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1.3.1《函数的单调性》学案(2)


函 数 的 单 调 性
【教学目的】 1. 使学生理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法; 2. 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合,辩证思维的能力; 【基本知识】 1、 定义:对于给定区间上的函数 f(x)及属于这个区间上的任意两个自变量 x1、x2,当 x1<x2 时,如果有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)在这个区间上是____函数,这个区间就 叫做函数 f(x)的___区间;如果有 f(x1)>f(x2),则称 f(x)在这个区间上是____ 函数,这个区间就叫做函数 f(x)的___区间; 〖说明〗 1。单调区间是定义域的子集; 2。若函数 f(x)在区间 D 上是增函数,则图象在 D 上的部分从左到右呈__趋势 若函数 f(x)在区间 D 上是减函数,则图象在 D 上的部分从左到右呈__趋势 3。单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法: ①定义; ②导数; ③复合函数单调性:同增则增,异增则减; ④图象 3、 常用结论: ①两个增(减)函数的和为___;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是__; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有 _____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; 【课前预习】 1. 下列函数中,在区间( ? ∞,0)上是增函数的是 A、 f ( x ) ? x ? 4 x ? 8 B、g(x)=ax+3 (a≥0)
2

(
2 1? x

)

C、 h ( x ) ? ?

D、 s ( x ) ? lo g 1 ( ? x )
2

2. 函数 y ? 3 x ?

3 x

的单调递增区间是_______

3. 函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调增区间是_______ 4. 函数 f ( x ) ? log
1 2

(? x

2

? 3 x ? 2 ) 的减区间是__________________

5. 函数 f(x)=x3+ax 有三个单调区间,则实数 a 的取值范围是_____ 【例题讲解】

例 1:若函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1 ) x ? 2 在区间 ( ?? , 4 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范围
2

是_________.
1 3 1 2

【变式 1】 f ( x ) ?

x ?
3

a x ? ( a ? 1) x ? 1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,
2

+∞)为增函数,求实数 a 的取值范围;

2 【变式 2】已知数列{an}中 a n ? n ? 2 ( a ? 1) n ? 2 ,且 a n 随着 n 的增大而增大,则

实数 a 的取值范围是_______

例 2、判断并证明函数 f ( x ) ?

1? x 1? x

的单调性

【变式 1】判断函数 f ( x ) ? log

1? x
a

1? x

( a ? 0 , a ? 1 ) 的单调性

【变式 2】已知函数 f ( x ) ? lo g a
2

1? x 1? x

( a ? 1) ,是否存在实数 x,使关于 x 的不等式

f ( x ) ? f ( x ? 1) 成立

例 3、 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, m 、 ? R 恒有 f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) , 设 对 且当 x ? 0 n 时, 0 ? f ( x ) ? 1 。1)求证: f ( 0 ) ? 1 ;2)证明: x ? R 时恒有 f ( x ) ? 0 ; 3)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数;4)若 f ( x ) ? f ( 2 x ? x ) ? 1 ,求 x 的范围。
2

作业: 1、若函数
f (x) ? 2 1
x

?1

,则该函数在 ? ? ? , ?? ? 上是 B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值





A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值

2、1) y ? lo g 1 (1 ? x ) ( 3 ? x ) 的单调增区间是_____
2

2)已知 y ? lo g a ( 2 ? a x ) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是_____ 3)函数 f ( x ) ? ( 2 a ? 1) x ? b 与 g ( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 2 在 ? ? ? , 4 ? 上递减,则 a∈_
2

4)奇函数 y ? f ( x ) 在 R 上单调递增,对实数 x 恒有 f ( a ) ? f ( a ) ? 0 ,则 a∈__
2
2 3、设 a>0,且 a≠1,试求函数 y ? lo g a ( 4 ? 3 x ? x ) 的单调区间

4、 已知函数 f ( x ) 在定义域 [-1,1] 上是奇函数, 又是减函数, f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 , 若
2

求实数 a 的取值范围


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