tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013年全国高中数学联赛试题及解答


文 武 光 华
2013 年全国高中数学联赛试题及其解答
解答人:文武光华数学工作室 田开斌 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。
1、设集合A = 2,0,1,3 ,集合B = x| ? x ∈ A,2 ? x ? A ,则集合B中所有元素 的和为 。 解答:易知集合B = ?2, ? 3 ,所有集合B中所有元素的

和为?5。 ? · OB ? = ?4,F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中,点 A、B 在抛物线y = 4x上,满足OA 物线的焦点,则S△ · S△ = 。 ? · OB ?= 解答:根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ,2m ,点B n ,2n ,则OA m n + 4mn = ?4 ? mn = ?2。于是知S△ · S△ =
| |·| |

·

|

|·|

|

= |mn| = 2。

3、在△ABC 中,已知sin A = 10 sin B sin C,cos A = 10 cos B cos C,则tan A的值 为 。 解答:根据条件知:sin A ? cos A = 10(sin B sin C ? cos B cos C) = ?10 cos(B + C) = 10 cos A ? sin A = 11 cos A ? tan A = 11。 4、已知正三棱锥P ? ABC底面边长为1,高为√2,则其内切球半径为 。 解答:设△ABC 外心为 O,O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F,则OD = OE = OF =
√ ×




,于是易知S△

= S△

= S△

= + S△

= + S△



。又S△ )·r

=



。设正三

棱锥P ? ABC的内切球半径为r,则 V = · S△ · √2 = (S△ ? ·
√ √

+ S△

· √2 =





+



·r

?r=

所以正三棱锥P ? ABC的内切球半径为 。 5、设a、b为实数,函数f(x) = ax + b满足:对任意x ∈ 0,1 ,有|f(x)| ≤ 1,则ab的 最大值为 。 b = f(0) a = f(1) ? f(0) 解答:因为 ? ,于是ab = [f(1) ? f(0)] · f(0) = a + b = f(1) b = f(0) ? f(0) ?
( )



+

( )



( )

≤ 。当a = b = 时,即满足条件,且ab = 。

6、从1、2、3、 … … 、20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率 为 。 解答:从1、2、3、 … … 、20中任取5个不同的数,有C 种取法。 如果所取的5个数两两不相邻,不妨设所取5个数分别为1 ≤ a<b<c<d<e ≤ 20。令 x = a,x = b ? a ? 1,x = c ? b ? 1,x = d ? c ? 1,x = e ? d ? 1,x = 21 ? e,则 x ≥ 1(i = 1、2、 … … 、6),且x + x + x + x + x + x = 17。于是取数的方式与方程 x + x + x + x + x + x = 17的正整数解构成一一对应。而方程x + x + x + x + x + x = 17的正整数解有C 组,所以所取的5个数两两不相邻的取数方式有C 种,从而至少有 两个是相邻数的取数方式有C ? C 种。于是少有两个是相邻数的概率为 = 。

交流知识

共享智慧

文 武 光 华
7、若实数x、y满足x ? 4 y = 2 x ? y,则x的取值范围是 。 解答方法一: 因为x ? 4 y = 2 x ? y ? x = 4 y + 2 x ? y ≥ 0 。当 x = 0 时, y = 0 , 显然满足条件。 当x>0时,因为x = 4 y + 2 x ? y = 2 y + 2 x?y 4 y+2 x?y ≥ 4 y + 2 x?y ≥

= √4x ? x ≥ 4,又根据柯西不等式知x = 4 y + 2 x ? y ≤

[y + (x ? y)] · (16 + 4) = √20x ? x ≤ 20。此时x的取值范围为 4,20 。 综上所述,x的取值范围为{0}? 4,20 。 解答方法二:因为 (α ∈ 0, y + x?y = x,我们令 y = √x sin α, x ? y = √x cos α ),则x = 4 y + 2 x ? y = 4√x sin α + 2√x cos α。

当x = 0时,显然满足条件。当x ≠ 0时,x = 4√x sin α + 2√x cos α ? √x = 4 sin α + 2 cos α,显然有2 ≤ √x ≤ √20 ? 4 ≤ x ≤ 20。综上所述,x的取值范围为{0}? 4,20 。 解答方法三:令a = y,b = x ? y,则a ≥ 0,b ≥ 0,x = a + b 。从而x ? 4 y = 2 x ? y ? a + b ? 4a = 2b ? (a ? 2) + (b ? 1) = 5。显然,坐标 a,b 的轨迹为下图 实线的圆弧加原点,x即为圆弧上对于点到原点距离的平方。易知x的取值范围为 {0}? 4,20 。

