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从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明


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数学通讯 ) 2012 年第 6 期 ( 下半月 )

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从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明
程汉波 杨春波
( 华中师范大学数学与 统计学学院 , 430079 )

1 众所周知, 棱锥的体积公式为 V = 3 Sh, 它的 背后隐藏着一段优美的探索历程

和深刻的数学思想 方法: 古希腊数学家欧几里得在其著作5 几何原本6 中研究过它 ; 祖日恒原理的发现为其证明提供了新思 路; 近代法国数学家勒让德也曾对它产生兴趣 ; 微积 分工具的逐渐成熟使其证明变 得简捷且更具 一般 性. 本文从数学史的角度出发 , 首先给出伴随着数学 发展历程所产生的三棱锥体积公式的若干证明 , 然 后利用其中的思维方法论证棱锥、 圆锥和球面棱锥 的体积公式. 1 三棱锥体积公式的若干证明 在三棱锥 A c -A BC 中 , 设底面 v A BC 的面积为 S , 底面上的高为 h , 则三棱锥的体积 V = 1 Sh . 3 1. 1 穷竭法 穷竭法的产生归功于欧多克斯比例理 论的推 广, 欧几里得首先利用穷竭法的思想推导出了三棱 锥的体积公式( 参见5几何原本6 卷 ? , 命题 3 和命题 4) , 他把三棱锥剖分成两个小的三棱锥和两个棱柱 , 具体的作法及证明如下. 证明 如图 1 , 在 三 棱锥 A c -A BC 中, 连 接各 边相应的中 点, 将 原三棱 锥分为两个小三棱柱与两 个小三棱锥, 有 VDE F -G IC = S v G IC @ 1 1 hF= S @ h= 4 2 1 VD GH-E IB = 2 1 = 8 1 Sh; 8 S GH BI hD = Sh,
图 1

1 1 所以两个柱体 的体积和为 V 1 = 8 Sh + 8 Sh 1 = 4 Sh. 再对两个小三棱锥进行同样的分割, 得到四个 1 1 小三棱柱的体积和 V 2 = 2 @ 4 S v A HG hD = 2 @ 4 @ 1 S @ 1 h = 1 Sh . 4 2 42 ,, 如此对小三棱锥不断地剖分 , 当分割次数足够 多时 , 可用所有三棱柱的体积之和近似原三棱锥的 体积, 于是 V= ( 1 1 1 1 1 + + + ,+ n + ,) Sh = / ( 14 42 43 4 4

1 1 ) Sh = Sh. 证毕. 4 3 穷竭法原理代表 了西方数学对于无穷小的态 度 , 阿基米德在求球的体积与表面积以及抛物线弓 形面积的过程中, 将穷竭法的思想表现得淋漓尽致, 并将其发展到了充分成熟的地步 . 1. 2 剖分法 大约在 1800 年, 勒让德利用 / 将三棱柱分割为 三个三棱锥的剖分, 其中两两具有相等的底面积和 高0 的结果 , 并结合 / 祖 日 恒 原理 0 ) ) ) / 幂势 既同, 则 积不容异0 给出了三棱锥的体积等于同底同高三棱 1 的另一个证明. 在给出剖分法之前, 我们 3 先介绍一个引理. 柱体积的 引理 证明 等底面积等高的两个棱锥的体积相等. 设有任意两个棱锥, 它们的底面积均为

1 1 1 @ S@ h 2 2 2

S , 高均为 h, 体积分别为 V 1 , V 2 . 把这两个棱锥的 底面放在同一个平面 A 上, 由于它们 的高相等, 故 它们的顶点必同在一个与 A平行的平面上, 记为 B, 则它们夹在两平行平面 A与 B 之间. 用平行于 A的

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任意平面去截这两个锥体 , 设截面面积分别为 S 1 , S 2 , 截面 和 顶 点 的距 离 是 h 1 , 则 易 知 ( S1 S2 = = S S

