尊重了学生个体差异 , 因材施教, 兼顾了学习有困难和学有余力的学生,满足了不同层次学生的学习需求,让他们 的数学才能获得了最佳的发展. 板书设计(附录 1) [设计意图]为了勾勒出本节课的教学主线, 呈现完整的知识结构体系并突出重点

六 教学评价分析 本节课设计遵循“教师为主导,学生为主体”的教学原则, 围绕“层层设 问 自主探索 合作交流 发现规律 归纳总结” 这一

主线展开,以促进学生的全面发展为目的.教学活动中,教师作为引导者、组织 者与合作者,通过创设问题情景,引导学生逐步发现知识的形成过程,让学生在 解决问题的过程中学数学,用数学,鼓励学生大胆尝试、探索、发现、归纳、总 结,完成了从感性认识到理性思维的飞跃,体现了“数学教学主要是数学活动的 教学”这一教学思想,让自主探究、合作交流这种新的教育理念真正走进了课堂. 在教学过程中,采用多种方式获取教学的反馈信息(提问、习题的解答、批 改作业以及与学生的交谈) ,并针对具体情况采取行之有效的措施(矫正、弥补、 提高)以提高教学质量,达到最佳教学效益. 改变传统的教学评价,甄别、选拔的功能.改进教学评价:既重结果,又重 过程;既重知识技能,又重情感态度,价值观.真正体现了新课程改革的评价理 念:以评价促进学生发展,以评价促进教师提高.

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