8、已知数列{a }共有9项,其中a = a = 1,且对每个i ∈ 1,2, … … ,8 ,均有 ∈ 2,1, ? 解答 :令b = ,则这样的数列的个数为 ,则b ∈ 2,1, ? 。 , i ∈ 1,2, … … ,8 。知 a = a · b b … b ,

所以a = a = 1 ? b b … b = 1。 设b 、b 、 … 、b 中有k个? ,则其中有k个2,8 ? 2k个1,且k为偶数。显然2k ≤ 8 , 所以只能k = 0,2,4。当k = 0时,满足条件的{b }序列有C 个;当k = 2时,满足条件的 {b }序列有C · C 个;当k = 4时,满足条件的{b }序列有C · C 个。所以满足条件的数列 {a }有C + C · C + C · C = 491个。

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。
9、(本题满分 16 分) 给定正数数列{x }满足S ≥ 2S ,n = 2、3、 … …,这里S = x + x + ? + x 。证 明:存在常数C>0,使得x ≥ C · 2 ,n = 1,2, … …。 解答:根据条件知S ≥ 2S ≥2 S ≥ ? ≥ 2 S = 2 x 。于是,当n ≥ 2时, 有x = S ? S ≥S ≥2 x = ·2 。 又当n = 1时,x > · 2 。所以取C = 即满足条件。

10、(本题满分 20 分) 在平面直角坐标系xOy中,椭圆的方程为 + = 1(a>b>0),A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点,F 、F 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。

交流知识

共享智慧

文 武 光 华
若平面中两个点Q、R满足QA ⊥PA ,QA ⊥PA ,RF ⊥PF ,RF ⊥PF 。试确定线段 QR 的长度与b的大小关系,并给出证明。 解答方法一:设点P x ,y ,Q x ,y ,R x ,y 。又A ?a,0 ,A a,0 , F ?c,0 ,F c,0 。因为 + = 1,所以 ≤ 1 ? |y | ≤ b。 x = ?x (x + a)(x + a) + y y = 0 因为QA ⊥PA ,QA ⊥PA ,所以 ,解得 y = ,即 (x ? a)(x ? a) + y y = 0 点Q ?x , 。 x = ?x (x + c)(x + c) + y y = 0 因为RF ⊥PF ,RF ⊥PF ,所以 ,解得 y = ,即 (x ? c)(x ? c) + y y = 0 点R ?x , 于是|QR| = 等号成立。 解答方法二: 11、(本题满分 20 分) 求所有的正实数对 a,b ,使得函数f(x) = ax + b满足:对任意实数x、y,有 f(xy) + f(x + y) ≥ f(x)f(y)。 解答:整理不等式得: f(xy) + f(x + y) ≥ f(x)f(y) ? [(a ? a )y + (a ? ab)]x + (2ay)x + [(a ? ab)y + (2b ? b )] ≥ 0 (*) 令g(x) = [(a ? a )y + (a ? ab)]x + (2ay)x + [(a ? ab)y + (2b ? b )]。 a ? ab ≥ 0 则g(0) = (a ? ab)y + (2b ? b ) ≥ 0,对任意实数y均成立。从而 ? 2b ? b ≥ 0 0<b≤1。 且g(?y) = [(a ? a )y + (a ? ab)]y ? 2ay + [(a ? ab)y + (2b ? b )] = (a ? a )y ? 2aby + (2b ? b ) ≥ 0,对任意实数y均成立。 令h(y) = (a ? a )y ? 2aby + (2b ? b )。因为h(y) ≥ 0,对任意实数y均成立,注意 到?2ab<0,所以a ? a >0 ? 0<a<1。又 2a + b ≤ 2。 0<a<1 综上所述,对任意实数x、y,都有f(xy) + f(x + y) ≥ f(x)f(y)的必要条件为 0<b ≤ 1 。 2a + b ≤ 2 0<a<1 下面证明当 0<b ≤ 1 时,对任意实数x、y,恒有f(xy) + f(x + y) ≥ f(x)f(y) 。事实上, 2a + b ≤ 2 此时有 f(xy) + f(x + y) ? f(x)f(y) = (a ? a )x y + 2axy + (a ? ab)(x + y ) + (2b ? b ) ≥ (a ? a )x y + 2axy + 2(a ? ab)|xy| + (2b ? b ) = (a ? a )x y + 2a(xy + |xy|) ? 2ab|xy| + (2b ? b ) ≥ (a ? a )x y ? 2ab|xy| + (2b ? b ) ≥ 2 (a ? a )(2b ? b )|xy| ? 2ab|xy| = 2√ab|xy| (1 ? a)(2 ? b) ? √ab = 2√ab|xy|
( )( ) √

。 ? = =|
|

≥ b。当且仅当|y | = b,即点P 0, ± b 时,

>0,所以h

=

(

)

≥0?