# Sh =

1 Sh . 证毕 . 3 微分法的基本思想概括说来就是/ 分割, 近似求

h1 2 ) , 所以 S 1 = S 2 , 由祖 日 恒 原理知 V 1 = V 2 . 证毕. h 下面给出剖分法证明三棱锥体积公式的过程 . 证明 如图 2, 以 v A BC 为底面, A Ac为侧棱作

和 , 取极限0 , 在科学技术中还有许多类似的问题 , 这 也是定积分概念产生的实际背景 . 1. 4 积分法 微积分问世于十七世纪, 它能以快捷方式得到 使用穷竭法得到的结果 , 还给出了去发现这些结果 的一般方法, 它的诞生为三棱锥体积公式的证明提 供了新的强有力的工具 . 证明 用平行于 三棱锥底面的平面去截三棱 锥 , 设其与三棱锥顶点的距离为 x , 所得截面面积显 然为 x 的函数, 记为 S ( x ) , x I [ 0, h] . 易知 = ( x 2 x2 ) , 则 S ( x ) = 2 S , 于是 V = h h h 2 x 1 Sh. 证毕. 2 Sdx = 0 h 3
h 0

三棱柱 A BC -A cBcCc, 连接 A cC, BcC , 将三棱柱分割 为三个小三棱锥, 其体积 分别为 V 1 , V 2 , V 3. 对于 三棱锥 C -AcA B 和 C -A cBBc, 有 S v AcAB = S v AcBBc, 又由于它们有公共顶点 C , 故其高也相等, 所以由引 理知 V 1 = V 2 . 同 理可 知 V 2 = V 3 , 则 V 1 = V 2 = 1 V 3, V = V 1= Sh. 证毕 . 3

S( x ) S

Q S ( x ) dx =

Q
图 2

积分法的关键是要建立截面面积函数, 是求立 体图形体积的一般方法 . 2 证法的启示 三棱锥体积公式的若干证法中蕴含着丰富深刻 的数学思想, 利用这些思想和方法除了可以解决上 面提到的问题外, 还可以发现与证明下面棱锥、 圆锥 和球面棱锥的体积公式 . 2. 1 n 棱锥和圆锥的体积公式 对于一个底面积为 S , 高为 h 的 n ( n \ 3) 棱 锥 , 可将其底面分为 n - 2 个三角形 , 则得到 n - 2 个三棱锥 , 设它们的底面积分 别为 S 1 , S 2 , S 3 , ,, 把三棱锥 A c -A BC 的高 n 等分, 在三棱 S n - 2 , 则这个 n 棱锥的体积 为 V = k 6 V k = k6 = 1 = 1 # S kh =
n- 2 n- 2

在中国 传统数学中, 计算几何 体体积的/ 阳马 术0 也有剖分法的思想. 1. 3 微分法 在求球的体积时 , 我们用平行于球的底面的平 面, 把球切成一层层近似于圆柱形状的/ 薄圆片0, 再 用小圆柱体的体积近似代替/ 薄圆片 0 的体积, 它们 的和就是球的体积的近似值. 对于棱锥的体积 , 是否 可以使用同样的方法呢 ? 于是便有了微分法, 过程 如下 : 证明 锥中作出 n - 1 个内接三棱柱 , 设由下往上第 k 个 k h- h Sk n 棱柱的底面积为 S k , 体积为 V k , 则 = ( ) 2, S h n- k 2 h ( n- k)2 故 Sk= ( ) S , 所以 V k = S k = Sh . n n n3 这些 三 棱 柱 的 体 积 和 为 V ( n ) = k 6 Vk = = 1
n- 1 n- 1

1 3

1 n- 2 1 h 6 S = Sh. 3 k= 1 k 3 对于一个底面积为 S, 高为 h 的圆锥, 我们可

以用底面圆的内接 n 边形去逼近底面, 也即用 n 棱 锥去逼近圆锥, 则其体积公式同样具有上述形式 : V = 1 Sh . 3 2. 2 球面棱锥的体积公式 在半径为 R 的球面上 , 球面凸 n 边形 A 1 A 2 , A n ( n \3 ) 的内角 ( 弧度数 ) 分别为 N A 1 , N A 2 , ,,

