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数学归纳法及其应用举例


数学归纳法及其应用举例

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分







得分

阅卷人

一、选择题(共 49 题,题分合计 245 分) 选择题(

1 1 1 n 1.用数学归纳法证明:"1+ 2 + 3 +…+ 2 1 <n(n>1)"时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是
A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1

2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分

成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2 中,正确的是 A.①与② B.①与③ C.②与③ D.只有③

3.某个命题与自然数m有关,若m=k(k∈N)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命

题不成立,那么可推得 A.当m=6时该命题不成立 C.当m=4时该命题不成立 B.当m=6时该命题成立 D.当m=4时该命题成立

第 1 页,共 16 页

1 1 1 1 + + +L+ 2n (n∈N),那么f(n+1)-f(n)等于 4.设f(n)= n n + 1 n + 2 1 A. 2n + 1 1 B. 2n + 2 1 1 C. 2n + 1 + 2n + 2 1 1 D. 2n + 1 - 2n + 2

5.用数学归纳法证明1+a+a +…+

2

=

(n∈N,a≠1)中,在验证n=1时,左式应为

A.1

B.1+a

C.1+a+a2
n n

D.1+a+a2+a3
k+1

6.用数学归纳法证明"5 -2 能被3整除"的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5

-2 k+1变形为

A.(5k-2 k)+4×5 k -2 k

B.5(5 k -2 k)+3×2 k

C.(5 k -2 k)(5-2)

D.2(5 k -2 k)-3×5 k

7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增

加 A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个

8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k≥3)条,则凸k+1边形的对角线条数为

A.f(k)+k

B.f(k)+k+1

C.f(k)+k-1

D.f(k)+k-2

9. 用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=

的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等

于 A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+1

10.下面四个判断中,正确的是

A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N),当n=1时恒为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N),当n=1时恒为1+k

C.式子

…+

(n∈N),当n=1时恒为

D.设f(x)=

(n∈N),则f(k+1)=f(k)+

1 x n+ 2 2 n+1 11.用数字归纳法证1+x+x +…+x = 1 x (x≠1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3

第 2 页,共 16 页

12.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是

A.1

B.1+3

C.1+2+3

D.1+2+3+4
4n+2

13.用数学归纳法证明"当n是非负数时,3

+52n+1能被14整除"的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形

为 A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25

1 1 1 1 n n(n + 1) = n + 1 (n∈N)时,从"n=k到n=k+1",等式左边需增添的项是 14.用数学归纳法证明 1 2 + 2 3 + 3 4 +……+ 1 k (k + 1) A. 1 1 + k ( k + 1) (k + 1)(k + 2) B. 1 (k + 1)(k + 2) C. 1 k ( k + 2) D.

15. 利用数学归纳法证明不等式"

1+

1 1 1 + +L+ n <n 2 3 2 1 ,(n≥2,n∈N)"的过程中,由"n=k"变到"n=k+1"时,左边增

加了 A.1项 B.k项 C.2k-1项
n n

D.2k项
k+1

16.用数学归纳法证明"5 -2 能被3整除"的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5

-2k+1变形为

A.(5k-2k)+4×5k-2k

B.5(5k-2k)+3×2k

C.(5-2)(5k-2k)

D.2(5k-2k)-3×5k

17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为

A.f(k)+1

B.f(k)+k

C.f(k)+k+1

D.kf(k)

18.已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是

A.P(k)对k=2004成立 C.P(k)对每一个正偶数k成立

B.P(k)对每一个自然数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立

1 1 1 13 + +L+ > ( n ≥ 2) 2n 24 19.用数学归纳法证明: n + 1 n + 2 ,从k到k+1需在不等式两边加上 1 2(k + 1) A. f ( n) = 1 + 1 1 + B. 2k + 1 2k + 2 1 1 C. 2k + 1 2k + 2 1 1 D. 2k + 1 k + 1

20.设

1 1 +L+ 2 n ,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为
C.2项 D.1项
n 3

