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圆锥曲线公式123


圆锥曲线公式

椭圆
x2
1.椭圆 a
2

?

y2 b2 y2 b2

? 1( a ? b ? 0)
的参数方程是

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?

.

x2
2.椭圆 a
2

?

? 1( a ? b ? 0)
焦半径公式 ,

PF1 ? a ? ex

PF2 ? a ? ex F1 , F2分别为左右焦点
,

x2
3.焦点三角形:P 为椭圆 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0)
上一点,则三角形

PF1F2

的面积

b 2 ? tan
S=

?PF1 F2 2
y2

;
特别地,若

PF1 ? PF2 ,

此三角形面积为 b ;

2

x2
4.在椭圆 a
2

?

b2
2 2

? 1( a ? b ? 0)
上存在点 P,使

PF1 ? PF2

的条件是 c≥b,即椭圆的离心率 e

[
的范围是

,1)


5.椭圆的的内外部

x2
(1)点

P ( x0 , y 0 )

在椭圆 a

2

?

y2 b2 y2 b2

? 1( a ? b ? 0)
的内部

?

2 x0

a2
2 x0

?

2 y0

b2
2 y0

?1
.

x2
(2)点

P ( x0 , y 0 )

在椭圆 a

2

?

? 1( a ? b ? 0)
的外部

?

a2

?

b2

?1
.

6.椭圆的切线方程

x2
(1)椭圆 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0)
上一点

x0 x
P ( x0 , y 0 )
处的切线方程是 a
2

?

y0 y b2

?1
.

x2
(2) 过 椭 圆 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0)
外一点

P ( x0 , y 0 )

所引两条切线的切点弦方程是

x0 x a
2

?

y0 y b2

?1
.

x2
(3) 椭 圆 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0)
与 直 线

Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是

A2 a 2 ?

B2 ? 2 . c2 b

双曲线
x2
7.双曲线 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)
的焦半径公式

PF1 ?| e ( x ?

a2 c

)|


PF2 ?| e (

a2 c

? x) |
.

8.双曲线的内外部

x2
(1)点

P ( x0 , y 0 )

在双曲线 a

2

?

y2 b2 y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)
的内部

?

2 x0

a2
2 x0

?

2 y0

b2
2 y0

?1
.

x2
(2)点

P ( x0 , y 0 )

在双曲线 a

2

?

? 1( a ? 0, b ? 0)
的外部

?

a2

?

b2

?1
.

9.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2
(1)若双曲线方程为 a
2

?

y2 b
b a
2

?1

x2

? 渐近线方程: a
x ? y b ?0

2

?

y2 b
2

?0? y?? x2 y2 b2

b a

x
.

y??
(2)若渐近线方程为

x

? a

? 双曲线可设为 a 2
x2 ? y2 b2

?

??
.

x2
(3)若双曲线与 a
2

?

y2 b2

?1

有公共渐近线, 可设为 a

2

??

(? ? 0, 焦点在 x 轴上,

? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
10.双曲线的切线方程

x2
(1)双曲线 a
2

? x2

y2 b
2

? 1( a ? 0, b ? 0)
上一点

x0 x
P ( x0 , y 0 )
处的切线方程是 a
2

?

y0 y b2

?1
.

(2)过双曲线 a

2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)
外一点

P ( x0 , y 0 )

所引两条切线的切点弦方程是

x0 x a
2

?

y0 y b2

?1
.

x2
(3 双 曲 线 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)
与 直 线

Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是

A2 a 2?

B 2 b2 . c2 ?

11.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)

抛物线
12.焦点与半径

a a 抛物线 y 2 ? ax ( a ? 0), 焦点是 ( , 0), 准线 x ? ? ; 4 4 a a 抛物线x 2 ? ay ( a ? 0), 焦点是 (0, ), 准线y ? ? ; 4 4
13.焦半径公式

抛物线

y ? 2 px ( p ? 0) ,C
2

( x0 , y 0 )

为抛物线上一点,焦半径

CF ? x0 ?

p 2.

14.过焦点弦长

CD ? x1 ?

p 2

? x2 ?

p 2

? x1 ? x 2 ? p

.

对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 15.设点方法

y 2 ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P 2 p 抛物线
2 y0 ? 2 px0

(

y0 2

, y0 )


P ( 2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x? , y? ) , 其 中

.

圆锥曲线共性问题 16.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1 ( x , y ) ? 0 f 2 ( x , y ) ? 0
,

的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y ) ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 ? ( 为参数).
x2
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 a ? k
2

?

y2 b2 ? k

?1
,其中

k ? max{a 2 , b 2 } . 当

k ? min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } ? k ? max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
17.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ?
AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2



(1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y 2 | 1 ? co t 2 ?

(弦端点 A

( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? y ? kx ? b ? 2 F( x , y ) ? 0 由方程 ? 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k
为直线的斜率).

18.涉及到曲线上的点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“点差法: 比如在椭圆中:

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 中 点 M ( x 0, y 0), 则 有 : x12 a2 x2 2 a2 ? ? y12 b2 y2 2 b2 ? 1(1) ? 1(2) y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? (? b2 a2 ) ? x0 y0 ? (? b2 a2 )

(1) ? (2) ?

19.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点

P ( x0 , y 0 )

成中心对称的曲线是

F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) ? 0

.

(2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

,y?

2 B ( Ax ? By ? C ) A2 ? B 2

)?0
.

20.“四线”一方程 对于一般的二次曲线

Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x 2 ,用 y 0 y 代 y 2 ,

x0 y ? xy 0


x0 ? x
代 xy ,用

y0 ? y
代 x ,用

2

2

2 ?E?

代 y ,即得方程

Ax0 x ? B ?

x0 y ? xy0 2

? Cy0 y ? D ?

x0 ? x 2

y0 ? y 2

?F ?0
,曲线的切线,切点弦,中

点弦,弦中点方程均是此方程得到.

一椭圆
1.焦半径公式 ,P 为椭圆上任意一点,则│PF1│= a + eXo │PF2│= a - eXo (F1 F2 分别为其左,右焦点) 2.通径长 = 2b? /a 3.焦点三角形面积公式 S⊿PF1F2 = b? tan(θ/2) (θ 为∠F1PF2) (这个可能有点难理解,不过结合第一定义可以较快的推,双曲线的也是同样方法) 4.(左)准点 Q (自己取的名字方便叙述,准线与 X 轴的焦点) 过左焦点 F1 的任意一条线与椭圆交与 A ,B 那么一定有:X 轴平分∠AQB (在右边也是一样)

二.双曲线
1.通径就不说了 2.焦半径公式(有 8 个,很难打符号的,不过可以根据极坐标方程来直 接解答,比焦半径公式还快一些) 3.焦点三角形面积公式 S⊿PF1F2 =b? cot(θ/2) (左右支都是它)

三.抛物线
y? =2px (p>0)过焦点的直线交它于 A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点 1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ (θ 为直线 AB 的倾斜角) 2. Y1*Y2 = -p? , X1*X2 = p? /4 3.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p 4.结论:以 AB 为直径的圆与抛物线的准线线切 5.焦半径公式: │FA│= X1 + p/2 = p/(1-cosθ) 四. 通性 直线与圆锥曲线 y= F(x) 相交于 A ,B,则 │AB│=√(1+k? * [√Δ/│a│] )


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