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2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第2节 同角三角函数间的基本关系与诱导公式 文


【锁定高考】 (新课标版)2015 届高考数学一轮总复习(基础达标+ 提优演练) 第 3 章 第 2 节 同角三角函数间的基本关系与诱导公式 文
A 组 基础达标 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,8,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) 已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定

成立的是(B)

A. sin θ <0,cos θ >0 B. sin θ >0,cos θ <0 C. sin θ >0,cos θ >0 D. sin θ <0,cos θ <0 ∵sin(θ +π )<0, ∴-sin θ <0, sin θ >0.∵cos(θ -π )>0, ∴-cos θ >0. ∴cos θ <0. 4 sin 2α (2013·大连模拟)已知 cos α =- ,α 为第二象限角,则 等于(D) 5 cos α A. 8 5 6 B. - 5 8 C. - 5 D. 6 5

4 3 ∵cos α =- ,α 为第二象限角,∴sin α = , 5 5 ∴ sin 2α 2sin α cos α 6 = =2sin α = . cos α cos α 5

?π ? 1 (2014·牡丹江模拟)已知 sin? +α ?= ,则 cos(π +2α )的值为(D) ?2 ? 3
7 2 2 A. - B. - C. 9 3 9 D. 7 9

1 ?π ? 1 2 ∵sin? +α ?= ,∴cos α = ,∴cos(π +2α )=-cos 2α =-(2cos α -1) 3 ?2 ? 3 7 = . 9 sin α +cos α 1 (2012·江西高考)若 = ,则 tan 2α 等于(B) sin α -cos α 2 3 3 A. - B. 4 4 4 C. - 3 D. 4 3

sin α +cos α tan α +1 1 2tan α 3 ∵ = = ,∴tan α =-3.∴tan 2α = = . 2 sin α -cos α tan α -1 2 1-tan α 4 (2014·淄博模拟)已知 sin 1 1 A. - B. 5 5 (sin 7 C. - 5 D. 7 5
2

24 ? π? 2α = ,α ∈?0, ?,则 sin α +cos α 等于(D) 4? 25 ?

α + cos

α ) = 1 + 2sin

α cos

α = 1 + sin

2α =

49 ,又 α ∈ 25

1

?0,π ?,∴sin α +cos α >0,∴sin α +cos α =7. ? 4? 5 ? ?
二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) 2π ? 2 ?π ? 2 ? (2014·韶关模拟)已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=__- __. 3 ? 3 ?6 ? 3 ? 2π ? π ?π ? π ?π ?? ? ? sin?α - ?=sin?- -? -α ??=-sin[ +? -α ?]=-cos 6 3 2 ?6 ?? ? ? ? ? 2 ? 2 - . 3 3 (2013·北京东城月考)已知 sin α = ,且 α 为第二象限角,则 tan α 的值为__- 5 3 __. 4 4 sin α 3 ∵α 为第二象限角,∴cos α =- ,tan α = =- . 5 cos α 4 已知函数 f(x)= sin x- cos x 且 f′(x)= 2f(x), f ′ (x) 是 f(x) 的导函数,则 1+sin x 19 =__- __. 2 cos x-sin 2x 5 f′(x)=cos x+sin x,∵f′(x)=2f(x),∴cos x+sin x=2(sin x-cos x), 2 2 2 2 2 1+sin x 1+sin x 2sin x+cos x 2tan x+1 ∴tan x=3,∴ 2 = 2 = = =- 2 cos x-sin 2x cos x-2sin xcos x cos x-2sin xcos x 1-2tan x 19 . 5 三、 解答题(共 10 分) 3? ?4 (2013·信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ,- ?. 5? ?5 (1)求 sin α 的值;
2

? π -α ? = ?6 ? ? ?

