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2006第三届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答


第三届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2006 年 7 月 27 日, 8:00-12:00, 南昌) 一、 设 a ? b ? 0, f ( x ) ?
1 3 1

2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b

.证明:存在唯一的正数 x,使得
A G

f (x) ? (

a ? b3 2

)

3



二、 如图所示,在△ABC 中, ? A B C ? 90 ? , D , G 是 边 CA 上的两点,连接 BD,BG。过点 A,G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E,F,连接 CF。若 BE=EF,求证: ? A B G ? ? D F C 。

D F C

E B

三、 一副纸牌共 52 张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各 13 张,标号依次是 2, 3, ? ,1 0, J , Q , K , A ,其中相同花色、相邻 标号的两张牌称为“同花顺牌”,并且 A 与 2 也算是顺牌(即 A 可以当成 1 使用). 试确定,从这副牌中取出 13 张牌,使每种标号的牌都出现,并 且不含“同花顺牌”的取牌方法数。
3 四、 对任意正整数 n,设 a n 是方程 x ?
n

x n

? 1 的实数根,求证:

(1)

a n ?1 ? a n ;

(2)

?

1 ( i ? 1) a i
2

? an



i ?1

第二天
(2006 年 7 月 28 日, 8:00-12:00, 南昌) 五、 如图,在 ? A B C 中, ? A ? 60 ? , ? A B C 的内切圆 I 分 别切边 AB、AC 于点 D、E,直线 DE 分别与直线 BI、 CI 相交于点 F、G,证明: F G ?
1 2
B A

G

D

BC


I

F E

六、 求最小的实数 m 使得对于满足 a+b+c=1 的任意正实 , ( 数 a,b,c,都有 m ( a 3 ? b 3 ? c 3)? 6 a 2 ? b 2 ? c 2)? 1 。

C

七、 (1)求不定方程 m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) 的正整数解 ( m , n , r ) 的组数。 (2)对于给定的整数 k>1,证明:不定方程 m n ? n r ? m r ? k ( m ? n ? r ) 至 少有 3k+1 组正整数解 ( m , n , r ) 。

八、 对于周长为 n ( n ? N * ) 的圆 称满足如下条件的最小的正整数 Pn 为“圆剖分 , 数”:如果在圆周上有 Pn 个点 A1 , A2 , ? , A p ,对于1, 2, ? , n ? 1 中的每一个整
n

数 m,都存在两个点 Ai , A j (1 ? i ,

j ? Pn ) ,以 A i 和 A j

为端点的一条弧长等于
n

m;圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列 T n ? ( a1 , a 2 , ? , a P ) 称为“圆 剖分序列”。例如当 n=13 时,圆剖分 数为 P1 3 ? 4 ,如图所示,图中所标数字 为相邻两点之间的弧长,圆剖分序列为 T13 ? (1, 3, 2, 7 ) 或 (1, 2, 6, 4) 。求 P2 1 和 P3 1 , 并各给出一个相应的圆剖分序列。
1
3

1 4

2

7

2
6

答案
一、 【解法一】
1 1

令t ? (

a ? b3
3

)

3

,由 t ?

2(a ? b) x ? 2ab

2

4x ? a ? b [2( a ? b ) ? 4 t ] x ? t ( a ? b ) ? 2 ab
1 1

,得

? (1)

为证(1)有唯一的正数解 x,只要证, 2 ( a ? b ) ? 4 t ? 0 及 t ( a ? b ) ? 2 ab ? 0 , 即
2ab a?b
1 3 1

?(

a ? b3
3

) ?
3

a?b 2

? (2)

2

记 a ? u , b 3 ? v , u ? v , ,即要证
u ?v ?u?v? ?? ? ? 3 3 u ?v 2 ? 2 ? 2u v
3 3 3 3 3 3

? (3)

?u?v? 3 3 由于 ? u ? v ? ? ? ?2 u v ? 2 ?
3 3

?

uv
2

?