A.2k+1项

B.2k项

21.欲用数学归纳法证明:对于足够大的自然数n,总有2 >n ,n0为验证的第一个值,则

A.n0=1

B.n0为大于1小于10的某个整数

C.n0≥10

D.n0=2

第 3 页,共 16 页

2 22.某同学回答"用数字归纳法证明 n + n <n+1(n∈N)"的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假

设n=k时有

k (k + 1)

<k+1那么当n=k+1时,

(k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 3k + 2 < k 2 + 4k + 4

=(k+1)+1,所以当

n=k+1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(n∈N),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于 A.当n=1时,验证过程不具体 C.从k到k+1的推理不严密 B.归纳假设的写法不正确 D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

23.平面上有k(k>3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数

为 A.k个 B.k+2个 C.2k个 D.2k+2个

24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k>3),则凸k+1边形的对角线条数为

A.f(k)+k

B.f(k)+k+1

C.f(k)+k-1

D.f(k)+k-2

25.平面内原有k条直线,它们将平面分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线将平面分成的区域

最多会增加 A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+1个

26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成

A.2n部分

B.n2部分

C.2n-2部分

D.n2-n+2部分

27.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,这n个圆把平面分成f(n)个部

分,则满足上述条件的n+1个圆把平面分成的部分f(n+1)与f(n)的关系是 A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2n
n

C.f(n+1)=f(n)+n+1

D.f(n+1)=f(n)+n+2

28.用数学归纳法证明不等式 2

> n 2 成立时, n 应取的第一个值为

A.1

B.3

C.4

D.5

29.若

f ( n) =

1 1 1 1 + + + …… + n 2 3 4 2 1 ,则 f (k + 1) f ( k ) 等于 1 1 1 + k + k +1 k 2 +1 2 1 B. 2 1 1 1 + k + …… + k +1 k 2 +1 2 1 D. 2

1
A. 2
k +1

1

1 1 + k +1 k 2 1 C. 2

30.设凸n边形的内角和为f (n),则f (n+1) - f (n) 等于

A. n π

B. (n 2) π

C. π

D. 2 π

第 4 页,共 16 页

31.用数学归纳法证明不等式"

1+

1 1 1 127 + + L + n 1 > 2 4 64 成立",则n的第一个值应取 2

A.7

B.8

C.9

D.10

32.

n→∞

lim [

1 1 1 1 + + +L+ ] 1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n + 1) 等于

1 A. 4

1 B. 3

2 C. 3

D. 1

a n +1 b n +1 =2 n→∞ a n + b n 33.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是

lim

A.0<b≤2

B.0<b<2

C.b≥2

D.b>2
n n

34.利用数学归纳法证明"对任意偶数n,a -b 能被a+b整除"时,其第二步论证,应该是

A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立 B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立 C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立 D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立
35. 用数学归纳法证明"4
2n-1

+3n+1(n∈N)能被13整除"的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的

是 A.16(42k-1+3k+1)-13×3k+1 B.4×42k+9×3k D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
n

C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1

36.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2 ×1×3×…×(2n-1)(n∈N)时,从"

"两边同乘以一个

代数式,它是

A.2k+2

B.(2k+1)(2k+2)

2k + 2 C. k + 1

(2k + 1)(2k + 2) k +1 D.

1 37.用数学归纳法证明某命题时,左式为 2 +cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α(α≠kπ,k∈Z,n∈N),在验证n=1时,左边所
得的代数式为

1 A. 2

1 B. 2 +cosα

1 C. 2 +cosα+cos 3α
n

1 D. 2 +cosα+cos 3α+cos 5α

38.用数学归纳法证明"(n+1)(n+2)…(n+n)=2 13…(2n-1)"时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以

第 5 页,共 16 页

A.(k+1+k+1)

B.(k+1+k)(k+1+k+1)

(k + 1 + k + 1) k +1 C.

(k + 1 + k )(k + 1 + k + 1) k +1 D.

1 1 1 1 39.设Sk= k + 1 + k + 2 + k + 3 +……+ 2k ,则Sk+1为 Sk + 1 2k + 2 1 1 2k + 1 2k + 2 Sk + 1 1 + 2k + 1 2 k + 2 1 1 2k + 2 2k + 1

A.

