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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)


2014 年辽宁省高考数学试卷(理科)

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2014 年辽宁省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?辽宁)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪ B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 2. (5 分) (2014?辽宁)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=( A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i ) D.3﹣2i

3. (5 分) (2014?辽宁)已知 a= A.a>b>c

,b=log2 ,c=log

,则( C.c>a>b

) D.c>b>a

B.a>c>b

4. (5 分) (2014?辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( ) A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n B.若 m⊥ α,n?α,则 m⊥ n C.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α D.若 m∥ α,m⊥ n,则 n⊥ α

5. (5 分) (2014?辽宁)设 , , 是非零向量,已知命题 p:若 ? =0, ? =0,则 ? =0;命题 q:若 ∥ , ∥ , 则 ∥ ,则下列命题中真命题是( q A.p∨ B.p∧q ) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨ (¬q) )

6. (5 分) (2014?辽宁)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 7. (5 分) (2014?辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8﹣2π

B.8﹣π

C.

8﹣

D. 8﹣

8. (5 分) (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{ A.d<0 B.d>0 C.a1d<0

}为递减数列,则(



D.a1d>0

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www.jyeoo.com 9. (5 分) (2014?辽宁)将函数 y=3sin(2x+ A. C. 在区间[ 在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减 )的图象向右平移 B. 个单位长度,所得图象对应的函数( , , ]上单调递增 ]上单调递增 )

在区间[

D. 在区间[﹣
2

10. (5 分) (2014?辽宁)已知点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A. B. C. D.

11. (5 分) (2014?辽宁)当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[﹣5,﹣3] B. C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3] [﹣6,﹣ ]

3

2



12. (5 分) (2014?辽宁)已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足: ① f(0)=f(1)=0; ② 对所有 x,y∈[0,1],且 x≠y,有|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|. 若对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k 恒成立,则 k 的最小值为( A. B. C. ) D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。考生根据要求作答. 13. (5 分) (2014?辽宁)执行如图的程序框图,若输入 x=9,则输出 y=

_________ .

14. (5 分) (2014?辽宁)正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在抛物线 2 2 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 _________ .

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15. (5 分) (2014?辽宁)已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 _________ .
2 2

A、B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=

16. (5 分) (2014?辽宁)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0 且使|2a+b|最大时, ﹣ + 的最小 值为 _________ . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2014?辽宁)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ )a 和 c 的值; (Ⅱ )cos(B﹣C)的值. 18. (12 分) (2014?辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所 示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (Ⅰ )求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; (Ⅱ )用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X) . ? =2,cosB= ,

19. (12 分) (2014?辽宁)如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F 分别为 AC、DC 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ BC; (Ⅱ )求二面角 E﹣BF﹣C 的正弦值.

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20. (12 分) (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时, 切点为 P(如图) ,双曲线 C1: ﹣ =1 过点 P 且离心率为 .

2

2

(Ⅰ )求 C1 的方程; (Ⅱ )若椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径 的圆过点 P,求 l 的方程.

21. (12 分) (2014?辽宁)已知函数 f(x)=(cosx﹣x) (π+2x)﹣ (sinx+1) g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ 证明: (Ⅰ )存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ )存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0; )

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ )中的 x0,有 x0+x1<π.

四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.选修 4-1:几何证明选讲. 22. (10 分) (2014?辽宁)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延 长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ )求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ )若 AC=BD,求证:AB=ED.

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www.jyeoo.com 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ )写出 C 的参数方程; (Ⅱ )设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 不等式选讲 2 24. (2014?辽宁)设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (Ⅰ )求 M; (Ⅱ )当 x∈M∩ N 时,证明:x f(x)+x[f(x)] ≤ .
2 2 2 2

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2014 年辽宁省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?辽宁)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪ B)=( ) {x|x ≥ 0} {x|x ≤ 1} {x|0 ≤ x ≤ 1} A. B. C. D.{x|0<x<1} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题;集合.