3

? 2u v
3

3

,即(3)左端成立。
2

u ?v ?u?v? 为证 ? ? ? 2 ? 2 ?
3

3

3

,即 ? u ? v ? ?
8

1

u ? uv ? v
2

,

2

?u

? v ? ? 4 (u ? u v ? v ) ,
2 2 2

即 3 ? u ? v ? ? 0 ,此为显然.故(3)成立,从而 x ?
2

t (a ? b) ? 2ab 2(a ? b ) ? 4t

即为所求。

【解法二】
f (x) ? 2(a ? b) x ? 2ab 4x ? a ? b ? 1 2 (a ? b) ? (a ? b)
2

2(4 x ? a ? b)
x? ??

在 (0, ? ? ) 上为严格单调增加 。据解法一(2)式知
1 1

的连续函数,而且 f (0 ) ?
1 1

2ab a?b

, lim f ( x ) ?

a?b 2

2ab a?b

?(

a3 ? b3 2

) ?
3

a?b 2

,故存在唯一的正数 x,使得 f ( x ) ? (

a3 ? b3 2

)

3



二、 【证法一】 作 GM⊥AB 于 M,设 AE 与 BG 的交点为 K,连接 KM。由 BE=EF,及 AE//GF 知, K 为 Rt△BGM 斜边 BG 上的中线,所以 BK=KG=MK, ? A B G ? ? B M K 。因为
B F ? A K ? 4 S ?ABK ? 2 S ?ABG ? A B ? M G

A M G

K

D F C

又 MG//BC,所以
? BC ? AM
BF BC AM AK

AB BC

?

AM MG

,故 AB ?MG
E B

,所以 B F ? A K ? B C ? A M , 。结合 ? K A B ? ? C B D ,知



?

△KAM ? △CBF,所以 ? A M K ? ? C F B ,于是 ? B M K ? ? C F D ,故 ?ABG ? ?DFC 。 【证法二】 作 R t ? A B C 的外接圆 w,延长 BD、AE 分别交 w 于 K、J。连接 BJ、CJ、KJ、FJ。易知 ? B A J ? ? K B C , 故 BJ=KC。于是四边形 BJCK 是等腰梯形,又 AJ 垂直平分 BF,故 BJ=FJ,故四边形 FJCK 是平行 四边形. 设 AE 与 BG 的交点为 M,FC 与 JK 的交 点为 N,则 M、N 分别是 BG 和 FC 的中点, 于是
AB AG ? sin ? M A G sin ? B A M ? sin ? JK C sin ? B K J ? FK CK ,

又 ? B A G ? ? F K C ,于是 ? B A G ? ? F K C ,所以 ? A B G ? ? D F C 。 三、 先一般化为下述问题:设 n ? 3 ,从 A ? ? a1 , a 2 ,? , a n ? , B ? ? b1 , b 2 , ? , b n ? ,
C ? ? c1 , c 2 , ? , c n ? , D ? ? d 1 , d 2 , ? , d n ? 这四个数列中选取

n 个项,且满足:

(i) 1, 2, ? , n 每个下标都出现; (ii) 下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标 n 与 1 视为相邻),其选取方 法数记为 x n ,今确定 x n 的运算式: 将一个圆盘分成 n 个扇形格,顺次编号为1, 2, ? , n ,并将 n 1 2 3 数列 A , B , C , D 各染一种颜色,对于任一个选项方案,如果 n-1 下标为 i 的项取自某颜色数列 则将第 i 号扇形格染上该颜 , 色。于是 x n 就成为将圆盘的 n 个扇形格染四色,使相邻格 不同色的染色方法数,易知, x1 ? 4 、 x 2 ? 1 2 、
x n ? x n ?1 ? 4 ? 3
n ?1

?n ? 3?
n ?1

? (1)

将(1)写作 ? ? 1 ? x n ? ? ? 1 ?
n

n ?1

x n ?1 ? ? 4 ? ? ? 3 ?



因此

? ? 1?

n ?1

x n ?1 ? ? ? 1 ?
3

n?2

xn?2 ? ? 4 ? ? ? 3 ? ?
2

n?2

;

? ? 1?
n n

x3 ? ? ? 1? x 2 ? ? 4 ? ? ? 3 ? ;
2

? ? 1?