B.

C.

Sk +

D.

Sk +

1 1 1 1 1 + 40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- 2 3 4 +…+ 2n 1 2n ,从"n=k到n=k+1",应将左边加上 1 A. 2k + 1 1 1 B. 2k 1 2k + 4
C.
n

1 2k + 2
n

1 1 D. 2k + 1 2k + 2

41.用数学归纳法证明"当n为正奇数时,x +y 能被x+y整除"时,第二步应是

A.假设n=k(k∈N)时命题成立,推得n=k+1时命题成立 B.假设n=2k+1(k∈N)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立 C.假设k=2k-1(k∈N)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立 D.假设nk(k1,k∈N)时命题成立,推得n=k+2时命题成立

42.设p(k):1+

1+

1 1 1 1 + 2 +L+ k ≤ + k 2 2 2 2 (k N),则p(k+1)为

1+
A.

1 1 1 1 1 + + L + k + k +1 ≤ + k + 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 + +L+ k + k ≤ + k +1 2 3 2 2 +1 2 1 1 1 1 1 1 + +L+ k + k + L + k +1 ≤ + k + 1 2 3 2 2 +1 2 + 2 2

1+
B.

1+
C.

D.上述均不正确
43.k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱有对角面的个数为

A.2f(k)

B.k-1+f(k)

C.f(k)+k

D.f(k)+2

44.已知

f ( n) =

1 1 1 + + …… + n +1 n + 2 3n + 1 ,则 f ( k + 1) 等于
第 6 页,共 16 页

f (k ) +
A.

1 3(k + 1) + 1

f (k ) +
B.

1 3k + 2 1 1 3k + 4 k + 1

f (k ) +
C.

1 1 1 1 + + 3k + 2 3k + 3 3k + 4 k + 1

f (k ) +
D.

1 1 2n + 1 α + cos α + cos 3α + …… + cos(2n 1)α = sin sin α 2 45.用数学归纳法证明 2 cos 2n 1 α 2 (α ≠ nπ,n ∈ N )

,在验证n=1等式成立时,左边计算所得的项是

1 A. 2

1 + cos α B. 2

1 + cos α + cos 3α C. 2

1 + cos α + cos 3α + cos 5α D. 2

46.用数学归纳法证明某不等式,其中证 n

= k + 1 时不等式成立的关键一步是:

( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) + ( k + 2)( k + 3) > +( 3 3 2 ( k + 2) D. 3

)>

( k + 2)( k + 3) 3 ,括号中应填的式子是

A. k + 2
47.对于不等式

B. k + 3

C. k + 2

n 2 + n ≤ n + 1 (n ∈ N) ,某人的证明过程如下:1° 当 n = 1 时, 12 + 1 ≤ 1 + 1 不等式成立。 2° 假
时 不 等 式 成 立 , 即



n = k ( k ∈ N)

k 2 + k < k +1





n = k +1





(k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 3k + 2 < ( k 2 + 3k + 2) + k + 2 = (k + 2) 2 = (k + 1) + 1
A.过程全都正确 C.归纳假设不正确 。∴ 当 n = k + 1 时,不等式成立。上述证法 B. n = 1 验得不正确 D.从 n = k 到 n = k + 1 的推理不正确

48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,

该命题不成立,那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 C.当n=4时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 D.n=4时该命题成立

2 49.利用数学归纳法证明不等式" n + n < n + 1 "时,由"假设n=k时命题成立"到"当n=k+1时",正确的步骤是

第 7 页,共 16 页

A. B. C. D.

(k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 3k + 2 < k 2 + 4k + 4 = k + 2 (k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 3k + 2 < (k + 2) 2 ( k + 2) < k + 2 (k + 1) 2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) < (k + 2) 2 = k + 2

(k + 1) 2 + (k + 1) = k 2 + 3k + 2 = (k 2 + k ) + 2k + 2 < (k + 1) 2 + 2k + 2 = (k + 2) 2 1 < (k + 2) 2 = k + 2

