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北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷(文科)


北京市东城区 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x∈Z|﹣1≤x≤2},集合 B={0,2,4},则 A∩B=() A.{0,2} B.{0,2,4} C.{﹣1,0,2,4} D.{﹣1,0,1,2,4} 2. (5 分

)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上为增函数的是() 3 x A.y=lnx B.y=x C.y=3 D.y=sinx 3. (5 分)若 x∈R,则“x>1”,则“x >1”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. (5 分)当 n=4 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()
2

A.6

B. 8

C.14 ,0) ,则 sin2α 的值为() C.

D.30

5. (5 分)已知 cosα= ,α∈(﹣ A. B. ﹣

D.﹣

6. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,某同学首先选定了与 A,B 不共 线的一点 C,然后给出了四种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b,c) ①测量 A,C,b.②测量 a,b,C.③测量 A,B,a.④测量 a,b,B. 则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为()

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②③④

7. (5 分)已知 =(1,3) , =(m,2m﹣3) ,平面上任意向量 都可以唯一地表示为 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,0)∪(0,+∞) 3,+∞) D. B.(﹣∞,3) [﹣3,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣

8. (5 分)已知两点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,若直线 y=k(x﹣2)上至少存在三个点 P,使 得△ MNP 是直角三角形,则实数 k 的取值范围是() A.[﹣ ,0)∪(0, ] B. D.[﹣5,5] [﹣ ,0)∪(0, ] C. [﹣ , ]

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)已知抛物线的方程为 y =4x,则其焦点到准线的距离为. 10. (5 分)若 =1+mi(m∈R) ,则 m=.
2

11. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体最长棱的棱长为

cm.

12. (5 分)已知 x,y 满足

则 z=2x+y 的最大值为.

13. (5 分)设函数 f(x)= 两个零点,则实数 k 的取值范围是.

则 f(f( ) )=;若函数 g(x)=f(x)﹣k 存在

14. (5 分)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下: ①如果一次性购物不超过 200 元,则不给予优惠; ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; ③如果一次性购物超过 500 元,则 500 元按第②条给予优惠,剩余部分给予 7 折优惠. 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 450 元,若丙一次性购买 A, B 两件商品,则应付款元.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣ 条对称轴之间的距离为 . ) (A>0,ω>0)的最大值为 2,其图象相邻两

(Ⅰ)求 f(x)的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 α∈(0, ) ,且 f( )=1,求 α 的值.

16. (13 分) 已知数列{an}是等差数列, 数列{bn}是公比大于零的等比数列, 且 a1=b1=2, a3=b3=8. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 17. (14 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,E 为 PC 的中点,M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF=2FP. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 PBC; (Ⅱ)求证:CM∥平面 BEF; (Ⅲ)若 PB=BC=CA=2,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

18. (13 分)为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解 本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作 为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90, 100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.

19. (13 分)已知椭圆 C1:

+y =1,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有相

2

同的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点. (Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 20. (14 分)已知函数 f(x)=alnx﹣bx ,a,b∈R. (Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处与直线 y=﹣ 相切,求 a,b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f(x)在[ ,e]上的最大值; (Ⅲ)若不等式 f(x)≥x 对所有的 b∈(﹣∞,0],x∈(e,e ]都成立,求 a 的取值范围.
2 2

=2

,求直线 AB 的方程.

北京市东城区 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x∈Z|﹣1≤x≤2},集合 B={0,2,4},则 A∩B=() A.{0,2} B.{0,2,4} C.{﹣1,0,2,4} D.{﹣1,0,1,2,4}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集运算进行求解. 解答: 解:集合 A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1,0,1,2},集合 B={0,2,4}, 则 A∩B={0,2}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上为增函数的是() 3 x A.y=lnx B.y=x C.y=3 D.y=sinx 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可. 解答: 解:y=lnx 的定义域为(0,+∞) ,关于原点不对称,即函数为非奇非偶函数. 3 y=x 是奇函数,又在区间(0,+∞)上为增函数,满足条件. X y=3 在区间(0,+∞)上为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件. y=sinx 是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调函数, 故选:B 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性. 3. (5 分)若 x∈R,则“x>1”,则“x >1”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 分析: 直接利用充要条件的判定判断方法判断即可. 2 2 解答: 解:因为“x>1”,则“x >1”;但是“x >1”不一定有“x>1”, 2 所以“x>1”,是“x >1”成立的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查充要条件的判定方法的应用,考查计算能力. 4. (5 分)当 n=4 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()
2

