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云南省昆明市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


昆明三中 2015——2016 学年高二上学期期末考试试卷 理
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为(
2 A.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0 2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

/>






)

B.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0
2 D.不存在 x ? R ,使得 x ? 0

2.阅读右面的程序框图,则输出的 S=( ) A.14 B.30 C.20
2 2

D.55

3.双曲线 ( A.0 ).

x y 2 - =1 与直线 y=- x  + m (m∈R)的公共点的个数为 9 4 3

B.1

C.0 或 1

D.0 或 1 或 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 4.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A. ?7 B. ?6 C. ?5 D. ?3



5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

2 2 6.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 1 相交与 P,Q 两点,且此圆被分成的两段弧长之比

为 1: 2 ,则 k 的值为( ) A. ? 3 或 3 B. 3 C. ? 2 或 2 D. 2

7.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面中,面积最大的面的面积 是( ) A.8 B.10 C. 6 2 D. 8 2

1

8.执行如图所示的程序框图,如果输出 S ? 132 ,则判断框中应填 ( ) A. i ? 10 ? B. i ? 11 ? C. i ? 12 ? D. i ? 11 ?

x2 y2 x2 y2 和双曲线 ? ? 1 ? ? 1 有公共焦点,那 3m2 5n2 2m2 3n2 么双曲线的渐近线方程为( )
9.已知 椭圆 A. x ? ? C. x ? ?
15 y 2

B. y ? ?

15 x 2

3 3 y x D. y ? ? 4 4 10. 若动圆 C 过定点 A(4, 0) ,且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8 ,则动圆圆心 C 的轨迹方程

是 A. x2 ? 8 y C. y 2 ? 8x B. x2 ? 8 y ( x ? 0) D. y 2 ? 8x( x ? 0) (





11.在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? ? 0( ? ? R)和? cos? ? 2 C. ? ? B. ? ?



?
2

( ? ? R)和? cos ? ? 2

?
2

( ? ? R)和? cos ? ? 1

D. ? ? 0( ? ? R)和? cos? ? 1

12.如图,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任意一点,则分 a2 b2

别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 ,共 20 分.把答案填在横线上.
2

? x ? t2 13. 圆锥曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标是 ? y ? 2t

.

x2 y 2 P , F2 为右焦点, 14.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a b
? 若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

15.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为

2

16.球 O 的球面上有四点 S、A、B、C,其中 O、A、B 、C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正 三角形,平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为

三、解答题: (共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 bn ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 .

1 . Sn

18. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, c ? 3a ? sin C ? c ? cos A 。

3

( 1 )求 A. ( 2 )若 a=2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 AD // BC ,

?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD .若 PA ? AB ? BC ?
P

1 AD . 2

A

D

B

C

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E 的位置并证明, 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

4

已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,曲线 C1 : ? (1)求曲线 C1 的普通方程;

? x ? 3cos ? ( ? 为参数) . ? y ? 2sin ?

(2)若点 M 在曲线 C1 上运动,求 M 到曲线 C 的距离的最小值,并求出 M 点的坐标。

21. (本小题满分 12 分) 如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1), B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y2 的值及直线 AB 的斜率.

22. (本小题满分 12 分)

5

x2 y 2 ? ? 1 ,直线过点 M ( m, 0) 4 2 (1)若直线 l 交 y 轴于点 N,当 m=-1 时,MN 中点恰在椭圆 C 上,求直线 l 的方程;

已知椭圆 C:

(2)如图,若直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,当 m=-4 时,在 x 轴上是否存在点 p,使得△ PAB 为等边三角形?若存在,求出点 p 坐标;若不存在,请说明理由.

答 一、1-5ABCBD 6-10ABBDC 二、13. (1, 0). 14。

案 11-12BB

3 3

15。 y 2 ? 3x

16。

3 3

三、解答题: (共 70 分) 17.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 bn ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 . 【答案】 (Ⅰ) bn ?

1 . Sn

2 ; (Ⅱ)证明见解析,详见解析. n(n ? 1)

试题解析: (Ⅰ)因为数列 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 的等差数列 所以由等差数列的前 n 项和公式得,数列 {an } 前 n 项和为 S n ? 由 bn ?

1 2 1 n ? n 2 2

2 1 ,得 bn ? n(n ? 1) Sn 2 2 2 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?

