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武威五中2010~2011学年度第一学期期中试卷


武威五中 2010~2011 学年度第一学期期中试卷 高三年级数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) x-1 1.设集合 A={x|x>3},B={x| <0},则 A∩B= x-4 A.? B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞) ( ) 2.下列函数中既是奇函数又在区间[-1,1]上单调递减的是 A.f (x)=sinx C.f (x)= B.f (x)=-|x+1| ( )

1 x a ? a ?x 2

?

?

D.f (x)=ln

3.将函数 y = sin (x+

?

6

) (x ? R) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原 4
( )

2? x 2? x

来的 2 倍,则所得的图象的解析式为 A. y = sin (2x+ C. y = sin (

x ? - ) (x ? R) 2 12

5? ) (x ? R) 12

x 5? + ) (x ? R) 2 12 x 5? ) (x ? R) D. y = sin ( + 2 24
B. y = sin ( )

3 4.若数列{an}是首项为 1,公比为 a- 的无穷等比数列,且{an}各项的和为 a,则 a 的值是( 2 A.1 5.设函数 f (x)=2sin( B.2 1 C. 2 5 D. 4

? ? x+ ),若对任意 x∈R 都有 f (x1) ≤f (x)≤f (x2)成立.则|x1-x2|的最小值为 2 5

( A.4 6. f ?x ? ? sin 2 ? x ? B.2 C.1


1 2

D.

? ?

π? π? 2? ? ? cos ? x ? ? ? 1 是 4? 4? ?
B.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2 π 的偶函数





A.周期为 π 的奇函数 C.周期为 2 π 的奇函数

7.{an } 是等差数列,首项 a1 >0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的的最大正整数

n是
A.2003 B.2004 C.4006
2 n?2

( D.4007



8.若数列 {an } 的通项公式为 an ? 5 ? ? x+y 等于 A.3 9.若在 ? 0, B.4

?2? ?5?

?2? ? 4? ? ?3?

n ?1

(n ? N ? ) , {an } 的最大项为第 x 项, 最小项为第 y 项,则
( )

C.5

D.6

? ?? 内有两个不同的实数值满足等式 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1 ,则实数 k 的取值范围是 ? 2? ?
( ) D. k ? 1
2

A. 0 ? k ? 1

B. 0 ? k ? 1

C. ?3 ? k ? 1

10.设 f ( x ) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) 时, f ( x) ? log 1 (1 ? x) ,则函数 f ( x ) 在(1,2)

上 A.是增函数,且 f ( x) ? 0 C.是减函数,且 f ( x) ? 0

( B.是增函数,且 f ( x) ? 0 D.是减函数,且 f ( x) ? 0



?a x ? x ? 0? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 11.已知函数 f ? x ? ? ? ,满足对任意 x1 ? x2 ,都有 ? 0 成立,则 a 的取值 x ? x a ? 3 x ? 4 a x ? 0 ? ? ? ? ? 1 2 ?
范围是 A . (0, ) 12.设 f ( x ) ? ( B .(1,2] C. (1,3) D ( ,1) )

1 4

1 2

2x ? 3 ,函数 g ( x) ? f ?1 ( x ? 1) 的图象与 h( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则 h(3) 的值为 x ?1
( ) B.3 C. 5 D.

A.

7 2

11 2

选择题答题卡 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在相应的位置上) 13.知(x,y)在映射 f 的作用下的象是(x+y,x-y),则在 f 作用下(1,3)的原象是__ 14.已知 ? , ? ? ? __. _. .

? 12 ? 3 ? 3? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? ___ 4 13 4 5 ? 4 ?
+b)

15.设函数 f(x)=loga (x

(a>0 且 a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则 a+b=

16.等差数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为 三、解答题(本题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 3a ? 1) ? 0}, 函数 y ? lg (1)若 4 ? B,求实数 a 的取值范围; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围。

2a ? x 的定义域为集合 B。 x ? (a 2 ? 1)

18. (本小题满分 12) 设 ?an ? 为等比数列,且其满足: S n ? 2 ? a .
n

(1)求 a 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)已知数列 ?bn ? 满足 bn ? ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

19.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 3 (1)当 x ? (0,

) 时,求函数 f ( x) 的值域; 2 28 ? 5? ? ) ,求 cos(2 x ? ) 的值. (2)若 f ( x ) ? ,且 x ? ( , 5 6 12 12

?

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

21.(本题满分 12 分)已知 y= f ( x ) 是二次函数,且 f(0)=8 及 f(x+1)-f(x)=-2x+1 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 y ? log3 f ( x) 的单调递减区间及值域..