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先求 A∪ B,再根据补集的定义求 CU(A∪ B) . 解:A∪ B={x|x≥1 或 x≤0},

∴ CU(A∪ B)={x|0<x<1}, 故选:D. 点评: 本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. 2. (5 分) (2014?辽宁)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=( A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把给出的等式两边同时乘以 ) D.3﹣2i

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,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则 z 可求.

解答: 解:由(z﹣2i) (2﹣i)=5,得: , ∴ z=2+3i. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题.

3. (5 分) (2014?辽宁)已知 a= A.a>b>c

,b=log2 ,c=log

,则( C.c>a>b

) D.c>b>a

B.a>c>b

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: 利用指数式的运算性质得到 0<a<1,由对数的运算性质得到 b<0,c>1,则答案可求. 解答: 0 解:∵ 0<a= <2 =1,
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b=log2 <log21=0, c=log =log23>log22=1,

∴ c>a>b.
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www.jyeoo.com 故选:C. 点评: 本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于 0、1 这样的特 殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. 4. (5 分) (2014?辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( ) A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n B.若 m⊥ α,n?α,则 m⊥ n C.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α D.若 m∥ α,m⊥ n,则 n⊥ α 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 解答: 解:A.若 m∥ α,n∥ α,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥ α,n?α,则 m⊥ n,故 B 正确; C.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α 或 n?α,故 C 错; D.若 m∥ α,m⊥ n,则 n∥ α 或 n?α 或 n⊥ α,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速 解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.
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5. (5 分) (2014?辽宁)设 , , 是非零向量,已知命题 p:若 ? =0, ? =0,则 ? =0;命题 q:若 ∥ , ∥ , 则 ∥ ,则下列命题中真命题是( q A.p∨ B.p∧q ) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨ (¬q)

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据向量的有关概念和性质分别判断 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论. 解答: 解:若 ? =0, ? =0,则 ? = ? ,即( ﹣ )? =0,则 ? =0 不一定成立,故命题 p 为假命题,
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若 ∥ , ∥ ,则 ∥ 平行,故命题 q 为真命题, 则 p∨ q,为真命题,p∧q, (¬p)∧(¬q) ,p∨ (¬q)都为假命题, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断 p,q 的真假是解决本题的关键. 6. (5 分) (2014?辽宁)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 考点: 专题: 分析: 解答: 计数原理的应用. 应用题;排列组合. 先排人,再插入椅子,根据乘法原理可得结论.
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解:3 人全排,有

=6 种方法,形成 4 个空,在前 3 个或后 3 个或中间两个空中插入椅子,有 4 种方法,

根据乘法原理可得所求坐法种数为 6×4=24 种. 故选:D.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键. 7. (5 分) (2014?辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8﹣2π

B.8﹣π

C.

8﹣

D. 8﹣

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是正方体切去两个 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入
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正方体与圆柱的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱, 正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴ 几何体的体积 V=2 ﹣2× ×π×1 ×2=8﹣π. 故选:B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.
3 2

8. (5 分) (2014?辽宁)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{ A.d<0 B.d>0 C.a1d<0

}为递减数列,则(



D.a1d>0

考点: 数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由于数列{2 }为递减数列,可得
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=

<1,解出即可.

解答: 解:∵ 等差数列{an}的公差为 d,∴ an+1﹣an=d, 又数列{2 ∴ = }为递减数列, <1,

∴ a1d<0. 故选:C.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于 中档题.

9. (5 分) (2014?辽宁)将函数 y=3sin(2x+ A. C. 在区间[ 在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减

)的图象向右平移 B.

个单位长度,所得图象对应的函数( , , ]上单调递增 ]上单调递增



在区间[

D. 在区间[﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函
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数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间[ 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+



]上单调递增,则答案可求. 个单位长度, )+ ].

