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高一数学常考立体几何证明题及答案


1、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 B E

A

C

A 2、如图,在正方体

D1

D

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,
B1

1

AC // 平面 BDE 。 求证: 1

E

C
1

A

D

B 3、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC , 求证: AD ? 面 SBC .
A C S

C

D B

4、已知正方体

ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角线
AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1
A1

D1 B1

C1

的交点.

求证:(1) C1O∥面

D O A B

C

5、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证:

AC ? 平面B ' D ' DB ;
D1 6、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; E (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A A1 B1 F D G B C C1

2 EF ? AC 2 7、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 , ?BDC ? 90 ,
求证: BD ? 平面 ACD 8、如图,在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面

BDG .

9、如图,在正方体 (1)求证:

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.

AC 1 // 平面 BDE ; A1 AC ? 平面 BDE .

(2)求证:平面

10、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的 点. 求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.



11、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且
0

平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB . 12、如图 1,在正方体

? 平面 MBD. ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 1

13、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD.

14.(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH. 求证:截面 EFGH 是平行四边形.

15.(12 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=

2 a,如图. 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; 16.(12 分)(2009·浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为 AE, AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; 17.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD.

(2)平面 EFC⊥平面 BCD

. A E B H D

18、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 求证:EFGH 是平行四边形

D1

C1 B1

F C

G

20、 如图, 在正方体 求证:

ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点, A1
D O A

AC 1 // 平面 BDE 。

C B

21、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .

S

D A C B

M 是 PC 的中点,N 是 AB 上的点,AN ? 3 NB 25、 如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点,PA ? PB, CB ? 平面 PAB ,
P

求证: MN ? AB ;

M

C

A N

B

26、如图,在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、

C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

27、如图,在正方体 (1)求证:

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.

AC 1 // 平面 BDE ; A1 AC ? 平面 BDE .

(2)求证:平面

32、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面 ABC ⊥平面 BSC.

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ? 1、 证明: (1) AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ? 同理,
又∵ CE ? DE ? E ∴ AB ? 平面 CDE

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

2、证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵E为

AA1 的中点, O 为 AC 的中点

∴ EO 为三角形

A1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1
A1C 在平面 BDE 外 ∴ AC 1 // 平面 BDE 。
? BC ? AC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD

又 EO 在平面 BDE 内,

3、证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC

? SA ? BC

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 4、证明: (1)连结 ∵

AC 1 1 ,设 AC 1 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

∴A1C1∥AC 且 又

O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
∴C1O∥面

AB1D1

6、证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD 平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD.

// 1 AC ? E , F EG , FG AD , BC 2 7、证明:取 CD 的中点 G ,连 结 ,∵ 分别为 的中点,∴ EG
1 1 // 1 BD FG ? FG ? AC EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 2 2 2 ,又 AC ? BD, ∴ ,∴在 ?EFG 中,
∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD 8、证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ 又

D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E ,? 平面 D1EF ∥平面 BDG
9、证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 又

AA1 、 AC 的中点,? A1C ∥ EO

AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? A1C ∥平面 BDE 1 AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD

(2)∵

AC ? AA1 ? A ,? BD ? 平面 A1 AC , BD ? 平面 BDE ,? 平面 BDE ? 平面 A1 AC 又 BD ? AC ,
2 2 2 10、证明:在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ?DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30
0

11、证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG

且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
12、证明:连结 MO, ∴DB⊥平面

A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC, A1 A ? AC ? A ,

? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ A1O . A1 ACC1 ,而 AO 1
A1O 2 ? 3 2 3 a MO 2 ? a 2 2 , 4 .

设正方体棱长为 a ,则

在 Rt△

A1C1M 中,

A1M 2 ?

9 2 a 2 2 A O O ? M AO2 ? MO ? A1M 4 . ∵ 1 , ∴ 1



∵OM∩DB=O,∴

A1O ⊥平面 MBD.

13、 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF

DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF.

∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 14.证明:∵SC∥截面 EFGH,SC?平面 EFGH,SC? 平面 ASC,且平面 ASC∩平面 EFGH=GH, ∴SC∥GH. 同理可证 SC∥EF,∴GH∥EF. 同理可证 HE∥GF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 15.解:(1)证明:作 NP⊥AB 于 P,连接 MP.NP∥BC,

AP AN A1M ∴ = = ,∴MP∥AA1∥BB1,∴面 MPN∥面 BB1C1C. AB AC A1B MN? 面 MPN,∴MN∥面 BB1C1C. 16.解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD,从而 PQ∥平面 ACD.

17.证明:(1)在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、BD 的中点,∴EF∥AD. 又 AD? 平面 ACD,EF?平面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点,∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 EFC, 又∵BD? 平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD. 18.证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴

EH // BD, EH ?

1 BD 2

FG // BD, FG ?
同理,

1 BD 2 ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形

20 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵E为

AA1 的中点, O 为 AC 的中点

∴ EO 为三角形

A1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1
A1C
在平面 BDE 外

又 EO 在平面 BDE 内, ∴

AC 1 // 平面 BDE 。

考点:线面平行的判定 21 证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC

? BC ? AC ? SA ? BC

? BC ? 面 SAC ? BC ? AD
又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 考点:线面垂直的判定 25、证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点, ∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴

MQ ? 平面 PAB

∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ PA ? PB , ∴ PD ? AB ,又 AN ? 3NB ,

∴ BN ? ND [来源:学§科§网] ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB 26、证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ 又

D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E ,? 平面 D1EF ∥平面 BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) 27、证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 又

AA1 、 AC 的中点,? A1C ∥ EO

AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? A1C ∥平面 BDE 1 AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD

(2)∵

AC ? AA1 ? A ,? BD ? 平面 A1 AC , BD ? 平面 BDE ,? 平面 BDE ? 平面 A1 AC 又 BD ? AC ,
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 32、证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,则 AO BC,SO⊥BC, ⊥

2 ∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC= 2 a,SO= 2 a,
1 1 AO2=AC2-OC2=a2- 2 a2= 2 a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥平面
BSC. 考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)



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