?π sin? -α ?2 (2)求 sin(α +π

? ? ?

tan(α -π ) · 的值. ) cos(3π -α )

(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- .(4 分) 5 cos α tan α sin α 1 (2)原式= · = = ,(8 分) -sin α -cos α sin α ·cos α cos α 4 5 由余弦函数的定义得 cos α = .故所求式子的值为 .(10 分) 5 4 B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,7,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) sin(kπ +α ) cos(kπ +α ) (2014·济南模拟)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成 sin α cos α

2

的集合是(C)

A. {1,-1,2,-2} B. {-1,1} C. {2,-2} D. {1,-1,0,2,-2} sin α cos α sin α cos α 当 k 为偶数时,A= + =2;k 为奇数时,A=- - =- sin α cos α sin α cos α 2. 1+sin x 1 cos x (2014·嘉兴模拟) 已知 =- ,那么 的值是 (A) cos x 2 sin x-1 A. 1 2 1 B. - 2 C. 2 D. -2
2

1+sin x sin x-1 sin x-1 cos x 1 由于 · = =-1,故 = . 2 cos x cos x cos x sin x-1 2

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) ?2 ? (2013·杭州模拟)设 α 是第三象限角, 且 tan α =2, 则 3 ? π ? sin? +α ? ? 2 ?
等于(B) A. 5 5 B. - 5 5 C. 2 5 5 2 5 D. - 5

sin α 2 2 ∵α 是第三象限象,且 tan α = =2,又 sin α +cos α =1,∴cos α cos α

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) 5 cos α ·(-cos α ) 5 ?2 ? =- .∴ = =cos α =- . 5 -cos α 5 ?3π ? sin? +α ? ? 2 ?
(2014·江西八校模拟)在直角坐标平面内,已知函数 f(x)=loga(x+2)+3(a>0 且 2 a≠1)的图像恒过定点 P,若角 θ 的终边过点 P,则 cos θ +sin 2θ 的值等于(A) 1 1 A. - B. 2 2 C. 7 10 D. - 7 10
2

cos θ +2sin θ cos θ 2 点 P 为(-1,3),则 tan θ =-3,cos θ +sin 2θ = = 2 2 sin θ +cos θ 1+2tan θ 1 =- . 2 tan θ +1 2 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) sin θ +cos θ 3 ? 3π ? 若 =2,则 sin(θ -5π )sin? -θ ?=__ __. 2 sin θ -cos θ 10 ? ? sin θ +cos θ 由 =2,得 sin θ +cos θ =2(sin θ -cos θ ), sin θ -cos θ 两边平方得 1+2sin θ cos θ =4(1-2sin θ cos θ ), 3 故 sin θ cos θ = , 10

3

∴sin(θ -5π )sin?

?3π -θ ? 2

?=sin θ cos θ = 3 . ? 10 ?

(2013·北京东城月考)已知 sin α +cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =__1__. 2 等式两边平方得(sin α +cos α ) =2,即 1+2sin α cos α =2,∴sin 2α =1, π π π ∵0<α <π ,∴0<2α <2π ,∴2α = ,α = ,∴tan α =tan =1. 2 4 4 π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 已知函数 f(x)=? 则 f(f(2 014))=__-1__. ? ?x-104,x>2 000, π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 由 f(x)=? 得 f(2 014)=2 014-104=1 910, f(1 910)= ? x - 104 , x>2 000 ? π 2π ? 2π ? ? ? 2cos? ×1 910?=2cos?636π + ?=2cos =-1,故 f(f(2 014))=-1. 3 ? 3 ?3 ? ? 三、 解答题(共 15 分) (7 分)已知 sin(π -α )-cos(π +α )= (1)sin α -cos α ; 2 ?π ? ? <α <π ?.求下列各式的值: 3 ?2 ?