)的图象向右平移

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣ 即 y=3sin(2x﹣ 由 取 k=0,得 . , ]上单调递增. ) . ,得



∴ 所得图象对应的函数在区间[

故选:B. 点评: 本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中 档题. 10. (5 分) (2014?辽宁)已知点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A. B. C. D.
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意先求出准线方程 x=﹣2,再求出 p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点, 并求导,得到切线 AB 的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式 求出 BF 的斜率. 2 解答: 解:∵ 点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上, 即准线方程为:x=﹣2,
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∴ p>0,

=﹣2 即 p=4,
2

∴ 抛物线 C:y =8x,在第一象限的方程为 y=2 设切点 B(m,n) ,则 n=2 ,



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www.jyeoo.com 又导数 y′ =2 ∴ 解得 =2 即 ( m ,则在切点处的斜率为 =2 舍去) , m , ,

∴ 切点 B(8,8) ,又 F(2,0) , ∴ 直线 BF 的斜率为 ,

故选 D. 点评: 本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线的斜率等,是一道基础 题. 11. (5 分) (2014?辽宁)当 x∈[﹣2,1]时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[﹣5,﹣3] B. C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3] [﹣6,﹣ ]
3 2



考点: 函数恒成立问题;其他不等式的解法. 专题: 综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 分 x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0 三种情况进行讨论,分离出参数 a 后转化为函数求最值即可,利用导数即可求 得函数最值,注意最后要对 a 取交集. 解答: 解:当 x=0 时,不等式 ax3﹣x2+4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立;
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当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥

3

2



令 f(x)=

,则 f′ (x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′ (x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴ a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′ (x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′ (x)>0,f(x)单 调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴ a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2]. 故选 C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范 围取交集;若按照参数讨论则取并集. 12. (5 分) (2014?辽宁)已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足: ① f(0)=f(1)=0; ② 对所有 x,y∈[0,1],且 x≠y,有|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|. 若对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k 恒成立,则 k 的最小值为( A. B. C. ) D.

考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.

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www.jyeoo.com 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 依题意,构造函数 f(x)=

(0<k< ) ,分 x∈[0, ],且 y∈[0, ];x∈[0, ],且 y∈[ ,1];y∈[0,

],且 y∈[ ,1];及当 x∈[ ,1],且 y∈[ ,1]时,四类情况讨论,可证得对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣ f(y)|< 恒成立,从而可得 k≥ ,继而可得答案. 解答: 解:依题意,定义在[0,1]上的函数 y=f(x)的斜率|k|< , 不妨令 k>0,构造函数 f(x)= (0<k< ) ,满足 f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|< |x﹣y|.

当 x∈[0, ],且 y∈[0, ]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| ﹣0|=k× < ; 当 x∈[0, ],且 y∈[ ,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+ )﹣k|= < ; 当 y∈[0, ],且 y∈[ ,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|< ; 当 x∈[ ,1],且 y∈[ ,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣ )= < ; 综上所述,对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|< , ∵ 对所有 x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<k 恒成立, ∴ k≥ ,即 k 的最小值为 . 故选:B. 点评: 本题考查函数恒成立问题,着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合 运用,考查分析、推理及运算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。考生根据要求作答. 13. (5 分) (2014?辽宁)执行如图的程序框图,若输入 x=9,则输出 y= .

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件|y﹣x|<1,计算输出 y 的值.
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www.jyeoo.com 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 x=9,y= +2=5,|5﹣9|=4>1; 第二次循环 x=5,y= +2= 第三次循环 x= ,y= ,| ﹣5|= >1; +2﹣ |= <1, .

+2.|

满足条件|y﹣x|<1,跳出循环,输出 y= 故答案为: .

点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 14. (5 分) (2014?辽宁)正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在抛物线 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是
2 2



考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 概率与统计. 利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 解:∵ A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1) , ∴ 正方体的 ABCD 的面积 S=2×2=4, 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积
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S=2

=2

=2[(1﹣ )﹣(﹣1+ )]=2× = ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 故答案为: .



点评: 本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键.

15. (5 分) (2014?辽宁)已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 12 .

A、B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出|AN|+|BN|的值.
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www.jyeoo.com 解答: 解:如图:MN 的中点为 Q,易得 ∵ Q 在椭圆 C 上,∴ |QF1|+|QF2|=2a=6, ∴ |AN|+|BN|=12. 故答案为:12.





