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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(33)


一、选择题 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A. 1 C.2 【答案】D 【解析】d= |-5| 1+2
2

)

B. 3 D. 5
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

= 5.故选择 D. )

2.已知两直线 2x+3y-3=0 与 mx+6y+1=0 互

相平行,则它们的距离等 于( A. C. 2 13 13 7 13 26 B. 5 13 26

D.4

【答案】C 【解析】∵两直线互相平行,∴m=4, 1 |-3- | 2 7 ∴距离 d= = 13. 2 2 26 2 +3 故应选 C. 3.如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p、q 分别 是 M 到直线 l1 和 l2 的距离, 则称有序非负实数对(p,)是点 M 的“距离坐标”. q 已知常数 p≥0,

q≥0,给出下列命题:
①若 p=q=0,则“距离坐标”为( 0,0)的点有且仅有 1 个; ②pq=0,且 p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 2 个; ③若 pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 ( )

A.0 C.2 【答案】C

B.1 D.3

【解析】①若 p=q=0,则只有原点满足,正确; ②若 pq=0,且 p+q≠0,则这样的点有无穷多个,它们是直线 l1 与 l2 上的点,除去原 点; ③若 pq≠0,则满足题意的点有且仅有 4 个,这 4 个点分别在 4 个角的内部,且两两关 于 O 点对称,正确. 故选择 C. 4.在西气东输工程中,有一段煤气管道所在的直线方程为 l:x+2y-10=0,最近的 两座城市在同一直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(5,0),现要在管道 l 边上建一 煤气调度

中心 M,使其到 A、B 两城市的距离之和最短,则点 M 的坐标为( A.(6,2) C.(4,3) 【答案】C

)

? 7? B.?3, ? ? 2? ?5 15? D.? , ? ?2 2 ?

【解析】如图,作 A 关于 l 对称的点 A1,连结 A1B 交直线 l 于 M 点.利用三角形两边之 和大于第三边证明.

∵|AM|+|MB|=|A1M|+|MB |=|A1B|, 而|AM1|+|M1B|=|A1M1|+|M1B|>|A1B|, ∴M 即为所求点,设 A1(x,y),由

?y-2=2, ?x-1 ?x+1 y+2 ? 2 +2× 2 -10=0 ?
??
? ?y=2x, ?x+2y-15=0 ?

??

? ?x=3, ?y=6. ?

从而直线 A1B 的方程为: x+y-15=0, x+2y-10=0 联立即可得到 M 坐标为(4,3). 3 与 故选择 C. 5.对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距 离”:‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,∠C=90°,则‖AC‖ +‖CB‖ =‖AB‖ ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( A.0 C.2 【解析】取特殊值,数形结合. 在△ABC 中,∠C=90°,不妨取 A(0,1),C(0,0),B(1,0), ∵‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|, ∴‖AC‖=1,‖BC‖=1, ‖AB‖=|1-0|+|0-1|=2. 此时,‖AC‖ +‖CB‖ =2,‖AB‖ =4, ‖AC‖ +‖CB‖ ≠‖AB‖ ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.1 D.3

‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖, 即命题②、③是错误的. 设如图所示共线三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),AC″⊥CC″,则

‖AC‖=|x1-x3|+|y1-y3| =|AC″|+|C″C| =|AB′|+|B′C″|+|C′C″|+|C′C| =|AB′|+|B′B|+|BC′|+|C′C|, ‖BC‖=|x2-x3|+|y2-y3| =|BC′|+|C′C|, ∴‖AC‖+‖C B‖=‖AB‖, 即命题①正确. 综上所述真命题的个数为 1 个.故选择 B. 二、填空题 6.如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的 距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是 .

2 21 【答案】 3 【解析】 过点 C 作 l2 的垂线 l4, l2、 4 为 x 轴、 轴建立平面直角坐标系.设 A(a,1)、 以 l y

B(b,0) C(0,-2) .
由 AB=BC=AC 知 (a- b) +1=b +4=a +9=边长 . 7.过 P(1,2)引直线,使它与两点 A(2,3), B(4,-5)的距离相等,则此直线方程 为 . 【答案】3x+2y=7 及 4x+y=6 【解析】法一:直线与 A、B 的距离相等,那么直线或者与 AB 平行或者经过 AB 的中点. 若与 AB 平行, -5-3 则斜率 k=kAB= =-4, 4-2 由点斜式得直线方程为 y-2=-4(x-1), 即 4x+y=6;
2 2 2 2

若直线经过 AB 的中点,则 AB 的中点坐标为(3,-1),

y+1 x-3 由两点式得直线方程为 = , 2+1 1-3
化简得 3x+2y=7. 法二:直线 x=1 显然不满足条件, 故可设所求直线斜率为 k, 则直线方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0, 根据点到直线距离公式得 |2k-3-k+2|=|4k+5-k+2|, 3 ∴k=-4 或 k=- . 2
[来源:学科网 ZXXK]

所求直线方程为 4x+y=6 及 3x+2y=7. 8.已知 A(1,2),B(3,4),直线 l1:y=0,l2:x=0,l3:x+3y-1=0.设 Pi 是 li(i= 1,2,3)上与 A、B 两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3 的面积是 3 【答案】 2 【解析】设 P1(x,0),P2(0,y),P3(a,b),则 a=1-3b, |P1A| +|P1B| =(x-1) +4+(x-3) +16 =2x -8x+30,
2 2 2 2 2

.