? ? 3?π 3?π (2)sin ? -α ?+cos ? +α ?. ?2 ? ?2 ?
由 sin(π -α )-cos(π +α )= 2 ,得 sin α +cos 3 α = 2 , 3 ①

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α ·cos α = ,故 2sin α ·cos α =- . 9 9 又 π <α <π ,∴sin α >0,cos α <0.(3 分) 2

? 7? 16 2 (1)(sin α -cos α ) =1-2sin α ·cos α =1-?- ?= , ? 9? 9
4 ∴sin α -cos α = .(5 分) 3

? ? 3 ?π 3 ?π 3 3 (2)sin ? -α ? + cos ? +α ? = cos α - sin α = (cos ?2 ? ?2 ?
7? 4 ? 22 2 cos α ·sin α +sin α )=- ×?1- ?=- .(7 分) 3 ? 18? 27

α - sin

α )·(cos α +

2

3 ? sin(α -π )cos(2π -α )cos?-α + π 2 ? (8 分)已知 f(α )= ?π ? cos? -α ?sin(-π -α ) ?2 ? (1)化简 f(α ); 3 ? 1 ? (2)若 α 为第三象限角,且 cos?α - π ?= ,求 f(α )的值; 2 ? 5 ? 31 (3)若 α =- π ,求 f(α )的值. 3

? ? ?

.

4

(-sin α )cos α (-sin α ) (1)f(α )= =cos α .(2 分) sin α ·sin α 3 ? 1 1 ? (2)∵cos?α - π ?=-sin α = ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? 2 6 2 又 α 为第三象限角,∴cos α =- 1-sin α =- , 5 2 6 ∴f(α )=- .(5 分) 5 31 5 (3)∵- π =-6×2π + π , 3 3 5 ? ? 31 ? ? 31 ? ? ∴f?- π ?=cos?- π ?=cos?-6×2π + π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 π =cos π =cos =A 组 基础达标 3 3 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,8,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) 已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是(B)

A. sin θ <0,cos θ >0 B. sin θ >0,cos θ <0 C. sin θ >0,cos θ >0 D. sin θ <0,cos θ <0 ∵sin(θ +π )<0, ∴-sin θ <0, sin θ >0.∵cos(θ -π )>0, ∴-cos θ >0. ∴cos θ <0. 4 sin 2α (2013·大连模拟)已知 cos α =- ,α 为第二象限角,则 等于(D) 5 cos α A. 8 5 6 B. - 5 8 C. - 5 D. 6 5

4 3 ∵cos α =- ,α 为第二象限角,∴sin α = , 5 5 ∴ sin 2α 2sin α cos α 6 = =2sin α = . cos α cos α 5

?π ? 1 (2014·牡丹江模拟)已知 sin? +α ?= ,则 cos(π +2α )的值为(D) ?2 ? 3
7 2 2 A. - B. - C. 9 3 9 D. 7 9

1 ?π ? 1 2 ∵sin? +α ?= ,∴cos α = ,∴cos(π +2α )=-cos 2α =-(2cos α -1) 2 3 3 ? ? 7 = . 9 sin α +cos α 1 (2012·江西高考)若 = ,则 tan 2α 等于(B) sin α -cos α 2 3 3 A. - B. 4 4 4 C. - 3 D. 4 3

5

sin α +cos α tan α +1 1 2tan α 3 ∵ = = ,∴tan α =-3.∴tan 2α = = . 2 sin α -cos α tan α -1 2 1-tan α 4 (2014·淄博模拟)已知 sin 1 1 A. - B. 5 5 (sin 7 C. - 5 D. 7 5
2

24 ? π? 2α = ,α ∈?0, ?,则 sin α +cos α 等于(D) 4? 25 ?

α + cos

α ) = 1 + 2sin

α cos

α = 1 + sin

2α =

49 ,又 α ∈ 25

?0,π ?,∴sin α +cos α >0,∴sin α +cos α =7. ? ? 4? 5 ?
二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) (2014·韶关模拟)已知 cos?

? π -α ?6

?=2,则 sin?α -2π ?=__-2__. ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? π -α ? = ?6 ? ? ?