点评: 本题考查椭圆的定义,椭圆的基本性质的应用,基本知识的考查.
2 2

16. (5 分) (2014?辽宁)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0 且使|2a+b|最大时, ﹣ + 的最小 值为 ﹣2 . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 2 2 首先把:4a ﹣2ab+4b ﹣c=0,转化为 =
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,再由柯西不等式得到|2a+b| ,分别用 b 表示

2

a,c,在代入到 ﹣ + 得到关于 b 的二次函数,求出最小值即可.
2 2 解答: 解:∵ 4a ﹣2ab+4b ﹣c=0,

∴ 由柯西不等式得, [

=

][

]

=|2a+b|

2

故当|2a+b|最大时,有

∴ ∴﹣ + = = = ,

当 b= 时,取得最小值为﹣2. 故答案为:﹣2 点评: 本题考查了柯西不等式,以及二次函数的最值问题,属于难题.
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www.jyeoo.com 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2014?辽宁)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ )a 和 c 的值; (Ⅱ )cos(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,再利用余弦定理列出关
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?

=2,cosB= ,

系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可求出 ac 的值; (Ⅱ )由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用正弦定理求出 sinC 的值, 进而求出 cosC 的值, 原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ ? =2,cosB= ,

2

2

∴ c?acosB=2,即 ac=6① , ∵ b=3, 2 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴ a +c =13② , 联立① ② 得:a=3,c=2; (Ⅱ )在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

得:sinC= sinB= ×

∵ a=b>c,∴ C 为锐角, ∴ cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是 解本题的关键. 18. (12 分) (2014?辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所 示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (Ⅰ )求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; (Ⅱ )用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X) .

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www.jyeoo.com 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )由频率分布直方图求出事件 A1,A2 的概率,利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续 3 天 里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”的概率; (Ⅱ )写出 X 可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出 X 取每一个值的概率;列出分布列.根据服从 二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望 E(X)及方差 D(X) . 解答: 解: (Ⅰ )设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个” B 表示事件“在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”, 因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108, (Ⅱ )X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为:
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, , , 随机变量 X 的分布列为

因为 X~B(3,0.6) , 所以期望 E(X)=3×0.6=1.8, 方差 D(X)=3×0.6×(1﹣0.6)=0.72. 点评: 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式, 考查分布列的求法. 19. (12 分) (2014?辽宁)如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F 分别为 AC、DC 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ BC; (Ⅱ )求二面角 E﹣BF﹣C 的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到 E、F、B、C 点的坐标,易求得此
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www.jyeoo.com ? =0,所以 EF⊥ BC; =(0,0,1) ,平面 BEF 的法向量 =(x,y,z) ,依题意,可求得一

(Ⅱ )设平面 BFC 的一个法向量 个 =(1,﹣

,1) ,设二面角 E﹣BF﹣C 的大小为 θ,可求得 sinθ 的值.

解答: (Ⅰ )证明:由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得 B(0,0,0) ,A (0,﹣1, 0,﹣ ) , ) ,D( ,﹣1,0) ,C(0,2,0) ,因而 E(0, , ? =0,所以 EF⊥ BC. =(0,0,1) ,平面 BEF 的法向量 =(x,y,z) ,又 = ) ,F( , ,0) ,所以 =( ,

=(0,2,0) ,因此

(Ⅱ )解:在图中,设平面 BFC 的一个法向量 ( , ,0) , =(0, , ) ,



得其中一个

=(1,﹣

,1) ,

设二面角 E﹣BF﹣C 的大小为 θ,由题意知 θ 为锐角,则 cosθ=|cos< , >|=| |= ,

因此 sinθ=

=

,即所求二面角正弦值为



点评: 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标运 算,推理论证能力和运算求解能力. 20. (12 分) (2014?辽宁)圆 x +y =4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时, 切点为 P(如图) ,双曲线 C1: ﹣ =1 过点 P 且离心率为 .
2 2

(Ⅰ )求 C1 的方程; (Ⅱ )若椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径 的圆过点 P,求 l 的方程.

