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湖南省平江县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


平江一中 2015 年高二期中考试 数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1、 在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= 1 ,则 sinB=( ) 3 A. 5 9 B. 1 5 C.

5 3

D.1 )

/>
2、已知数列 {a n } 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a6 ? a7 等于( A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 )

3、已知命题 p : ?x ? (0, ??), x 2 ? x ? 1, 则命题 p 的否定形式是(
2 A. ?p : ?x0 ? (0, ??), x0 ? x0 ? 1

2 B. ?p : ?x0 ? (??, 0), x0 ? x0 ? 1

2 C. ?p : ?x0 ? (0, ??), x0 ? x0 ? 1

2 D. ?p : ?x0 ? (??, 0), x0 ? x0 ? 1

4、若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ ? a ? 2 ?? a ? 4 ? ? 0 ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 5、已知数列 {a n } 是等比数列,且 a1 ? A.2 B. ?



B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 2

1 , a 4 ? ?1 ,则数列 {a n } 的公比 q 为( 8 1 C.-2 D. 2




6、若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 A. 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D.8 ) D.16

B.1 C.2 1 9 7、若 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是( x y A.6 8、椭圆 B.12 C.24

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 25 9

F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的

面积为( ) A. 12 B.10 C.9 D.8 9、两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距( )

A.a (km)

B. 2 a(km)

C. 3 a(km)

D.2a (km)

10、已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ( A. )

1 x ,焦点在 x 轴上,焦距为 20 ,则它的方程为 2

y 2 x2 ? ?1 20 80

B.

x2 y 2 ? ?1 20 80

C.

y 2 x2 ? ?1 80 20

D.

x2 y 2 ? ?1 80 20
b sin B ? c

11、 在 ?ABC 中,a ,b , c 是角 A, B, C 的对边, 若 a ,b , c 成等比数列,A ? 450 , 则 ( ) A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 4

12、方程 ax2 ? by2 ? ab和 ax ? by ? 1 ? 0(ab ? 0, a ? b) ,所表示的曲线可能是(



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线.

13、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a1 等于



14、 △ ABC 的三个内角 A 、 已知 c ? 3, C ? c, b、 C 所对边的长分别为 a 、 B、 则 b 的值为 .

?
3

, a ? 2b ,

?x ? 2 ? 15、已知 x 、 y 满足 ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ?
16、若方程



x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为__________. 1? k 2 ? k 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、(本题 10 分)已知命题 p : c2 < c ,和命题 q : ?x ? R,x 2 ? 4cx ? 1 ? 0 , p ? q 为真,

p ? q 为假,求实数 c 的取值范围.

18、(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? ) x ? 1 , a ? 0 (1)当 a ?

1 a

1 1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)比较 a与 的大小; 2 a

(3)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

19、(本题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? 2an ? 1 (1)证明 {an } 为等比数列,并求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ;求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (log 2 an ?1 ) ? (log 2 an ? 2 )

20、(本题 12 分)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(1)求角 C 的大小; (2)若 C ? 7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

21、(本题 12 分)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世 界上人口老龄化速度最快的国家之一,再不实施“放开二胎”新政策,整个社会将会出 现一系列的问题.若某地区 2015 年人口总数为 45 万,实施 “放开二胎” 新政策后专 家估计人口总数将发生如下变化:从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5 万 人,从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 99%. (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注:2016 年为第一年) ; (2)若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万,则需调整政策,否则 继续实施.问到 2035 年后是否需要调整政策?(说明: 0.9910 ? (1 ? 0.01)10 ? 0.9 )

22、 (本题 12 分)已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,短轴的两端点分 别为 B1、B2, (1)若椭圆 C 的离心率为 ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,弦 AB 的中点为( ,1) , 求直线 l 的方程; (2) 若椭圆 C 的短轴长为 2, 过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点, 且 F1P ? F1Q , 求直线 l 的方程.