6

? ??bn ? 所以 b1 ? b2 ? b3 ??


2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

2 ? 0 ,所以 b1 ? b2 ? b3 ?? ? ? ?bn ? 2 n ?1
3asin C-ccos A.

18.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = ( 1 )求 A. ( 2 )若 a=2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 【解析】(1)由 c ? 3a sin C ? c cos A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ? 0.

?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2. ? 由于 sin C ? 0, 所以
又 0 ? A ? ? ,故

A?

?
3.

1 S ? bc sin A ? 3 2 (2)△ABC 的面积 ,故 bc ? 4 .
而 a ? b ? c ? 2bc cos A ,故 b ? c ? 8 .
2 2 2 2 2

解得 b ? c ? 2 . 19 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中,底面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 AD // BC ,

?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD .若 PA ? AB ? BC ?
P

1 AD . 2

A

D

B

C

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E 的位置并证明, 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD .
7

又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC ? 所以 AC ? CD ?

1 AD , 2

2 AD , 所以 AC ? CD . 2

又因为 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . (Ⅱ)在 PA 上存在中点 E ,使得 BE / / 平面 PCD , 证明如下:设 PD 的中点是 F , 连结 BE , EF , FC , P

E A

F D

B

C

1 AD . 2 由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? , 1 所以 BC // AD .又 BC ? AD , 2 所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE // CF . 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE // 平面 PCD . (Ⅲ)设 G 为 AD 中点,连结 CG , 则 CG ? AD . 又因为平面 ABCD ? 平面 PAD , 所以 CG ? 平面 PAD . 过 G 作 GH ? PD 于 H , 连结 CH ,由三垂线定理可知 CH ? PD . 所以 ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.
则 EF // AD ,且 EF ?

8

P

H A G D

B

C

设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CG ? DG ? 1, DP ? 5 . 在 ?PAD 中,

1 GH DG ? ,所以 GH ? . PA DP 5
CG 6 ? 5 , cos ?GHC ? . GH 6

所以 tan ?GHC ?

即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为

6 . 6

20. 已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 , 曲线 C1 : ? (1)求曲线 C1 的普通方程;

? x ? 3cos ? ( ? 为参数) . ? y ? 2sin ?

(2)若点 M 在曲线 C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

【答案】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2) 5 . 9 4

x ? cos ? ? ? ? x ? 3cos ? ? 3 2 2 试题分析: (1)由 ? 得? ,代入公式 sin ? ? cos ? ? 1 可得 C1 普通方 y y ? 2sin ? ? ?sin ? ? ? ? 2
程; ( 2 )曲线 C 是 直线,其 直角坐标 方程为 x ? 2 y ? 10 ? 0 , 点 M 的 坐标可表 示为

(3cos ? , 2sin ? ) , 由 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 M 到 直 线 的 距 离 为

d?
值.

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

1 5cos(? ? ? ) ? 10 ,显然当 cos(? ? ? ) ? 1时 d 取得最小 5

9

x ? cos ? ? ? ? x ? 3cos ? ? x2 y 2 3 ? ?1 试题解析: (1)由 ? 得? ,代入 cos 2 ? ? sin 2 a ? 1 得 9 4 ? y ? 2sin ? ?sin ? ? y ? ? 2
(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0 设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

3 4 1 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? 5 5 5

9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5

21.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2, y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其 准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾 斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 2 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0). 2 2 ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y =4x,准 线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 y1-2 y2-2 kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 2 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y1=4x1,① 2 y2=4x2,② ∴ y1-2 y2-2 =- , 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 2 2 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2),

10

y1-y2 4 ∴kAB= = =-1. x1-x2 y1+y2

22.已知椭圆 C : (Ⅰ)若直线 l 交 y 轴于点 N,当 m=-1 时,MN 中点恰在椭圆 C 上,求直线 l 的方程; (Ⅱ)如图,若直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,当 m=-4 时,在 x 轴上是否存在点 p,使得△ PAB 为等边三角形?若存在,求出点 p 坐标;若不存在,请说明理由.

22.(Ⅰ)设点 N(0,n) ,则 MN 的中点为

所以直线 l 的方程为 (Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 P,使得△PAB 为等边三角形.设直线 l 为 x=ty-4,A(x1,y1) ,

B(x2,y2) ,

AB 中点为

AB 的中垂线为:

点P为

P 到直线 l 的距离 d=

11

12


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