当|P1A| +|P1B| 最小时,x=2; |P2A| +|P2B| =1+(y-2) +9+(y-4) =2y -12y+30; 当|P2A| +|P2B| 最小时,y=3; |P3A| +|P3B| =20b +24, 当|P3A| +|P3B| 最小时,b=0,a=1, 1 3 所以 S△P1P2P3= ×(2-1) ×3= . 2 2 三、解答题 9.(2012 青岛市质量检测)当 0<a<2 时,直线 l1:ax-2y=2a-4,直线 l2:2x+a y= 2a +4 与坐标轴围成一个四边形,求使该四边形面积最小时 a 的值. 【解析】 直线 l1 交 y 轴于 A(0,2-a), 直线 l2 交 x 轴于 C(a +2,0),1 与 l2 交于点 B(2,2). l 1 1 2 2 则四边形 AOCB 的面积为 S= S△AOB +S△OCB= ·(2- a)·2+ (a +2)·2=a - a+4= 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[来源:Z§xx§k.Com]

2

2

2

2

2

2

2

=(1-3b-1) +(b-2) +(1-3b-3) +(b-4)

?a-1?2+15,当 a=1时,S 最小. ? 2? 4 2 ? ?
1 因此使四边形面积最小时 a 的值为 . 2 10.在△ABC 中,M 为 BC 上一点(异于 B、C)且|AB| =|AM| +|BM|·|MC|,求证:△ABC 是等腰三角形. 【解析】以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为坐标原点,建立直角坐标系.
2 2

设 B、C 的坐标分别为 B(-a,0)、C(a,0),点 A、M 的坐标分别为(b,c)、(x,0),其中 -a<x<a. 由|AB| =|AM| +|BM|·|MC|,得 (b+a) +c =(x-b) +c +(a+x)(a-x). 化简整理,得 2b(x+a)=0. ∴-a<x<a,∴x+a≠0.∴b=0,即 A 点坐标为(0,c). ∴点 A 落在 BC 的中垂线上. ∴|AB|=|AC|,即△ABC 是等腰三角形. 11.已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求一点 P,使|PA| +|PB| + |PC| 最小, 并求最小值. 【解析】以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,如图所示.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3a? ?a ? ? a ? ? 则 A? ,0?,B?- ,0?,C?0, ?. ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 设 P 点坐标为(x,y), 则|PA| +|PB| +|PC|
2 2 2

3a?2 ? a?2 2 ? a?2 2 2 ? =?x- ? +y +?x+ ? +y +x +?y- ? 2? 2? ? ? 2 ? ? 5 2 2 2 =3x +3y - 3 ay+ a 4 =3x +3?y-
2

? ?

3a?2 2 2 ? +a ≥a . 6 ? 3 a 时,等号成立,所求最小值为 a2,此时,P 点坐标为正△ABC 6

当且仅当 x=0,y=

的中心?0,

? ?

3 ? a?. 6 ?

12.已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:-4x+2y+1=0 和直线 l3:x+y 7 -1=0,且 l1 与 l2 的距离是 5. 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 1 2

l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 ;③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5?若
能,求 P 点坐标;若不能,请说明理由. 1 【解析】(1)l2 即 2x-y- =0, 2

∴l1 与 l2 的距离 d=

?a-?-1?? ? ? 2?? ? ? ??
2 +? -1?
2

2

7 5 = . 10



?a+1? ? 2? ? ? 7 5
5 = 10

.

[来源:Zxxk.Com]

? 1? 7 ∴?a+ ?= . ? 2? 2
∵a>0,∴a=3. (2)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l′:2x-y+C =0 上,



?C+1? ? ? C-3 1 ? 2?
= × 5 2

13 11 ,即 C= 或 C= , 2 2 5

13 11 ∴2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0; 2 6 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 |2x0-y0+3| |x0+y0-1| = , 5 5

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0. 由 P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 2

?x0=-3, ? 解得? 1 ?y0=2, ?

应舍去.

?2x0-y0+11=0, ? 6 由? ?x0-2y0+4=0, ?

?x =1, ? 9 解得? 37 ?y =18. ?
0 0

?1 37? ∴P? , ?即为同时满足三个条件的点. ?9 18?

[来源:Z,xx,k.Com]


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