2π ? π ?π ? π ?π ?? ? ? sin?α - ?=sin?- -? -α ??=-sin[ +? -α ?]=-cos 3 ? 2 ?6 ?? ? ? ? 2 ?6 2 - . 3

3 (2013·北京东城月考)已知 sin α = ,且 α 为第二象限角,则 tan α 的值为__- 5 3 __. 4 4 sin α 3 ∵α 为第二象限角,∴cos α =- ,tan α = =- . 5 cos α 4 已知函数 f(x)= sin x- cos x 且 f′(x)= 2f(x), f ′ (x) 是 f(x) 的导函数,则 1+sin x 19 =__- __. 2 cos x-sin 2x 5 f′(x)=cos x+sin x,∵f′(x)=2f(x),∴cos x+sin x=2(sin x-cos x), 1+sin x 1+sin x 2sin x+cos x 2tan x+1 ∴tan x=3,∴ 2 = 2 = = =- 2 cos x-sin 2x cos x-2sin xcos x cos x-2sin xcos x 1-2tan x 19 . 5 三、 解答题(共 10 分) 3? ?4 (2013·信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ,- ?. 5? ?5 (1)求 sin α 的值;
2 2 2 2 2 2

?π sin? -α ?2 (2)求 sin(α +π

? ? ?

tan(α -π ) · 的值. ) cos(3π -α )

(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- .(4 分) 5 cos α tan α sin α 1 (2)原式= · = = ,(8 分) -sin α -cos α sin α ·cos α cos α

6

4 5 由余弦函数的定义得 cos α = .故所求式子的值为 .(10 分) 5 4 B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,7,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) sin(kπ +α ) cos(kπ +α ) (2014·济南模拟)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成 sin α cos α 的集合是(C)

A. {1,-1,2,-2} B. {-1,1} C. {2,-2} D. {1,-1,0,2,-2} sin α cos α sin α cos α 当 k 为偶数时,A= + =2;k 为奇数时,A=- - =- sin α cos α sin α cos α 2. 1+sin x 1 cos x (2014·嘉兴模拟) 已知 =- ,那么 的值是 (A) cos x 2 sin x-1 A. 1 2 1 B. - 2 C. 2 D. -2
2

1+sin x sin x-1 sin x-1 cos x 1 由于 · = =-1,故 = . 2 cos x cos x cos x sin x-1 2

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) ?2 ? (2013·杭州模拟)设 α 是第三象限角, 且 tan α =2, 则 ? 3π ? sin? +α ? ? 2 ?
等于(B) A. 5 5 B. - 5 5 C. 2 5 5 2 5 D. - 5

sin α 2 2 ∵α 是第三象限象,且 tan α = =2,又 sin α +cos α =1,∴cos α cos α

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) 5 cos α ·(-cos α ) 5 ?2 ? =- .∴ = =cos α =- . 5 -cos α 5 ?3π ? sin? +α ? ? 2 ?
(2014·江西八校模拟)在直角坐标平面内,已知函数 f(x)=loga(x+2)+3(a>0 且 2 a≠1)的图像恒过定点 P,若角 θ 的终边过点 P,则 cos θ +sin 2θ 的值等于(A) 1 1 A. - B. 2 2 C. 7 10 D. - 7 10
2 2

cos θ +2sin θ cos θ 点 P 为(-1,3),则 tan θ =-3,cos θ +sin 2θ = = 2 2 sin θ +cos θ 1+2tan θ 1 =- . 2 tan θ +1 2 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分)

7

sin θ +cos θ ? 3π 若 =2,则 sin(θ -5π )sin? -θ sin θ -cos θ ? 2

?=__ 3 __. ? 10 ?

sin θ +cos θ 由 =2,得 sin θ +cos θ =2(sin θ -cos θ ), sin θ -cos θ 两边平方得 1+2sin θ cos θ =4(1-2sin θ cos θ ), 3 故 sin θ cos θ = , 10 ∴sin(θ -5π )sin?

?3π -θ ?=sin θ cos θ = 3 . ? 10 ? 2 ?