≥0

综上所述,所有满足条件的正实数对 a,b 为 a,b |0<a<1,0<b ≤ 1,2a + b ≤ 2 。

交流知识

共享智慧

文 武 光 华
加 试
一、(本题满分 40 分) 如图,AB 为⊙O 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、F 为线段 AB 上两点,满足 AE=EF=FB, 连结 PE、PF 并延长,与⊙O 分别相交于点 C、D,证明:EF · CD = AC · BD。
P

A

E

F

B

O D C

证明方法一:如图,延长 CE 到 G,使得 EG=EC,连结 GA、GB、GF、AD、CB、CF、BP。 则四边形 ACFG 为平行四边形。又EP · EG = EP · EC = AE · BE = EF · EB,所以 G、P、F、B 四点共圆。于是知∠CBD = ∠CPD = ∠GBF,∠BCD = ∠BPD = ∠BGF,所以△BCD∽△ BGF。所以 = = ,即EF · CD = AC · BD。
G

P

A

E O

F

B

D C

证明方法二:如图,连结 AD、AP。因为 根据正弦定理知 =
∠ ∠

=

· ·

∠ ∠

=1?

∠ ∠

=

。于是,

=

=

=

? EF · CD = AC · BD。
P

A

E O

F

B

D C

二、(本题满分 40 分)

交流知识

共享智慧

文 武 光 华
a =a +u 给定正整数u、v,数列{a }定义如下:a = u + v,对整数m ≥ 1, a = a + v。 记S = a + a + ? + a (m = 1,2, … …)。证明:数列{S }中有无穷多项是完全平方 数。 证明方法一:首先,我们用数学归纳法证明:将n表示为二进制n = a a … … a ( ), 其中a = 1,若a 、 … … 、a 中有p个1,q个0,则a = (p + 1)v + (q + 1)u。 我们对k进行归纳。 当k = 1时,1 = 1( ) ,a = u + v,结论显然成立。 假设k = t时,结论成立。 则当k = t + 1时,设n = a a 、a aa ……a
( ) ,则

=a

aa

……a

( ) 。假设

、 … … 、a 中有p个1,q个0,则根据归纳假设知a

= (p + 1)v + (q + 1)u。 + u = (p + 1)v + + v = (p + 2)v +

若a = 0,则a 、a

、 … … 、a 中有p个1,q + 1个0,且a = a

(q + 2)u,结论成立; 若a = 1,则a 、a 、 … … 、a 中有p + 1个1,q个0,且a = a

(q + 1)u,结论成立; 从而k = t + 1时结论也成立。根据数学归纳法知,结论成立。 下面我们借助引理证明原命题。 记b = a a +a + ?+ a ,则S = b +b +?+ b 。 我们先求b 。显然2 、2 + 1、2 + 2、 … … 、2 ? 1化为二进制后,为所有 2 个n位二进制整数。这2 个n位二进制整数,其末(n ? 1)位共2 (n ? 1)个数码中, 每个都为0或1,且数码0和数码1的个数相同,都为2 (n ? 1)个。从而根据引理知 b =a a +a +?+a = [2 (n ? 1) + 2 ]u + [2 (n ? 1) + 2 ]v = [2 (n ? 1) + 2 ](u + v) 于是 S = b +b +?+b (u + v) = ∑ 2 (i ? 1) + 2 ∑ ∑ = 2 i + 2 (u + v) =2 · n(u + v) 取n = 2(u + v)m ,其中m为任意正整数,都有S =2 · n(u + v) = 2 ( ) · [2(u + v)m ](u + v) = 2( ) · m · (u + v) ,为完全平方数。所以数列{S }中有无穷多 项是完全平方数。 证明方法二:对任意正整数n,有 ) S = a + (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) + ? + (a +a = (u + v) + (a + u + a + v) + (a + u + a + v) + (a + u + a + v) + ? + (a +u+a + v) ) = 2 (u + v) + 2(a + a + ? + a = 2 (u + v) + 2S 所以 = + 。令b = ,则数列{b }:b = ,b =b + 。解 得b = b +
( )( )

=
(

(

)

,即

=

(

)

,得S

=2 =2

· n(u + v)。 · n(u + v) = 2
( )

取n = 2(u + v)m ,其中m为任意正整数,都有S [2(u + v)m ](u + v) = 2 项是完全平方数。
)