A.6

B. 8

C.14

D.30

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,s 的值,当 k=5>4,退出循环,输出 s 的值为 30. 解答: 解:由程序框图可知: k=1,s=2 k=2,s=6 k=3,s=14 k=4,s=30 k=5>4,退出循环,输出 s 的值为 30. 故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于基 本知识的考查. 5. (5 分)已知 cosα= ,α∈(﹣ A. B. ﹣

,0) ,则 sin2α 的值为() C. D.﹣

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知及同角三角函数的关系式可先求 sinα 的值,从而有倍角公式即可代入求值. 解答: 解:∵cosα= ,α∈(﹣ ∴sinα=﹣ =﹣ ,0) , =﹣ ,

∴sin2α=2sinαcosα=2×

=﹣



故选:D. 点评: 本题主要考查了同角三角函数的关系式,二倍角的正弦公式的应用,属于基础题. 6. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,某同学首先选定了与 A,B 不共 线的一点 C,然后给出了四种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b,c) ①测量 A,C,b.②测量 a,b,C.③测量 A,B,a.④测量 a,b,B. 则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为()

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②③④

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据图形,可以知道 a,b 可以测得,角 A、B、C 也可测得,利用测量的数据,求 解 A,B 两点间的距离唯一即可. 解答: 解:对于①③可以利用正弦定理确定唯一的 A,B 两点间的距离. 对于②直接利用余弦定理即可确定 A,B 两点间的距离. 对于④测量 a,b,B, ,sinA= ,b<a,此时 A 不唯一

故选:A. 点评: 本题以实际问题为素材,考查解三角形的实际应用,解题的关键是分析哪些可测量, 哪些不可直接测量,注意正弦定理的应用.

7. (5 分)已知 =(1,3) , =(m,2m﹣3) ,平面上任意向量 都可以唯一地表示为 =λ +μ (λ,μ∈R) ,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,0)∪(0,+∞) 3,+∞) D. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先,根据题意,得向量 , 不共线,然后,根据坐标运算求解实数 m 的取值范围. 解答: 解:根据平面向量基本定理,得 向量 , 不共线, ∵ =(1,3) , =(m,2m﹣3) , ∴2m﹣3﹣3m≠0, ∴m≠﹣3. B.(﹣∞,3) [﹣3,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣

故选:C. 点评: 本题重点考查了向量的共线的条件、坐标运算等知识,属于中档题. 8. (5 分)已知两点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,若直线 y=k(x﹣2)上至少存在三个点 P,使 得△ MNP 是直角三角形,则实数 k 的取值范围是() A.[﹣ ,0)∪(0, ] B. D.[﹣5,5] 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 直线与圆. 分析: 当 k=0 时,M、N、P 三点共线,构不成三角形,故 k≠0.△ MNP 是直角三角形,由 直径对的圆周角是直角,知直线和以 MN 为直径的圆有公共点即可,由此能求出实数 k 的取 值范围. 解答: 解:当 k=0 时,M、N、P 三点共线,构不成三角形, ∴k≠0, 如图所示,△ MNP 是直角三角形,有三种情况: 当 M 是直角顶点时,直线上有唯一点 P1 点满足条件; 当 N 是直角顶点时,直线上有唯一点 P3 满足条件; 当 P 是直角顶点时,此时至少有一个点 P 满足条件. 由直径对的圆周角是直角,知直线和以 MN 为直径的圆有公共点即可, 则 ,解得﹣ ≤k≤ ,且 k≠0. [﹣ ,0)∪(0, ] C. [﹣ , ]

∴实数 k 的取值范围是[﹣ 故选:B.

,0)∪(0,

].