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设切点 P(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的 方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点 P 的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性 质即可得出;
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(Ⅱ )由(Ⅰ )可得椭圆 C2 的焦点.可设椭圆 C2 的方程为

(b1>0) .把 P 的坐标代入即可得

出方程.由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ , A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设切点 P(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,则切线的斜率为 ,

可得切线的方程为

,化为 x0x+y0y=4.

令 x=0,可得

;令 y=0,可得



∴ 切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形的面积 S=

=



∵ 4= ∴ .此时 P

,当且仅当 .

时取等号.

由题意可得



,解得 a =1,b =2.

2

2

故双曲线 C1 的方程为

. , 0) ,即为椭圆 C2 的焦点.

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知双曲线 C1 的焦点(± 可设椭圆 C2 的方程为

(b1>0) .

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www.jyeoo.com 把P 代入可得 ,解得 =3,

因此椭圆 C2 的方程为

. ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,

由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ 联立 ,化为







∴ x1+x2=

=



x1x2= , ∵ ∴ ∴ 因此直线 l 的方程为: ,∴ , +

=

. ,

, ,解得 m= 或 m= 或 , .

点评: 本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关 系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为 方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了转化和化 归能力,考查了解决问题的能力,属于难题. 21. (12 分) (2014?辽宁)已知函数 f(x)=(cosx﹣x) (π+2x)﹣ (sinx+1) g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ 证明: (Ⅰ )存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ )存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0; )

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ )中的 x0,有 x0+x1<π.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用.

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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ )由 x∈(0, 即可得出结论;

)时,f′ (x)<0,得出 f(x)在(0,

)上为减函数,且 f(0)>0,f(

)<0,

(Ⅱ )由函数 h(x)=

﹣4ln(3﹣

x) ,x∈[

,π],令 t=π﹣x,t∈[0,

],得 u(t)=h

(π﹣t) ,求出 u(t)存在唯一的零点 t1∈(0, <π. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ 当 x∈(0, ∴ 函数 f(x)在(0,

) ,即证 g(x)存在唯一的零点 x1∈(

,π) ,且满足 x0+x1

)时,f′ (x)=﹣(1+sinx) (π+2x)﹣2x﹣ cosx<0,

)上为减函数, )=﹣π ﹣
2

又 f(0)=π﹣ >0,f( ∴ 存在唯一的 x0∈(0, (Ⅱ )考虑函数 h(x)= 令 t=π﹣x,则 x∈[

<0;

) ,使 f(x0)=0; ﹣4ln(3﹣ ], t) , x) ,x∈[ ,π],

,π]时,t∈[0,

记 u(t)=h(π﹣t)= 则 u′ (t)=

﹣4ln(1+ ,

由(Ⅰ )得,当 t∈(0,x0)时,u′ (t)<0; 在(0,x0)上 u(x)是增函数,又 u(0)=0,∴ 当 t∈(,x0]时,u(t)>0, ∴ u(t)在(0,x0]上无零点; 在(x0, )上 u(t)是减函数,由 u(x0)>0,u( ) ,使 u(t1)=0; ) ,使 u(t1)=0; ,π) ,使 h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0; )=﹣4ln2<0,

∴ 存在唯一的 t1∈(x0, ∴ 存在唯一的 t1∈(0,

∴ 存在唯一的 x1=π﹣t1∈( ∵ 当 x∈(

,π)时,1+sinx>0,∴ g(x)=(1+sinx)h(x)与 h(x)有相同的零点, ,π) ,使 g(x1)=0,

∴ 存在唯一的 x1∈(

∵ x1=π﹣t1,t1>x0,∴ x0+x1<π. 点评: 本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题,利用函数的单调性 研究函数的零点问题,是较难的题目. 四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.选修 4-1:几何证明选讲. 22. (10 分) (2014?辽宁)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延 长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ )求证:AB 为圆的直径;
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www.jyeoo.com (Ⅱ )若 AC=BD,求证:AB=ED.