得分

阅卷人

二、填空题(共 9 题,题分合计 36 分) 填空题(

1.用数学归纳法证明:当n∈N,1+2+2 +2 +…+2

2

3

5n-1

是31倍数时,当n=1时,原式为

___________________.从n=k到n=k+1时需增添的项是_______________________.

1 1 1 n 2.用数学归纳法证明1+ 2 + 3 +…+ 2 1 <n(n>1),在验证n=2成立时,左式是____________________. 1 n +1 + 1 n + 2 +…+ 1 2n > 23 24 中 , 当 "n = kn = k + 1 时 " , 不 等 式 左 边 增 加 的 项 是

3. 不 等 式

___________________,少掉的项是________________.
4.平面上原有k个圆,它们的交点个数记为f(k),则增加第k+1个圆后,交点个数最多增加_________个. 5.用数学归纳法证明

n + ( n + 1) + (n + 2) + …… + (3n 2) = (2n 1) 2 ,从 n = k 到 n = k + 1 一步时,等式两边应增

添的式子是____________________.

an + bn a+b n ≥( ) 2 2 6.用数学归纳法证明 (a,b是非负实数,n∈N+)时,假设n=k ak + bk a+b k ≥( ) 2 2 时不等式 (*)成立,再推证n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式
__________________.
7. 用数学归纳法证明

3 4 n +1 + 5 2 n +1

(n ∈ N ) 能被14整除时,当 n = k + 1 时,对于 3 4 ( k +1)+1 + 5 2 ( k +1) +1 应变形为
第 8 页,共 16 页

________________________.
8.用数学归纳法证明

2 n +1 ≥ n 2 + n + 2 (n ∈ N ) 时,第一步验证为

_______________________________________________________________________________.

9.用数学归纳法证明

cos x cos 2 x cos 4 x …… cos( 2 n 1 x) =

sin( 2 n x) ( n ∈ N) 2 n sin x 时,当 n = k + 1 时,应证明的等式

为__________________.

得分

阅卷人

三、解答题(共 36 题,题分合计 362 分) 解答题(

1.已知数列{an}的前n项和为Sn,是否存在a,b,c使得an=an +bn+c,且满足a1=1,3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?

2

试证明你的结论.
2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f(n)=n -n+2
2

个部分.

an + 2 = 2S n 3.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并对一切自然数n有, 2
(1)写出数列前3项; (2)求数列{an}的通项公式(予以证明).

1 1 1 1 , , , …, … ,… … 1 2 2 3 3 4 n(n + 1) 4.已知数列 计算S1 、S2、S3由此推测Sn 的公式,然后用数学归纳法证明.
5.求最大的正整数m,使得f(n)=(2n+7)3 +9对任意的正整数n,都能被m整除,并证明你的结论.
n

1 1 1 1 1 1 1 1 6. 当n∈N时,Sn=1- 2 + 3 - 4 +…+ 2n 1 - 2n ,Tn= n + 1 + n + 2 +…+ 2n .对于相同的n,试比较Sn与Tn的大小关系,并
证明你的结论.

x 7.已知函数f(n)= 2 -2 x +2(n≥4)

第 9 页,共 16 页

(1)试求反函数f-1(n),并指出其定义域;

1 (2)如果数列{an}(an≥0)中a1=2,前n项和为Sn(n∈N)且Sn= 2 f-1(Sn-1),求{an}的
通项公式;

(3)求

n →∞

lim

an an+2
2 a n +1

的值.
2

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,是否存在a,b,c使得an=an +bn+c,且满足a1=1,3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?

试证明你的结论.
9.已知:x>-1且x≠0,n∈N,n≥2求证:(1+x) >1+nx. 10.求证:二项式x -y (n∈N)能被x+y整除. 11.是否存在常数a,b使等式
2n 2n n

1 1n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)3+(n-1)2+n1= 6 n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立,并证明你的结论.
2 x n ( x n + 3) 2 3 x n + 1 (n=1,2,3……).试证:数列{x }或者对任意的自然数n都满足x <x ,或者对任意 12.已知x1>0,x1≠1,且xn+1= n n n+1

的自然数n都满足xn+1<x.

n(n + 1) 2 13. 是否存在常数abc,使得等式12 +23 +……+n(n+1) = 12 (an +bn+c)对一切自然数n成立?并证明你的结
2 2 2

论.