点评: 本题考查直线与圆的位置关系等基础知识,意在考查运用方程思想求解能力,考查 数形结合思想的灵活运用. 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 2 9. (5 分)已知抛物线的方程为 y =4x,则其焦点到准线的距离为 2.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 y =2px 的焦点为( ,0) ,准线为 x=﹣ ,可得抛物线 y =4x 的焦点为(1, 0) ,准线为 x=﹣1,再由点到直线的距离公式计算即可得到. 解答: 解:抛物线 y =2px 的焦点为( ,0) ,准线为 x=﹣ , 则抛物线 y =4x 的焦点为(1,0) ,准线为 x=﹣1, 则焦点到准线的距离为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点和准线方程,同时考查点到 直线的距离的求法,属于基础题. =1+mi(m∈R) ,则 m=﹣2.
2 2 2 2

10. (5 分)若

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 解答: 解:∵1+mi= = =1﹣2i,

∴m=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题. 11. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体最长棱的棱长为

cm. 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数 据,可得答案. 解答: 解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,如图: 其中 PA⊥平面 ABCD,∴PA=3,AB=3,AD=4,

∴PB=3

,PC=

=

,PD=5. .

该几何体最长棱的棱长为: 故答案为: .

点评: 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征 是解答本题的关键.

12. (5 分)已知 x,y 满足

则 z=2x+y 的最大值为 7.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(3,1) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×3+1=6+1=7. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 7. 故答案为:7

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

13. (5 分)设函数 f(x)=

则 f(f( ) )= ;若函数 g(x)=f(x)﹣k 存

在两个零点,则实数 k 的取值范围是(0.1]. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数求解第一个空,利用函数的图象求解第二问. 解答: 解:函数 f(x)= 则 f(f( ) )=f(﹣1)= ;

函数 g(x)=f(x)﹣k 存在两个零点,即 f(x)=k 存在两个解,如图: 可得 a∈(0,1]. 故答案为: ; (0,1].

点评: 本题考查函数的零点以及分段函数的应用,考查数形结合以及计算能力. 14. (5 分)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下: ①如果一次性购物不超过 200 元,则不给予优惠; ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; ③如果一次性购物超过 500 元,则 500 元按第②条给予优惠,剩余部分给予 7 折优惠. 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 450 元,若丙一次性购买 A, B 两件商品,则应付款 520 元. 考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 单独购买 A,B 分别付款 100 元与 450 元,而 450 元是优惠后的付款价格,实际标价 为 450÷0.9=500 元, 若丙一次性购买 A,B 两件商品,即价值 100+500=600 元的商品,按规定(3)进行优惠计算 即可. 解答: 解:甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 450 元, 由于商场的优惠规定,100 元的商品未优惠,而 450 元的商品是按九折优惠后的,

则实际商品价格为 450÷0.9=500 元, 若丙一次性购买 A,B 两件商品,即价值 100+500=600 元的商品时,应付款为: 500×0.9+(600﹣500)×0.7=450+70=520(元) . 故答案为:520. 点评: 本题考查了应用函数解答实际问题的知识,解题关键是读懂题意,根据题目给出的 条件,找出合适的解题途径,从而解答问题,是基础题. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣ 条对称轴之间的距离为 . ) (A>0,ω>0)的最大值为 2,其图象相邻两

(Ⅰ)求 f(x)的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 α∈(0, ) ,且 f( )=1,求 α 的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由最大值为 2 可求 A 的值,由图象相邻两条对称轴之间的距离为 正周期 T,根据周期公式即可求 ω,从而得解; (Ⅱ)由 得 ,由 ,得 , ,得最小

从而可解得 α 的值. 解答: (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f(x)的最大值为 2,所以 A=2. 由图象相邻两条对称轴之间的距离为 所以 ω=2. 故函数的解析式为 (Ⅱ) 因为 所以 ,所以 ,故 .…(13 分) ,由 . .…(6 分) 得 . ,得最小正周期 T=π.

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了周期公式的应 用,属于基本知识的考查. 16. (13 分) 已知数列{an}是等差数列, 数列{bn}是公比大于零的等比数列, 且 a1=b1=2, a3=b3=8. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,且 q>0.由已知列 式求得等差数列的公差和等比数列的公比,代入等差数列和等比数列的通项公式得答案; (Ⅱ)由 cn=abn 结合数列{an}和{bn}的通项公式得到数列{cn}的通项公式,结合等比数列的前 n 项和求得数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,且 q>0. 由 a1=2,a3=8,得 8=2+2d,解得 d=3. * ∴an=2+(n﹣1)×3=3n﹣1,n∈N . 2 由 b1=2,b3=8,得 8=2q ,又 q>0,解得 q=2. ∴ (Ⅱ)∵ ,n∈N ; ,
*



=3×2

n+1

﹣n﹣6.