考点: 圆周角定理;与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;几何证明. 分析: (Ⅰ )证明 AB 为圆的直径,只需证明∠ BDA=90°; (Ⅱ )证明 Rt△ BDA≌ Rt△ ACB,再证明∠ DCE 为直角,即可证明 AB=ED. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ PG=PD,∴ ∠ PDG=∠ PGD, ∵ PD 为切线,∴ ∠ PDA=∠ DBA, ∵ ∠ PGD=∠ EGA, ∴ ∠ DBA=∠ EGA, ∴ ∠ DBA+∠ BAD=∠ EGA+∠ BDA, ∴ ∠ NDA=∠ PFA, ∵ AF⊥ EP, ∴ ∠ PFA=90°. ∴ ∠ BDA=90°, ∴ AB 为圆的直径; (Ⅱ )连接 BC,DC,则 ∵ AB 为圆的直径, ∴ ∠ BDA=∠ ACB=90°, 在 Rt△ BDA 与 Rt△ ACB 中,AB=BA,AC=BD, ∴ Rt△ BDA≌ Rt△ ACB, ∴ ∠ DAB=∠ CBA, ∵ ∠ DCB=∠ DAB, ∴ ∠ DCB=∠ CBA, ∴ DC∥ AB, ∵ AB⊥ EP, ∴ DC⊥ EP, ∴ ∠ DCE 为直角, ∴ ED 为圆的直径, ∵ AB 为圆的直径, ∴ AB=ED.
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点评: 本题考查圆的切线的性质,考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程
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www.jyeoo.com 2 2 23. (2014?辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ )写出 C 的参数方程; (Ⅱ )设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 考点: 参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 2 2 (Ⅰ )在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,再根据点(x, )在圆 x +y =1 上,求出 C 的方程,化为参数方程.
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(Ⅱ )解方程组求得 P1、P2 的坐标,可得线段 P1P2 的中点坐标.再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ,用点斜 式求得所求的直线的方程,再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程. 解答: 解: (Ⅰ )在曲线 C 上任意取一点(x,y) ,由题意可得点(x, )在圆 x +y =1 上,
2 2 2 2

∴ x+

=1,即曲线 C 的方程为 x +

=1,化为参数方程为

(0≤θ<2π,θ 为参数) .

(Ⅱ )由

,可得



,不妨设 P1(1,0) 、P2(0,2) ,

则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1) , 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ,故所求的直线的方程为 y﹣1= (x﹣ ) ,即 x﹣2y+ =0. 再根据 x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为 ρcosα﹣2ρsinα+ =0, 即 ρ= .

点评: 本题主要考查求点的轨迹方程的方法,极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程,属于中档题. 不等式选讲 2 24. (2014?辽宁)设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (Ⅰ )求 M; (Ⅱ )当 x∈M∩ N 时,证明:x f(x)+x[f(x)] ≤ .
2 2

考点: 其他不等式的解法;交集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )由所给的不等式可得

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① ,或

② ,分别求得① 、② 的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ ) 由g (x) ≤4, 求得 N, 可得 M∩ N=[0, ]. 当 x∈M∩ N 时, ( f x) =1﹣x, 不等式的左边化为 ﹣ 显然它小于或等于 ,要证的不等式得证.



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www.jyeoo.com 解答: 解: (Ⅰ )由 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得

① ,或

② .

解① 求得 1≤x≤ ,解② 求得 0≤x<1. 综上,原不等式的解集为[0, ]. (Ⅱ )由 g(x)=16x ﹣8x+1≤4,求得﹣ ≤x≤ ,∴ N=[﹣ , ],∴ M∩ N=[0, ]. ∵ 当 x∈M∩ N 时,f(x)=1﹣x,x f(x)+x[f(x)] =xf(x)[x+f(x)] = ﹣ ≤ ,
2 2 2

故要证的不等式成立. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;maths;caoqz;sxs123;wyz123;清风慕竹;双曲线;刘长柏;sllwyn; 孙佑中;whgcn;wdnah;wfy814;742048;qiss(排名不分先后)
菁优网 2014 年 6 月 19 日

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