(2013·北京东城月考)已知 sin α +cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =__1__. 2 等式两边平方得(sin α +cos α ) =2,即 1+2sin α cos α =2,∴sin 2α =1, π π π ∵0<α <π ,∴0<2α <2π ,∴2α = ,α = ,∴tan α =tan =1. 2 4 4 π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 已知函数 f(x)=? 则 f(f(2 014))=__-1__. ? ?x-104,x>2 000, π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 由 f(x)=? 得 f(2 014)=2 014-104=1 910, f(1 910)= ? ?x-104,x>2 000 2π ? 2π ?π ? ? 2cos? ×1 910?=2cos?636π + ?=2cos =-1,故 f(f(2 014))=-1. 3 ? 3 ?3 ? ? 三、 解答题(共 15 分) (7 分)已知 sin(π -α )-cos(π +α )= (1)sin α -cos α ; 2 ?π ? ? <α <π ?.求下列各式的值: 3 ?2 ?

? ? 3?π 3?π (2)sin ? -α ?+cos ? +α ?. 2 ? ? ?2 ?
由 sin(π -α )-cos(π +α )= 2 ,得 sin α +cos 3 α = 2 , 3 ①

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α ·cos α = ,故 2sin α ·cos α =- . 9 9 又 π <α <π ,∴sin α >0,cos α <0.(3 分) 2

? 7? 16 2 (1)(sin α -cos α ) =1-2sin α ·cos α =1-?- ?= , ? 9? 9
4 ∴sin α -cos α = .(5 分) 3

? ? 3 ?π 3 ?π 3 3 (2)sin ? -α ? + cos ? +α ? = cos α - sin α = (cos 2 2 ? ? ? ?
7? 4 ? 22 2 cos α ·sin α +sin α )=- ×?1- ?=- .(7 分) 3 ? 18? 27

α - sin

α )·(cos α +

2

8

3 ? sin(α -π )cos(2π -α )cos?-α + π 2 ? (8 分)已知 f(α )= ?π ? cos? -α ?sin(-π -α ) 2 ? ? (1)化简 f(α ); 3 ? 1 ? (2)若 α 为第三象限角,且 cos?α - π ?= ,求 f(α )的值; 2 ? 5 ? 31 (3)若 α =- π ,求 f(α )的值. 3 (-sin α )cos α (-sin α ) (1)f(α )= =cos α .(2 分) sin α ·sin α 3 ? 1 1 ? (2)∵cos?α - π ?=-sin α = ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? 2 6 2 又 α 为第三象限角,∴cos α =- 1-sin α =- , 5 2 6 ∴f(α )=- .(5 分) 5 31 5 (3)∵- π =-6×2π + π , 3 3 5 ? ? 31 ? ? 31 ? ? ∴f?- π ?=cos?- π ?=cos?-6×2π + π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 π =cos π =cos =A 组 基础达标 3 3

? ? ?

.

(时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,8,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) 已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是(B)

A. sin θ <0,cos θ >0 B. sin θ >0,cos θ <0 C. sin θ >0,cos θ >0 D. sin θ <0,cos θ <0 ∵sin(θ +π )<0, ∴-sin θ <0, sin θ >0.∵cos(θ -π )>0, ∴-cos θ >0. ∴cos θ <0. 4 sin 2α (2013·大连模拟)已知 cos α =- ,α 为第二象限角,则 等于(D) 5 cos α A. 8 5 6 B. - 5 8 C. - 5 D. 6 5

4 3 ∵cos α =- ,α 为第二象限角,∴sin α = , 5 5 ∴ sin 2α 2sin α cos α 6 = =2sin α = . cos α cos α 5

?π ? 1 (2014·牡丹江模拟)已知 sin? +α ?= ,则 cos(π +2α )的值为(D) ?2 ? 3

9

7 2 2 A. - B. - C. 9 3 9

D.