1
14.证明不等式:1+

2

+

1 3

+L+

1 n

<2 n
(n∈N).

15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点

求证:这n条直线 (1)彼此分成n2段;

1 2 ( n + n + 2) (2)把平面分成 2 个部分.
16.用数归纳法证明(3n+1)7 -1是9的倍数
n n

(n∈N).

17.用数学归纳法证明(x+3) -1能被(x+2)整除. 18.用数学归纳法证明:1+2+3+…+2 n=n(2n+1)( n∈N) . 19.下列所给条件,写出数列{an}的前四项,猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
第 10 页,共 16 页

已知a1=1,Sn= n2an (n≥2).
20.下列所给条件,写出数列{an}的前四项,猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.

已知a1=1,且an、an+1、2a1成等差数列.
21.对于任意自然数n,n +11n能被6整除. 22.已知数列{bn}是等差数列,
3

b1 = 1 , b1 + b2 + …… + b10 = 145 ,

(1)求数列{bn}的通项.

a n = log a (1 +
(2)设数列{an}的通项 大小,并证明你的理论.
23.用数学归纳法证明

1 1 ) log a bn +1 bn (其中 a > 0且a ≠ 1 )记S 是数列{a }的前n项和,试比较S 与 3 的 n n n

已知:

0 < a < 1, x > 0, y > 0, n ∈ N, 1 1 求证 : log a n [ x + (2 n 1) y ] ≤ n [log a x + ( 2 n 1) log a y ] 2 2 设数列{a n }满足关系式a1 = 2 p, a n = 2 p
24.

p2 其中p为不等于零的常数, a n 1

证明 : p不在数列{a n }中. an = 1 + 1 1 1 + + L + (n ∈ N + ) a + a 2 + L + a n 1 = g (n)(a n 1) 对大于1的 2 3 n ,是否存在关于n的整式g(n)使 1

25.设

一切正整数n都成立?并证明你的结论.
26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,

(1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以证明.

n(n + 1) +1 2 (2)求证:这n条直线把平面分成 个区域. an =
27.数列{an}中,

1 (n ∈ N) (n + 1) 2 ,设 f (n) = (1 a1 )(1 a 2 ) … (1 a n ) .

(1)试求出 f (1),f (2),f (3) 的值; (2)猜想出 f (n) ,并用数学归纳法证明.
28.是否存在常数a、b、c使等式

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1 2 2 + 2 3 2 + L + n(n + 1) 2 =

n(n + 1) (an 2 + bn + c) 12 对一切自然数n都成立,并证明结论.
S n= 1 1 (a n + ) 2 a n ( n∈N),试由a ,a ,a 的值推测a 的 1 2 3 n

29.在各项都为正数的数列{an}中,其前n项和为Sn,且

计算公式,并证明之.
30.已知f(x)=2x+b,f1 (x)= f [f(x)],fn (x)= fn-1 [f(x)] (n∈N,n≥2),试求a<b,x表示的f1 (x),f2 (x),f3 (x)的式子,

并推测fn (x)以b,x,n表示的式子,证明你的结论.
31.设函数

f ( x1 ) f ( x 2 ) < x1 x 2

, f ( 2) = 2

若数列 {a n } 满足 a1 = 1 , f (a n ) = 2a n +1 a n 求证:当 n ∈ N时, a n < a n +1 < 2
32.用数学归纳法证明

(n ≥ 1)

an + bn a+b 2 ≥( ) 2 2 (n∈N)
33.用数学归纳法证明|sinnθ|≤n|sinθ|.

34.

已知An = (1 + lg x) n , Bn = 1 + n lg x +

n(n 1) 2 1 lg x.其中n ∈ N, n ≥ 3, x ∈ ( ,+∞), 2 10

试比较An与Bn的大小,并说明理由.
35.已知等差数列{an}的第2项为8,前10项的和为185.

