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高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法习题课练习新人教A版5解析


3.2

第 3 课时

一元二次不等式解法(习题课)

A 级 基础巩固 一、选择题 1.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( A.{x|x>1} C.{x|x≥1 或 x=-2} 解析:(x-1) x+2≥0, 所以?
? ?x-1≥0, ?x+2≥0 ?

)

B.{x|x≥1} D.{x|x≤-2 或 x=1}

或 x=-2,

? x≥1 或 x=-2,故选 C. 答案:C 2.若集合 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4}
2 2

)

B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解析:因为 ax -ax+1<0 无解,当 a=0 的显然正确;
? ?a>0, ? ?a>0, 当 a≠0 时,则? ?? 2 ? 0≤a≤4. ?Δ ≤0 ? ?a -4a≤0 ?

综上知,0≤a≤4.选 D. 答案:D 3.已知集合 M=?x?
? ?

?x+3<0? ?,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}等于( ?x-1 ?
B.M∪N D.?R(M∪N)

)

A.M∩N C.?R(M∩N)

解析:因为 M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3}, 所以 M∪N={x|x<1},故?R(M∪N)={x|x≥1},选 D. 答案:D
? ? 1? x 4.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1或x> ?,则 f(10 )>0 的解集为 2? ? ?

(

) A.{x|x<-1 或 x>lg 2} C.{x|x>-lg 2} B.{x|-1<x<lg 2} D.{x|x<-lg 2}

? ? 1? x 解析:由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为?x?-1<x< ?.而 f(10 )>0,所 2? ? ?

1

1 1 x 以-1<10 < ,解得 x<lg ,即 x<-lg 2. 2 2 答案:D 5.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x +(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值 范围是( ) B.x<1 或 x>3 D.x<1 或 x>2
2 2 2

A.1<x<3 C.1<x<2

解析:f(x)=x +(a-4)x+4-2a>0,a∈[-1,1]恒成立? (x-2)a+x -4x+4>0,a ∈[-1,1]恒成立.
?(x-2)×(-1)+x -4x+4>0, ? 所以? 2 ?(x-2)×1+x -4x+4>0, ?
2

解得 3<x 或 x<1.选 B. 答案:B 二、填空题 6.若不等式(a -1)x -(a-1)x-1<0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是________.
2 2

? 3 ? 答案:?- ,1? ? 5 ?
7. 已知关于 x 的不等式 解析:由于不等式 的根,所以 a=-2. 答案:-2 8.关于 x 的方程 +x+m-1=0 有一个正实数根和一个负实数根,则实数 m 的取值范 围是________.
? ? ?m>0, ?m<0, x2 解析: 若方程 +x+m-1=0 有一个正实根和一个负实根, 则有? 或? m ?m-1<0, ? ?m-1>0. ?

ax-1 ? 1 ? 则 a=________. <0 的解集是(-∞, -1)∪?- ,+∞?, x+1 ? 2 ?

ax-1 1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?- ,+∞?,故- 应是 ax-1=0 x+1 2 ? 2 ?

x2 m

所以 0<m<1 或?. 答案:(0,1) 三、解答题 9.已知一元二次不等式(m-2)x +2(m-2)x+4>0 的解集为 R.求 m 的取值范围. 解:因为 y=(m-2)x +2(m-2)x+4 为二次函数,所以 m≠2. 因为二次函数的值恒大于零,即(m-2)x +2(m-2)x+4>0 的解集为 R.
? ?m-2>0, ? ?m>2, 所以? 即? 2 ?Δ <0, ?4(m-2) -16(m-2)<0, ? ? 2
2 2 2

解得:?

? ?m>2, ? ?2<m<6.

所以 m 的取值范围为{m|2<m<6}. 10.已知 f(x)=-3x +a(6-a)x+3,解关于 a 的不等式 f(1)≥0. 解: f(1)=-3+a(6-a)+3=a(6-a), 因为 f(1)≥0, 所以 a(6-a)≥0, a(a-6)≤0, 方程 a(a-6)=0 有两个不等实根 a1=0,a2=6, 由 y=a(a-6)的图象,得不等式 f(1)≥0 的解集为{a|0≤a≤6}. B 级 能力提升 1.若实数 α ,β 为方程 x -2mx+m+6=0 的两根,则(α -1) +(β -1) 的最小值为 ( ) A.8 B.14 49 C.-14 D.- 4
2 2 2 2 2

解析:因为 Δ =(-2m) -4(m+6)≥0, 所以 m -m-6≥0,所以 m≥3 或 m≤-2. (α -1) +(β -1) =α +β -2(α +β )+2=(α +β ) -2α β -2(α +β )+2= 2 ? 3? 49 2 2 (2m) -2(m+6)-2(2m)+2=4m -6m-10=4?m- ? - ,因为 m≥3 或 m≤-2,所以当 m 4 ? 4? =3 时,(α -1) +(β -1) 取最小值 8. 答案:A 2.有纯农药液一桶,倒出 8 升后用水补满,然后又倒出 4 升后再用水补满,此时桶中 的农药不超过容积的 28%,则桶的容积的取值范围是________. 解析:设桶的容积为 x 升,那么第一次倒出 8 升纯农药液后,桶内还有(x-8)(x>8) 升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度为 纯农药液为
2 2 2 2 2 2 2 2

x-8 .第二次又倒出 4 升药液,则倒出的 x x

4(x-8)? 4(x-8) ? 升,此时桶内有纯农药液?x-8- ?升.

x

?

?

4(x-8) 依题意,得 x-8- ≤28%·x.

x

由于 x>0,因而原不等式化简为 9x -150x+400≤0, 即(3x-10)(3x-40)≤0. 10 40 解得 ≤x≤ . 3 3 40 又 x>8,所以 8<x≤ . 3

2

? 40? 答案:?8, ? 3? ?
3

3. 已知关于 x 的一元二次方程 x +2mx+2m+1=0.若方程有两根, 其中一根在区间(- 1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围. 解:设 f(x)=x +2mx+2m+1,根据题意,画出示意图,由图分析可得,
2

2

f(0)=2m+1<0, ? ?f(-1)=2>0, m 满足不等式组? f(1)=4m+2<0, ? ?f(2)=6m+5>0.
5 1 解得- <m<- . 6 2

4



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