7 9

1 ?π ? 1 2 ∵sin? +α ?= ,∴cos α = ,∴cos(π +2α )=-cos 2α =-(2cos α -1) 3 ?2 ? 3 7 = . 9 sin α +cos α 1 (2012·江西高考)若 = ,则 tan 2α 等于(B) sin α -cos α 2 3 3 A. - B. 4 4 4 C. - 3 D. 4 3

sin α +cos α tan α +1 1 2tan α 3 ∵ = = ,∴tan α =-3.∴tan 2α = = . 2 sin α -cos α tan α -1 2 1-tan α 4 (2014·淄博模拟)已知 sin 1 1 A. - B. 5 5 (sin 7 C. - 5 D. 7 5
2

24 ? π? 2α = ,α ∈?0, ?,则 sin α +cos α 等于(D) 4? 25 ?

α + cos

α ) = 1 + 2sin

α cos

α = 1 + sin

2α =

49 ,又 α ∈ 25

?0,π ?,∴sin α +cos α >0,∴sin α +cos α =7. ? ? 4? 5 ?
二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) ?π (2014·韶关模拟)已知 cos? -α ?6

?=2,则 sin?α -2π ?=__-2__. ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? π -α ? = ?6 ? ? ?

2π ? π ?π ? π ?π ?? ? ? sin?α - ?=sin?- -? -α ??=-sin[ +? -α ?]=-cos 3 ? 2 ?6 ?? ? ? ? 2 ?6 2 - . 3

3 (2013·北京东城月考)已知 sin α = ,且 α 为第二象限角,则 tan α 的值为__- 5 3 __. 4 4 sin α 3 ∵α 为第二象限角,∴cos α =- ,tan α = =- . 5 cos α 4 已知函数 f(x)= sin x- cos x 且 f′(x)= 2f(x), f ′ (x) 是 f(x) 的导函数,则 1+sin x 19 =__- __. 2 cos x-sin 2x 5 f′(x)=cos x+sin x,∵f′(x)=2f(x),∴cos x+sin x=2(sin x-cos x), 2 2 2 2 2 1+sin x 1+sin x 2sin x+cos x 2tan x+1 ∴tan x=3,∴ 2 = 2 = = =- 2 cos x-sin 2x cos x-2sin xcos x cos x-2sin xcos x 1-2tan x 19 . 5 三、 解答题(共 10 分) 3? ?4 (2013·信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ,- ?. 5? ?5
10
2

(1)求 sin α 的值;

?π ? sin? -α ? tan(α -π ) ?2 ? (2)求 · 的值. sin(α +π ) cos(3π -α )
(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- .(4 分) 5 cos α tan α sin α 1 (2)原式= · = = ,(8 分) -sin α -cos α sin α ·cos α cos α 4 5 由余弦函数的定义得 cos α = .故所求式子的值为 .(10 分) 5 4 B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,7,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) sin(kπ +α ) cos(kπ +α ) (2014·济南模拟)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成 sin α cos α 的集合是(C)

A. {1,-1,2,-2} B. {-1,1} C. {2,-2} D. {1,-1,0,2,-2} sin α cos α sin α cos α 当 k 为偶数时,A= + =2;k 为奇数时,A=- - =- sin α cos α sin α cos α 2. 1+sin x 1 cos x (2014·嘉兴模拟) 已知 =- ,那么 的值是 (A) cos x 2 sin x-1 A. 1 2 1 B. - 2 C. 2 D. -2
2

1+sin x sin x-1 sin x-1 cos x 1 由于 · = =-1,故 = . 2 cos x cos x cos x sin x-1 2

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) ?2 ? (2013·杭州模拟)设 α 是第三象限角, 且 tan α =2, 则 ? 3π ? sin? +α ? ? 2 ?
等于(B) A. 5 5 B. - 5 5 C. 2 5 5 2 5 D. - 5

sin α 2 2 ∵α 是第三象限象,且 tan α = =2,又 sin α +cos α =1,∴cos α cos α

11

?π ? sin? -α ?cos(π +α ) 5 cos α ·(-cos α ) 5 ?2 ? =- .∴ = =cos α =- . 5 -cos α 5 ?3π ? sin? +α ? 2 ? ?
(2014·江西八校模拟)在直角坐标平面内,已知函数 f(x)=loga(x+2)+3(a>0 且 2 a≠1)的图像恒过定点 P,若角 θ 的终边过点 P,则 cos θ +sin 2θ 的值等于(A) 1 1 A. - B. 2 2 C. 7 10 D. - 7 10
2 2

