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高中数学人教A版第选修1-1同步练习: 1.2 第1课时充分条件与必要条件


选修 1-1

第一章

1.2

第 1 课时

一、选择题 π 1.α≠ 是 sinα≠1 的( 2 A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] A π π [解析] α≠ ?/ sinα≠1,sinα≠1?α≠ ,故选 A. 2 2 2.(2013· 天津文,4)设 a、b∈R,则“(a-b)· a2<0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 因为 a2≥0,而(a-b)a2<0,所以 a-b<0,即 a<b;由 a<b,a2≥0,得到(a-b)a2≤0,所以(a -b)a2<0 是 a<b 的充分不必要条件.弄清楚条件和结论之间的关系是判断充分条件,必要条件的关键. 3.“a=-2”是“直线 l1:(a+1)x+y-2=0 与直线 l2:ax+(2a+2)y+1=0 互直垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 由 l1⊥l2,得 a(a+1)+2a+2=0, 解得 a=-1 或 a=-2, 故选 A. 4.(2014· 甘肃省金昌市二中期中)a、b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)为一次函 数”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B

[解析] ∵f(x)=(xa+b)· (xb-a)=x2a· b+x(|b|2-|a|2)-a· b, 当 f(x)为一次函数时, a· b=0 且|b|2-|a|2≠0, ∴a⊥b,当 a⊥b 时,f(x)未必是一次函数,因为此时可能有|a|=|b|,故选 B. 5.(2013· 浙江文,3)设 α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

[解析] 由 α=0 可以得出 sinα=0,cosα=1,sinα<cosα,但当 sin<cosα 时,α 不一定为 0,所以 α=0 是 sinα<cosα 的充分不必要条件,选 A. 6.(2014· 江西临川十中期中)已知平面向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则“m=1” 是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] ∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60° ,∴a· b=1×2×cos60° =1,(a-mb)⊥a?(a-mb)· a=0?|a|2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-ma· b=0?m=1,故选 C. 二、填空题 7.已知 p:x=3,q:x2=9,则 p 是 q 的________条件.(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不 充分又不必要) [答案] 充分不必要 [解析] x=3?x2=9,x2=9?/ x=3, 故 p 是 q 的充分不必要条件. 8.已知 a、b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的________条件. [答案] 充要 [解析] a>0 且 b>0?a+b>0 且 ab>0,a+b>0 且 ab>0?a>0 且 b>0,故填充要. 9.命题 p:sinα=sinβ,命题 q:α=β,则 p 是 q 的________条件. [答案] 必要不充分 [解析] sinα=sinβ?/ α=β,α=β?sinα=sinβ,故填必要不充分. 三、解答题 10.下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x=1; q:x-1= x-1; (2)p:-1≤x≤5; q:x≥-1 且 x≤5; (3)p:三角形是等边三角形; q:三角形是等腰三角形. [解析] (1)充分不必要条件 当 x=1 时,x-1= x-1成立; 当 x-1= x-1时,x=1 或 x=2. (2)充要条件 ∵-1≤x≤5?x≥-1 且 x≤5. (3)充分不必要条件 ∵等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定都是等边三角形.

一、选择题 11.“m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的充要条件是 3m+m(2m-1)=0, 解得 m =0 或 m=-1. ∴“m=-1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件. 12.“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 由函数 f(x)=x2-4a+3 在区间[2,+∞)上为增函数,得 2a≤2,即 a≤1,故选 B. 13.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 若 a=2, 则 ax+2y=0 即为 x+y=0 与直线 x+y=1 平行, 反之若 ax+2y=0 与 x+y=1 平行, a 则- =-1,a=2,故选 C. 2 14.“a=1”是“直线 y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] a=1?直线 y=kx+1,直线 y=kx+1 过点(0,1),又点(0,1)在圆 x2+y2=2 内部,故 a=1?直线 y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交,直线 y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交?/ a=1,故选 A. 二、填空题 15.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是 x2<1 的一个充分条件的所有 序号为________. [答案] ②③④ [解析] 由于 x2<1,即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 一定成立,②、③、④满足题意. 16.若条件 p:(x+1)2>4,条件 q:x2-5x+6<0,则 q 是 p 的________条件. [答案] 充分 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

[解析] 因为(x+1)2>4,所以 x<-3 或 x>1.又 x2-5x+6<0,所以 2<x<3,所以 q?p,即 q 是 p 的充分 条件. 17.已知数列{an},那么“对任意的 n∈N+,点 Pn(n,an),都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数 列”的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,即 an=2n+1,∴{an}为等差数列, 但是{an}是等差数列却不一定就是 an=2n+1. 三、解答题 18.求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2. [解析] (1)充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0, 方程 x2+mx+1=0 有实根, 设 x2+mx+1=0 的两根为 x1、x2, 由韦达定理知:x1x2=1>0,∴x1、x2 同号, 又∵x1+x2=-m≤-2,∴x1、x2 同为负根. (2)必要性:∵x2+mx+1=0 的两个实根 x1,x2 均为负,且 x1· x2=1, 需 Δ=m2-4≥0 且 x1+x2=-m<0,即 m≥2. 综上可知,命题成立.


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