平江一中 2015 年高二期中考试 (理科)数学 1-5 ACCBC; 6-10 ADCBD; 答案 11-12CB

3 ;15、6;16、 ?2 ? k ? 1 且 k ? ? 1 2 2 17、由不等式 c < c ,得 0 ? c ? 1 ,
13、 ?8 ;14、 即命题 p : 0 ? c ? 1 ,所以命题 ?p : c ? 0 或 c ? 1 ,

1 1 1 1 ? c ? ,得命题 q : ? ? c ? 2 2 2 2 1 1 所以命题 ?q : c ? ? 或 c ? ,由题知: p 和 q 必有一个为真一个为假. 2 2 1 1 1 当 p 真 q 假时 ? ? c ? 0 : ? c ? 1 当 q 真 p 假时: ? ? c ? 0 2 2 2 1 故 c 的取值范围是: 或 ? c ? 1 . 2 1 3 18、 (1)当 a ? 时,有不等式 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 ∴ ( x ? )( x ? 2) ? 0 ,∴不等式的解集为: {x | ? x ? 2} ; 2 2 1 (a ? 1)( a ? 1) (2)∵ a ? ? 且a ? 0 a a 1 1 1 ∴当 0 ? a ? 1 时,有 ? a 当 a ? 1 时,有 ? a 当 a ? 1 时, a ? ; a a a 1 (3)∵不等式 f ( x) ? ( x ? )( x ? a ) ? 0 a 1 1 当 0 ? a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | a ? x ? } ; a a 1 1 当 a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 {x | ? x ? a} ; a a
又由 (4c) 2 ? 4 ? 0 ,得 ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 x ? {1} . 19、 【解析】 (Ⅰ)由 S n ? 2an ? 1 知 S n ?1 ? 2an ?1 ? 1 所以 S n ?1 ? S n ? 2an ?1 ? 2an ,即 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,从而 an ?1 ? 2an 所以,数列 {an } 是以 2 为公比的等比数列 又 a1 ? 2a1 ? 1 可得 a1 ? 1 ,故 an ? 2n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? 2n ?1 ,故 an ?1 ? 2n , an ? 2 ? 2n ?1 所以 log 2 an ?1 ? n , log 2 an ? 2 ? n ? 1 ,故而 bn ? 所以 Tn ? 1 ? 20、解:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1


3a ? sin A 2c

3 sin A ? sin A 2sin C

∴ sin C ?

3 ? C ? 60? 2

∵S ?
2

1 3 3 ab sin 60? ? ? ab ? 6 2 2
2 2 2 2

又 C= 7
1 2

∴c =a +b -2abcos60° ∴(a+b)2=7+3ab=25 21、 公差为 0.5 的等差数列,

7=a +b -2ab·

7=(a+b) -2ab-ab

2

∴a+b=5 (Ⅰ) 当 n ? 10 时, 数列 ?an ?是首项为 45.5 ,

? an ? 45 .5 ? 0.5 ? (n ? 1) ? 45 ? 0.5n
当 n ? 11 时,数列 ?an ?是以公比为 0.99 的等比数列,又 a10 ? 50
? an ? 50 ? 0.99n ?10

因此,新政策实施后第 n 年的人口总数 an (单位:万元)的表达式为

? 45 ? 0.5n,1 ? n ? 10 an ? ? n ?10 ,11 ? n ? 20 ?50 ? 0.99
(Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,则从 2016 年到 2035 年共 20 年,由等差数列及等比 数列的求和公式得:

S20 ? S10 ? (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? 477.5 ? 4950 ? (1 ? 0.9910 ) ? 972.5 万
(说明: 0.9910 ? (1 ? 0.01)10 ? 0.9 )
? 新政策实施到 2035 年年人口均值为

S 20 ? 48.62 万 20

由 S20 ? 49 ,故到 2035 年不需要调整政策. 20 22、 (1)设直线 l 的方程为 y=kx+b;

由条件知

,∴a=2,b2=4﹣1=3;∴椭圆 C 的方程为



将直线 l 的方程带入椭圆 C 的方程并整理得: (3+4k2)x2+8kbx+4b2﹣12=0; 若设 A (x1, y1) , B (x2, y2) 则: 根据 AB 的中点坐标,所以: , ;

;解得

;∴直线 l 的方程为



(2)由条件知 b=1,a2=2,椭圆方程为



直线 l 过 F2(1,0) ,方程可设为:y=k(x﹣1) ; 2 2 2 ∴带入椭圆方程并整理得: (1+2k )x ﹣4k x+2k2﹣2=0; 若设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则: , , = ;

由条件



= (x1+1, y1) ? (x2+1, y2) =x1x2+x1+x2+1+y1y2=



∴解得 k=

;∴直线 l 的方程为

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