cos θ +2sin θ cos θ 点 P 为(-1,3),则 tan θ =-3,cos θ +sin 2θ = = 2 2 sin θ +cos θ 1+2tan θ 1 =- . 2 tan θ +1 2 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) sin θ +cos θ 3 ? 3π ? 若 =2,则 sin(θ -5π )sin? -θ ?=__ __. sin θ -cos θ 10 ? 2 ? sin θ +cos θ 由 =2,得 sin θ +cos θ =2(sin θ -cos θ ), sin θ -cos θ 两边平方得 1+2sin θ cos θ =4(1-2sin θ cos θ ), 3 故 sin θ cos θ = , 10 ∴sin(θ -5π )sin?

?3π -θ ? 2

?=sin θ cos θ = 3 . ? 10 ?

(2013·北京东城月考)已知 sin α +cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =__1__. 2 等式两边平方得(sin α +cos α ) =2,即 1+2sin α cos α =2,∴sin 2α =1, π π π ∵0<α <π ,∴0<2α <2π ,∴2α = ,α = ,∴tan α =tan =1. 2 4 4 π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 已知函数 f(x)=? 则 f(f(2 014))=__-1__. ? ?x-104,x>2 000, π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 由 f(x)=? 得 f(2 014)=2 014-104=1 910, f(1 910)= ? x - 104 , x>2 000 ? π 2π ? 2π ? ? ? 2cos? ×1 910?=2cos?636π + ?=2cos =-1,故 f(f(2 014))=-1. 3 ? 3 ?3 ? ? 三、 解答题(共 15 分) (7 分)已知 sin(π -α )-cos(π +α )= (1)sin α -cos α ; 2 ?π ? ? <α <π ?.求下列各式的值: 3 ?2 ?

? ? 3?π 3?π (2)sin ? -α ?+cos ? +α ?. ?2 ? ?2 ?
由 sin(π -α )-cos(π +α )= 2 ,得 sin α +cos 3 α = 2 , 3 ①

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α ·cos α = ,故 2sin α ·cos α =- . 9 9

12



π <α <π ,∴sin α >0,cos α <0.(3 分) 2

? 7? 16 2 (1)(sin α -cos α ) =1-2sin α ·cos α =1-?- ?= , ? 9? 9
4 ∴sin α -cos α = .(5 分) 3

? ? 3 ?π 3 ?π 3 3 (2)sin ? -α ? + cos ? +α ? = cos α - sin α = (cos 2 ? ? ?2 ?
7? 4 ? 22 2 cos α ·sin α +sin α )=- ×?1- ?=- .(7 分) 3 ? 18? 27

α - sin

α )·(cos α +

2

3 ? sin(α -π )cos(2π -α )cos?-α + π 2 ? (8 分)已知 f(α )= ?π ? cos? -α ?sin(-π -α ) 2 ? ? (1)化简 f(α ); 3 ? 1 ? (2)若 α 为第三象限角,且 cos?α - π ?= ,求 f(α )的值; 2 ? 5 ? 31 (3)若 α =- π ,求 f(α )的值. 3 (-sin α )cos α (-sin α ) (1)f(α )= =cos α .(2 分) sin α ·sin α 3 ? 1 1 ? (2)∵cos?α - π ?=-sin α = ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? 2 6 2 又 α 为第三象限角,∴cos α =- 1-sin α =- , 5 2 6 ∴f(α )=- .(5 分) 5 31 5 (3)∵- π =-6×2π + π , 3 3 5 ? ? 31 ? ? 31 ? ? ∴f?- π ?=cos?- π ?=cos?-6×2π + π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 π 1 =cos π =cos = . (8 分) 3 3 2

? ? ?

.

13


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