2

x2 ? ? 4 ? ? ? 3 ?
n

相加得, ? ? 1 ? x n ? ? ? 3 ? ? 3 ,于是 x n ? 3 n ? 3 ? ? ? 1 ? ( n ? 2 ) 。 因此 x1 3 ? 31 3 ? 3 . 这就是所求的取牌方法数. 四、 由 a n3 ? (1)
0 ? a n ?1 ? a n ?
3 3

an n

? 1 ,得 0 ? a n ? 1 。

a n ?1 n ?1
2

?

an n

? a n ?1 ? a n ?
3 3 2

a n ?1 n

?

an n

? ( a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? a n ?1 a n ? a n ?

1 n

)

因为 a n2? 1 ? a n ? 1 a n ? a n2 ? (2) 因为 a n ? a n2 ?
? ?

1 n

? 0 ,故 a n ? 1 ? a n ? 0 ,即 a n ? 1 ? a n .

1? ? ? 1 ,所以 n?

an ?
2

1 an ? 1 n

?

1 1? 1 n

?

n n ?1



从而

1

? n ? 1?
n

2

? an
2

1 n ? n ? 1?
?


?

?


1

i ?1 n

? i ? 1?
1

ai

?i
i ?1

n

1

? i ? 1?

? ( i ? i ? 1) ? 1 ?
i ?1

n

1

1

1 n ?1

?

n n ?1

? an 。

?

i ?1

? i ? 1?

2

ai

? an .

五、 【证法一】 、 、、 分别连接 C F , B G, ID, IE, A I ,则 A D I E 四点共 圆。所以 ? ID E ?
1 ? A ,从而 ? B D F ? 9 0 ? ? 1 ?A ; 2 2 1 1 又 ? B IC ? 1 8 0 ? ? ( ? B ? ? C)? 9 0 ? ? ? A , 2 2 所以 ? B D F ? ? B IC 。
G

A

D F E I

又 ? D B F ? ? C B I ,得 ? F D B ? ? C IB 。所以
FB CB ? DB IB

B

C



又由 ? D B I ? ? F B C ,得 ? ID B ? ? C F B ,所以 C F ? B F ,从而
?FCG ?
FG sin ? F C G

1 2

? A ? 3 0 ? 。同理 B G ? G C
? BC

、 、 ,所以 B C F、 G 四点共圆,由此

,所以 F G ?

1 2

BC


180? ? ? A 2

【证法二】 因为 ? B IG ?
1 ( ? B ? ? C ) ,又因为 ? B D G ? ? A D E ? ? 1 2 (? B ? ? C ) , 2 、 、、 所以 B D I G

四点共圆,因此 ? B G C ? ? B D I ? 90 ? 。 、 、 同理 ? C F B ? 90 ? ,所以 B C F、 G 四点共圆。 又 ? FC G ? 90? ? ? FBC ? ? BC I ? 90? ?
1 2 F G ? B C sin ? F C G ? 1 2 BC (? B ? ? C ) ? 3 0?

,所以

.

六、 【解法一】 当 a=b=c ?
1 3

时,有 m ? 27 。下证不等式
27(a ? b ? c ) ? 6 (a ? b ? c ) ? 1
3 3 3 2 2 2

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。 因为对于 0 ? x ? 1 ,有
27 x ? 6 x ? 5 x ?
3 2

4 3

? 8 1 x ? 1 8 x ? 1 5 x ? 4 ? 0 ? (3 x ? 1) (9 x ? 4 ) ? 0
3 2 2

故 27 x3 ? 6 x 2 ? 5 x ? 所以

4 3

,0 ? x ? 1 。

27 a ? 6a ? 5a ?
3 2

4 3 4 3 4 3

2 7 b ? 6b ? 5b ?
3 2

27 c ? 6c ? 5c ?
3 2

把上面三个不等式相加,得
27(a ? b ? c ) ? 6 (a ? b ? c ) ? 1 .
3 3 3 2 2 2

所以,m 的最小值为 27。 【解法二】 当 a=b=c ?
1 3

时,有 m ? 27 。下证不等式
27(a ? b ? c ) ? 6 (a ? b ? c ) ? 1
3 3 3 2 2 2

对于满足 a+b+c=1 的任意正实数 a,b,c 都成立。

因为 ( a ? b ) 2 ( a ? b ) ? 0 ,所以 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? a b 2 ,同理, 3 3 2 2 3 3 2 2 b ? c ? b c ? bc , c ? a ? c a ? ca , 于是
2 ( a ? b ? c ) ? a b ? b c ? c a ? a b ? b c ? ca
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

3( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? a b ? b c ? c a ? a b ? b c ? ca ? ( a ? b ? c )( a ? b ? c )
2 2 2

?a ?b ?c
2 2

2

所以
6 (a ? b ? c ) ? 1 ? 6 (a ? b ? c ) ? (a ? b ? c)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 6 (a ? b ? c ) ? 3 (a ? b ? c ) ? 9 (a ? b ? c )
2 2 2

? 27 (a ? b ? c )
3 3 3

所以,m 的最小值为 27. 七、 (1) 若 m , n , r ? 2 ,由 m n ? 2 m , nr ? 2 n , m r ? 2 r 得
m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) ,

所以以上不等式均取等号,故 m ? n ? r ? 2 。 若1 ? { m , n , r } ,不妨设 m=1,则 nr ? n ? r ? 2(1 ? n ? r ) ,于是 ( n ? 1)( r ? 1) ? 3 , 所以{ n ? 1, r ? 1} ? {1, 3} ,故 { n , r } ? {2, 4} ,{ m , n , r } ? {1, 2, 4} ,这样的 解有 3! ? 6 组。 所以,不定方程 m n ? nr ? m r ? 2( m ? n ? r ) 共有 7 组正整数解。 (2) 将 m n ? n r ? m r ? k ( m ? n ? r ) 化为
[ n ? ( k ? m )][ r ? ( k ? m )] ? k ? km ? m
2 2


k 2

n ? k ? m ? 1, r ? k ? km ? m ? k ? m
2 2

满足上式,且 m ? 1, 2, ? ,[ ] 时,
k

0? m ? n? r。
k

为偶数时,{ m , n , r } ? {l , k ? l ? 1, k 2 ? kl ? l 2 ? k ? l },其中 l ? 1, 2, ? , 给
2

出了不定方程的 3 k 组正整数解。
k

为奇数时 { m , n , r } ? {l , k ? l ? 1, k 2 ? kl ? l 2 ? k ? l }, , 其中 l ? 1, 2, ? ,
k ?1 2

k ?1 2

给出了不定方程的 3 ( k ? 1) 组正整数解, m , n , r 中有两个 为k 2 ? k
k ?1 2 ?( k ?1 2 ) ?k ?
2

,另一个

k ?1 2

?

( k ? 1)(3 k ? 1) 4

的情况给出了不定方

程的 3 组正整数解; 而 m ? n ? r ? k 亦为不定方程的正整数解.

故不定方程 m n ? n r ? m r ? k ( m ? n ? r ) 至少有 3k+1 组正整数解。 八、 由于 k 个点中,每两个点间可得一段优弧和一段劣弧,故 至多可得 k ( k ? 1) 个弧长值。当 k ( k ? 1) ? 2 0 时,则 k ? 5 ;而 当 k ( k ? 1) ? 3 0 时,则 k ? 6 。另一方面,在 k ? 5 时,可以给 出剖分图所以, P2 1 ? 5 ,T 2 1 ? (1, 3,1 0, 2, 5) .对于 n=31,在 k=6 时,类似可给出剖分图
1 5 2 7
13 1 2
10 1 3 2

1
5 3

2

10

1 3 14 6
7

1 14 7

5 4 6
8

3 5 2 4 2

12

4

所以, P3 1

? 6 , T3 1 ? (1, 2, 7 , 4,1 2, 5) 、 (1, 2, 5, 4, 6,1 3) 、 (1, 3, 2, 7 , 8,1 0 ) 、

(1, 3, 6, 2, 5,1 4 )

或 (1, 7 , 3, 2, 4,1 4 ) 等。


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