·

· m · (u + v) ,为完全平方数。所以数列{S }中有无穷多

三、(本题满分 50 分) 一次考试共有m道试题,n个学生参加,其中m、n ≥ 2为给定的整数。每道题的得分 规则是:若该题恰有x个学生没有答对,则每个答对该题的学生得x分,未答对的学生得0分。

交流知识

共享智慧

文 武 光 华
每个学生的总分为其m道题的得分总和。将所有学生总分从高到低排列为p ≥ p ≥ ? ≥ p ,求p + p 的最大可能值。 解答:我们先考虑一种极端情况:学生 A 答对了所有题目,而其他学生每道题目都没 答对。此时 p = m(n ? 1) , p = 0 , p + p = m(n ? 1) 。所以 max{p + p } ≥ m(n ? 1) 。 下面我们证明p + p ≤ m(n ? 1)。 设第i题有a 个人没有答对,i ∈ 1、2、 … … 、m ,则有n ? a 名学生答对了此题,根 据得分规则,这n ? a 名学生每个都在此题得分a 分。于是知 ∑ p = ∑ (n ? a )a (1) 又因为第一名学生在第i题最多得分a 分,所以 p ≤∑ a (2) 于是有 p +p ≤p + =p + = ≤
( ( )· )·(∑ ∑ ( ∑ ) ∑ ) ( ) ∑ ( )

=p +

(∑

)

+

+
∑ (∑

= 2(∑ ≤ 2(∑

a)? a)?

) ( ) ) ( ( ) )]

= m(n ? 1) ?

[(∑

≤ m(n ? 1) 所以p + p ≤ m(n ? 1)。综上所述,p + p 的最大可能值为m(n ? 1)。 四、(本题满分 50 分) 设n、k为大于1的整数,n<2 。证明:存在2k个不被n整除的整数,若将它们任意分 成两组,则总有一组有若干个数的和被n整除。 解答:若n为2的整数次幂,不妨设n = 2 ,则t ≥ 1,从而k ≥ 2,2k ≥ 4。我们取2k个 整数分别为2 、2 、2 、2 、 1、1、 … … 、1。将这2k个整数任意分成两组,根据


抽屉原理,至少有一组至少含有两个2 ,而2 + 2 = 2 = n,能被n整除。 下面不妨设n不为2的整数次幂。设n的二进制表示为n = a a … … a ( ) ,则t ≤ k ? 1, 且a = 1,a 、a 、 … … 、a 不全为0。取2k个数分别为 ?1、 ? 1、 ? 2、 ? 2 、 ? 2 、 … … 、 ? 2 、1、2、2 、2 、 … … 、2 、2 因为n不为2的整数次幂,故这2k个数均不被n整除。下面证明,将这2k个数任意分成两组, 总有一组有若干个数的和被n整除。 否则,因为?1 + 1 = 0,能被n整除,所以两个?1与1均不同组。不妨设?1、 ? 1在第 一组,1在第二组。而(?1) + (?1) + 2 = 0,能被n整除,所以2在第二组。又2 + (?2) = 0, 能被n整除,所以?2在第一组。又(?1) + (?1) + (?2) + 4 = 0,能被n整除,所以4在第二 组。又4 + (?4) = 0,能被n整除,所以?4在第一组。依此类推,?1、 ? 1、 ? 2、 ? 2 、 ? 2 、 … … 、 ? 2 均在第一组,1、2、2 、2 、 … … 、2 、2 均在第二组。即 第一组:?1、 ? 1、 ? 2、 ? 2 、 ? 2 、 … … 、 ? 2 第二组:1、2、2 、2 、 … … 、2 、2 因为n = a a … … a ( ), t ≤ k ? 1,根据正整数的二进制表示可知,n可以表示为第 二组中若干个数的和。从而第二组中有若干个数的和能被n整除。 综上所述,命题得证。

交流知识

共享智慧


推荐相关:

2013年全国高中数学联赛一试试题及答案

2013年全国高中数学联赛一试试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联赛一试试题及答案 文档贡献者 乌拉拜尔 贡献于2013-10-15 ...


2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联赛江西省预赛 2013.9.202013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、...


2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

2013年全国高中数学联赛试题及详细解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年高中数学联赛试题及详细解析word版2013 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准...


2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答案)

2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版...


2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。预赛试题及参考答案2013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题(每题...


2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。试题及参考答案2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案 (5 月...


2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案

2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...


2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 得得的世界 贡献于2014-09-05 1/2 相关文档推荐 ...


2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题与答案

2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题班级___姓名___学号___ 一、填空题(每...


2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答

2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013.9。152013 全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答 今日推荐 68...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com