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是中档 题. 17. (14 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PB⊥底面 ABC,∠BCA=90°,E 为 PC 的中点,M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF=2FP. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 PBC; (Ⅱ)求证:CM∥平面 BEF; (Ⅲ)若 PB=BC=CA=2,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 由 PB⊥底面 ABC, 可证 AC⊥PB, 由∠BCA=90°, 可得 AC⊥CB. 又 PB∩CB=B, 即可证明 AC⊥平面 PBC. (Ⅱ)取 AF 的中点 G,连结 CG,GM.可得 EF∥CG.又 CG?平面 BEF,有 EF?平面 BEF, 有 CG∥平面 BEF,同理证明 GM∥平面 BEF,有平面 CMG∥平面 BEF,即可证明 CM∥平 面 BEF.

(Ⅲ)取 BC 中点 D,连结 ED,可得 ED∥PB,由 PB⊥底面 ABC,故 ED⊥底面 ABC,由 PB=BC=CA=2,即可求得三棱锥 E﹣ABC 的体积. 解答: (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 PB⊥底面 ABC,且 AC?底面 ABC, 所以 AC⊥PB. 由∠BCA=90°,可得 AC⊥CB. 又 PB∩CB=B, 所以 AC⊥平面 PBC. …(5 分) (Ⅱ)取 AF 的中点 G,连结 CG,GM. 因为 AF=2FP,G 为 AF 中点,所以 F 为 PG 中点. 在△ PCG 中,E,F 分别为 PC,PG 中点, 所以 EF∥CG.又 CG?平面 BEF,EF?平面 BEF, 所以 CG∥平面 BEF. 同理可证 GM∥平面 BEF. 又 CG∩GM=G, 所以平面 CMG∥平面 BEF. 又 CM?平面 CMG, 所以 CM∥平面 BEF.…(11 分) (Ⅲ)取 BC 中点 D,连结 ED. 在△ PBC 中,E,D 分别为中点,所以 ED∥PB. 因为 PB⊥底面 ABC,所以 ED⊥底面 ABC. 由 PB=BC=CA=2,可得 . …(14 分)

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,三棱锥体积公式 的应用,正确做出相应的辅助线是解题的关键,考查了转化思想,属于中档题. 18. (13 分)为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解 本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作 为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90, 100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2,列举法易得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,x=0.100

﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种, 分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a4,a5) , (a4,b1) , (a4,b2) , (a5,b1) , (a5,b2) , (b1,b2) . 其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a4,a5) . ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 .

点评: 本题考查列举法求古典概型的概率,涉及频率分布直方图,属基础题.
2

19. (13 分)已知椭圆 C1:

+y =1,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有相

同的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点. (Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. =2 ,求直线 AB 的方程.

分析: (Ⅰ)通过设椭圆 C2 的方程为: 计算即得结论; (Ⅱ)通过

,由 C1 方程可得



及(Ⅰ)知可设直线 AB 的方程为 y=kx,并分别代入两椭圆中、利用

,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 C1 方程可得 ,

依题意可设椭圆 C2 的方程为:



由已知 C1 的离心率为

,则有

,解得 a =16,

2

故椭圆 C2 的方程为



(Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 由 及(Ⅰ)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

因此可设直线 AB 的方程为 y=kx, 将 y=kx 代入 中,解得 ;

将 y=kx 代入

中,解得



又由 即

,得



,解得 k=±1.

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x. 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=alnx﹣bx ,a,b∈R. (Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处与直线 y=﹣ 相切,求 a,b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f(x)在[ ,e]上的最大值; (Ⅲ)若不等式 f(x)≥x 对所有的 b∈(﹣∞,0],x∈(e,e ]都成立,求 a 的取值范围.
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考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由题意可得 f(1)=﹣ ,f′(1)=0, 即可解得 a,b 的值; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,求得单调区间,即可得到最大值; (Ⅲ)由题意可得 alnx﹣bx ≥x 对所有的 b∈(﹣∞,0],x∈(e,e ]都成立,即 alnx﹣x≥bx 对所有的 b∈(﹣∞,0],x∈(e,e ]都成立,即 alnx﹣x≥0 对 x∈(e,e ]恒成立,即 x∈(e,e ]恒成立,求得右边函数的最大值即可. 解答: 解: (Ⅰ) 由函数 f(x)在 x=1 处与直线