6 k= 1

( n- k)2 n( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) Sh = Sh, n3 6 n3 于是 V = nlim V ( n ) = nlim y] y] n( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) 6 n3

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N A n , 记其面积为 S n , 连接球心 O 与 A 1 , A 2 , ,, A n 得到球面 n 棱锥 O-A 1 A 2 ,A n . 现将球面凸 n 边 形进行充分地分割 , 则每个球面棱锥可以近似地看 作一般的棱锥, 于是球面 n 棱锥 O-A 1 A 2 , A n 的体 积为 1 1 1 1 3 3 S i R = 3 R 6 S i = 3 S nR = 3 R [ N A 1 + N A 2 + ,+ N A n - ( n - 2) P] . V= 6 3 结语 法国数学家庞加莱曾说过 : / 如果我们想要预见 数学的未来 , 适当的途径就是研究这门科学的历史 和现状0 . 从三棱锥体积公式的历史中, 我们看到了 最纯粹的逻辑思维活动以及最高级的智能活动的美 学表现 , 我们看到了简单的数学公式背后往往蕴含 了深刻的数学思想与曲折的数学发展历程. 这启示 教师在日常的教学中不妨从数学史的角度审视一下

所教授的内容 , 学生在平时的学习中要勇于追本溯 源 , 善于从历史的角度分析问题 , 因为从中发掘出的 质朴的数学思维方法可以把我们带回到自然的、 生 动的、 活泼的思考之中 . 参考文献:
[ 1] 欧几里得 ( 燕晓 东编 译 ) . 几 何原 本 [ M ] . 北 京 : 人民 日 报出版社 , 2009. [ 2] John Stillw ell( 袁向东 , 冯绪 宁译 ) . 数学 及其历 史 [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 2011. [ 3] 华东师范大学数学系 . 数学分析上 册 ( 第 三版 ) [ M ] . 北 京 : 高等教育出版社 , 2009. [ 4] 徐学文 , 郭思培 . 基础教育选修课程选 讲 [ M ] . 北京 : 科 学出版社 , 2011 .

( 收稿日期 : 2012- 03- 22)

测字与数学
陈 荣 杨 飞
( 重庆南开中 学 , 400030 )

*

测字又称破字、 相字或拆字, 人们普遍认为它与 看相、 算命、 占梦一样 , 都是骗人的迷信 . 我们坚信测 字绝对不是科学 , 它不是以实验为基础 , 也不是以公 理、 定理为基础 , 不具备科学的前提和特点. 严格说 , 测字是一种方术 , 是汉文化所特有的一种社会风俗 文化现象 . 中国古人对测字颇有研究, 清朝周亮工的 5字触6 和程省的 5测字秘牒 6 都 是测字研究中 的名 著, 5四库全数总目提要 6 中还提到一些没有流传下 来的测字著作, 可见测字在古代是一种盛行的文化 现象 . 我们在此不探讨它的缺陷和欺骗性, 仅从数学 角度认识古人测字的思维模式 , 用数学眼光探究测 字的方法和技巧 .

1

测字中的加法求和原理 数学运算中最常见的是求和运算 , 如数的求和、

代数式求和等 , 即 A 1 + A 2 + A 3 + ,+ A n = M . 在 古代的测字中常使用这一数学原理, 就是将所测的 字与现场的人或物结合起来 , 然后寻找与所测之事 的联系 . 示例 / 人0字 一位总督大人微服私访 , 见一测字先生, 他想: 测字一定是骗人, 不如试一试, 揭穿他的伎俩 . 他不 动声色走上前 去, 写了一个 -人. 字, 将 大笔横着一 搁 . 测字先生一看, 非常惊愕 , 立即拱手下拜 , 说道: / 大人光临, 小人恐 慌, 小人以 末技糊口 , 请大人谅

* 重庆市教育科学/ 十# 二五0规划课题 : / 数学与生活0 校本课程的开发与运用研究 ( 2011- K G- 046)


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