22.(共 14 分)已知数列 {an } 的首项是 a1 ? 1, 前n项和为S n , 且S n?1 ? 2S n ? 3n ? 1(n ? N ).
*

(1)设 bn ? an ? 3(n ? N ),求数列 {bn }的通项公式;
*

(2)设 cn ? log2 bn , 若存在常数 k , 使不等式k ?

cn ? 1 (n ? N * )恒成立, 求k 的最小值。 (n ? 25)cn

高三数学(理科)参考答案
一、填空题 1 2 B D 二、选择题 3 B 4 C 14. 5 B 6 A 7 C 15.4 8 A 9 B 16.29 10 D 11 A 12 A

? 13. ?2,-1
三、简答题

56 65

18 解:解(1)n=1 时, a1 ? 2 ? a

n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1
∵ ?an ? 为等比数列 ∴ a1 ? 2 ? a ? 2
1?1

? 1 ∴ a ? ?1
(6 分)

∴ ?an ? 的通项公式为 a n ? 2 n?1 (2) bn ? ?

n n ? ? n ?1 an 2
1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? n ? n ?1 ) 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? ?[ 1 ? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1) n ?1 ? n ? n ] 2 2 2 2 2
① ②
[

Tn ? ? (1 ? 1 ? 2 ?

②-①得 ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ? n 2 2 2 2 2

n?2 ?4 2 n ?1

19.解:

f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 3 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 ? 2 sin( 2 x ?
由已知 3分

?
6

) ? 4.

? 6 ? 7? ? 1 x ? (0, ) 2 x ? ? ( , ), sin( 2 x ? ) ? (? ,1] 2 时, ? 6 6 6 2 当
故函数, f ( x) 的值域是(3,6] 6分

f ( x) ?
(II)由

28 ? 28 ? 4 2 sin( 2 x ? ) ? 4 ? sin( 2 x ? ) ? 5 ,得 6 5 ,即 6 5
8分

? 5? ? 3 x?( , cos( 2 x ? ) ? ? 6 12 ) 6 5 因为 ,所以
cos(2 x ?

10 分



? ? ? 2 ? 2 2 ) ? cos[(2 x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? 12 6 4 6 2 6 2 10
12 分

?

1 π f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] 2 6 20 解: (I)由题设知
因为

1 分.

x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,
2 x0 ? π π 2 x0 ? kπ ? 6 ? kπ ,即 6 (k ?Z )

所以

2 分,

1 1 π g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) 2 2 6 . 所以

1 1 3 ? π? g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 6? 4 4 当 k 为偶数时,
1 π 1 5 g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? 2 6 4 4 当 k 为奇数时,

4 分,

6 分.

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
(II)

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? sin ? 2 x ? π ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2? ? 6? 2 ? 2 2? 2 3? 2 ? 2 2 ?
9 分.

2kπ ?


π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? kπ ? ≤ x ≤ kπ ? 2 3 2 ,即 12 12 ( k ? Z )时,

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 2 是增函数, ? 函数 h( x) ? 2 5π π? ? kπ ? ,kπ ? ? ? 12 12 ? ( k ? Z ) 故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? .
21.解:(1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c

12 分

f(0)=8 得 c=8 f(x+1)-f(x)=-2x+1 得 a=-1,b=2

2分

? f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 8 ………………………………..5 分
(2) y ? log3 f ( x) = log3 (?x2 ? 2x ? 8) ? log3 [?( x ? 1)2 ? 9] 当 ? x2 ? 2 x ? 8 ? 0 时, ?2 ? x ? 4 8分

单调递减区间为(1 ,4) .值域 (??, 2] …………………………..12 分
22. 解: (Ⅰ)? Sn?1 ? 2Sn ? 3n ? 1, ?当n ? 2时,Sn ? 2Sn?1 ? 3(n ?1) ? 1, 两式相减得

an?1 ? 2an ? 3, 从而 bn?1 ? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ? 2bn (n ? 2) ,

………3 分

? S2 ? 2S1 ? 3 ? 1, ? a2 ? a1 ? 4 ? 5 ,可知 b2 ? 0 .?bn ? 0
? bn ?1 b a ?3 8 ? 2(n ? 2), 又 2 ? 2 ? ? 2. b1 a1 ? 3 4 bn

(n ? 2) .

? 数列 ?bn ? 是公比为 2,首项为 4 的等比数列,
因此 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ( n?N )
*

………5 分 ………6 分

(Ⅱ)据(Ⅰ) cn ? log2 bn ? log2 4 ? 2n?1 ? log2 2n?1 ? n ? 1

cn ? 1 n ? 1 ?1 n ? ? ? (n ? 25)cn (n ? 25)(n ? 1) (n ? 25)(n ? 1)
(当且仅当 n=5 时取等号).

1 1 1 ? ? , 25 2 ? 5 ? 26 36 n ? ? 26 n

………10 分

故不等式k ?

1 cn ? 1 (n ? N * ) 恒成立, ? k ? , …………12 36 (n ? 25)cn


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