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两角和与差及二倍角公式经典例题及答案


:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点: 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α -β ):cos(α -β )= S(α +β ):sin(α +β )= T(α +β ):tan(α +β )= 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 ; S 2? :sin2α =

? ? ?? 2 2 2 β α 1 2 ? ? ? ?π ? ?

π? 例 2 设 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,其中 α∈?2,π?,β∈?0,2?,求 cos(α+β).

? ? ? ? 2?

? ??
2



???

? ??

?

?

??

?

; C(α +β ):cos(α +β )= ; S(α -β ):sin(α -β )= ; T(α -β ):tan(α -β )=

; ; ; 变式 2:已知0 ? ? ? ; ;

T2? :tan2α =


π 3 π 3 3π 5 ? ? ? π, cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , 求 sin(α +β )的值. 4 4 4 5 4 13

C2? :cos2α =



3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如 T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________; tan αtan β= = . 考点自测: 1、已知 tanα =4,tanβ =3,则 tan(α +β )=( )

7 7 D、 C、 13 13 π 7π 4 ? ? ? 2、已知 cos? ) ?α-6?+ sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值是( B、2 3 4 B. C.- 5 5 4 5 3、在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 5 13 16 56 16 56 A. B. C. 或 65 65 65 65 4、若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ 的值等于( ) A.0 B.± 3 C.0 或 3 2cos55° - 3sin5° 5、三角式 值为( ) cos5° A. 2 3 A.- 5 4 D. 5 ) D.- 16 65

7 A、 11

7 11

题型 3 给值求角 已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:(1)确定角所在的范围;(2)求角的某一个三角函数 值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调); (3)求出角。 1 1 例 3 已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7

变式 3:已知 tanα =

1 1 ,tanβ = ,并且 α ,β 均为锐角,求 α +2β 的值. 7 3

题型 4 辅助角公式的应用

D.0 或± 3

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ( 其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由
b 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a 5 3( x ? R ) 的单调递增区间? 例 4 求函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x ? 2 tan ? ?

3 B. 3 C.2 D.1 2 题型训练 题型 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角,利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 例 1 求 [2sin 50? ? sin10? (1 ? 3 tan10? )] ? 2sin 2 80? 的值.

变式 4(1)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (2)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.



变式 1:化简求值:

2cos10? ? sin 20? . cos 20?

题型 5 公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂

题型 2 给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示.如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,
1

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ?

tan ? t a?n?

tan ? ? t a?n 1 t a n? (?? )

3 例 5(1)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? ,则此三角形是____ 4
三角形 (2)化简 1-sin8 ? 2 ? 2cos8

13、 (福建理 17)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

变式 5 已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) = 专题自测



1 1、下列各式中,值为 的是 2
A、 sin15 cos 15 B、 cos
2





14、 (四川理 17)已知 cos ? ? (1)求 tan 2? 的值. (2)求 ? .

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

?
12

? sin 2

?
12

tan 22.5 C、 1 ? tan 2 22.5

1 ? cos 30 D、 2
( D、既不充分也不必要条件 )

tan A ? tan B ? 0 , 2、 命题 P: 命题 Q: 则P是Q的 tan( A ? B ) ? 0 ,
A、充要条件 3、已知 sin ? ? B、充分不必要条件 C、必要不充分条件

3 ? , tan ? ? 0 则 tan(? ? ) = . 5 4 3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? 4、 2 2 sin 20? cos 20? ? ? 2? ? x) =______________. 5、 sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) ? 3 cos( 3 3 3
6、 cos( x ? 27 )cos(18 ? x) ? sin(18 ? x)sin( x ? 27 ) =
0 0 0 0

15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α ,β ,它 们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 两点的横坐标分别为 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求 α +2β 的值.

2 2 5 , . 10 5

7、若 sin ? ?

2 5 3 10 , sin ? ? , ? , ? 都为锐角,则 ? ? ? = 5 10
2

8、在△ABC 中,已知 tanA、tanB 是方程 3x +8x-1=0 的两个根,则 tanC 等于

1 3 9、 = ? sin10 sin 80
10、



答案:考点自测:1-5BCADD 变式 1、 3 专题自测:1、C 11、 2 12、1 2、C 3、 ? 7

2、

56 65

3: 5、 0

? 4

4(1)-2 (2)[-2,2] 6、

5、 ?

2 2

2 cos10? ? sin 20? = sin 70?
? ?

4、32

11、 (1 ? tan 22 )(1 ? tan 23 ) = 12、 tan10? tan20? ? 3(tan10? ? tan20?) =
2

13、 ?1? C ?

3 π 4

? 2? BC ?

2

3 2 7、 ? 8、 2 9、 4 10、 3 4 2 ? 8 3 14、 ?1? ? 15(1)—3 (2) ? 2? ? ? 3 47

3π 4


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