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高中数学必修2第二章专题辅导二


挖井就要挖到水为止!

高中数学必修 2 第二章专题辅导二

垂直

1、 斜线和平面所成的角: 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 2、 二面角: (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则 两射

线所成的角叫做二面角的平面角. 3、垂直的定理 (1)直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.

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(2)直线与平面垂直的性质定理: ①如果一条直线与一个平面垂直,那么它就与平面内的任何一条直线垂直.

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②如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

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(3)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

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(4)平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.

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挖井就要挖到水为止!

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2015· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D, E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

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(2015· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

题型三 线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

如图所示, 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形, E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABCD; (2)设 M 为线段 C1C 的中点, 当 并说明理由. D1D 的比值为多少时, DF⊥平面 D1MB? AD

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题型四 线面角、二面角的求法 例4 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值.

已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC, SA=3,求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

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高中数学必修 2 第二章专题辅导二

1、 斜线和平面所成的角: 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 2、 二面角: (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则 两射线所成的角叫做二面角的平面角. 3、垂直的定理 (1)直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.

l?a ? ? l ?b ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? ? a ? b ? P? ?
(2)直线与平面垂直的性质定理: ①如果一条直线与一个平面垂直,那么它就与平面内的任何一条直线垂直.

a ? ?,b ? ? ? a ? b
②如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

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(3)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

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(4)平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.

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挖井就要挖到水为止!

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中,

∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2015· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D, E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. 证明 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,

所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE,
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挖井就要挖到水为止!
所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE. (2015· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 证明 (1)如图,在△PAD 中,

因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD, PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 题型三 线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 思维启迪:(1)因为两平面垂直与 M 点位置无关,所以在平面 MBD 内 一定有一条直线垂直于平面 PAD,考虑证明 BD⊥平面 PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到面 ABCD 的距离. (1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5,

∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
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又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD?面 ABCD,∴BD⊥面 PAD. 又 BD?面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD,

∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 如图所示, 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形, E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABCD; D1D (2)设 M 为线段 C1C 的中点, 当 AD 的比值为多少时, DF⊥平面 D1MB? 并说明理由. (1)证明 ∵E 为线段 AD1 的中点, F 为线段 BD1 的中点, ∴EF∥AB.∵EF?平面 ABCD,

AB?平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. (2)解 D 1D 当 AD = 2时,DF⊥平面 D1MB.

∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面 ABC,∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面 BB1D1D,∴AC⊥DF. ∵F,M 分别是 BD1,CC1 的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D= 2AD,∴D1D=BD.∴矩形 D1DBB1 为正方形. ∵F 为 BD1 的中点,∴DF⊥BD1.
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挖井就要挖到水为止!
∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面 D1MB. 题型四 线面角、二面角的求法 例4 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值. (1)解 在四棱锥 P—ABCD 中,

因 PA⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD, 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA, 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中,AB=PA,故∠APB=45° . 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45° . (2)证明 在四棱锥 P—ABCD 中,

因 PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, 故 CD⊥PA.由条件 CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 又 AE?平面 PAC,∴AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD. (3)解 过点 E 作 EM⊥PD,垂足为 M,连接 AM,如图所示.

由(2)知,AE⊥平面 PCD,AM 在平面 PCD 内的射影是 EM, 则 AM⊥PD.因此∠AME 是二面角 A—PD—C 的平面角. 由已知,可得∠CAD=30° . 设 AC=a,可得 PA=a,AD= 2 3 21 2 a,PD= a,AE= a. 3 3 2

在 Rt△ADP 中,∵AM⊥PD,∴AM· PD=PA· AD, PA· AD 则 AM= PD = 2 3 a· a 3 2 7 = a. 7 21 a 3

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AE 14 在 Rt△AEM 中,sin∠AME=AM= . 4 所以二面角 A—PD—C 的正弦值为 14 . 4

已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC, SA=3,求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值. 解:如图所示,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 SD;作 AG⊥SD 于点 G,连接 GB. ∵SA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角形, ∴BC⊥SA,BC⊥AD. ∴BC⊥平面 SAD. 又 AG?平面 SAD,∴AG⊥BC. 又 AG⊥SD,∴AG⊥平面 SBC. ∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. ∵AB=2,SA=3,∴AD= 3,SD=2 3. SA· AD 3 在 Rt△SAD 中,AG= = , SD 2 3 AG 2 3 ∴sin∠ABG=AB= = . 2 4

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