(1)求数列{an}的通项公式. (2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,...,第2n项,......按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和 S n. (3)设Tn= n(an +9),试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.

1 (n ∈ N*) (n + 1) 2 36.数列{an}的通项公式an= ,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)……(1-an).
(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表达式; (2)用数字归纳法证明你的结论.

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数学归纳法及其应用举例答案
一、选择题(共 49 题,合计 245 分) 选择题(
1.952答案:C 2.953答案:C 3.1015答案:C 4.1019答案:D 5.1063答案:C 6.1065答案:B 7.1066答案:B 8.1067答案:C 9.1081答案:B 10.1082答案:C 11.1083答案:C 12.1085答案:C 13.1091答案:C 14.1092答案:C 15.1098答案:D 16.1100答案:B 17.1101答案:B 18.1102答案:D 19.1103答案:C 20.1104答案:B 21.1107答案:C 22.1108答案:D 23.1109答案:C 24.1110答案:C 25.1111答案:B 26.1113答案:D
第 13 页,共 16 页

27.1114答案:B 28.1120答案:D 29.1121答案:D 30.1123答案:C 31.8059答案:B 32.8060答案:B 33.8061答案:B 34.1084答案:D 35.1088答案:A 36.1089答案:D 37.1090答案:B 38.1093答案:D 39.1094答案:C 40.1095答案:D 41.1096答案:C 42.1105答案:C 43.1106答案:B 44.1122答案:C 45.1124答案:B 46.1125答案:C 47.1126答案:D 48.1086答案:C 49.1099答案:D

二、填空题(共 9 题,合计 36 分) 填空题(
1.954答案:1+2+2 +2 +2
2 3 4

2 5n + 25 n+1 + L + 2 5n+4
2.1068答案:

1+

1 1 11 + = 2 3 6

1 1 1 + , 3.1069答案: 2k + 1 2k + 2 k + 1
第 14 页,共 16 页

4.1070答案:2k 5.1127答案:

(3k 1) + 3k + (3k + 1) k

a+b 6.955答案:两边同时乘以 2
7.1128答案:

81(3 4 k +1 + 5 2 k +1 ) 56 5 2 k +1
1+1

8.1130答案:当 n = 1 时,左边 = 2

= 4 , 右边 = 12 + 1 + 2 = 4 不等式 2

n +1

≥ n 2 + n + 2 成立

cos x cos 2 x cos 4 x …… cos( 2 k 1 x) cos( 2 k x) =
9.1129答案:

sin( 2 k +1 x) 2 k +1 sin x

三、解答题(共 36 题,合计 362 分) 解答题(
1.981答案:见注释 2.1060答案:见注释 3.1061答案:见注释 4.1112答案:见注释 5.956答案:m=36 6.957答案:相等 7.958答案:(1)

f

1

( x) = 2 x + 4 2 x + 4

(2) a n = 4n 2

(3)1

8.977答案:见注释 9.979答案:见注释 10.980答案:见注释 11.1001答案:见注释 12.1048答案:见注释 13.1050答案:见注释 14.1058答案:见注释 15.1073答案:见注释 16.1075答案:见注释 17.1076答案:见注释 18.1080答案:见注释

第 15 页,共 16 页

an =
19.1116答案:

2 n(n + 1)
2n 1 2 n 1

20.1117答案:

an =

21.1118答案:见注释 22.1131答案:见注释 23.1181答案:见注释 24.1182答案:见注释

25.8067答案:见注释 26.1119答案:见注释 27.1132答案:见注释 28.1208答案:令n=1,n=2,n=3,列方程组求得a=3,b=11,c=10.再用数学归纳法证明.

a = n n 1 并用数学归纳法证明. 29.1209答案:a1=1,a2= 2 1 ,a3= 3 2 ,推测 n
30.1210答案:f1 (x)=2 x+(2+1) b,f2 (x)=2 x+(2 +2+1) b,f3 (x)=2 x+(2 +2 +2+1) b,推测fn (x)= 2
2 3 2 4 3 2 n+1

x+(2n+2n-1+…

+2+1) b
31.4733答案:见注释 32.1077答案:见注释 33.1078答案:见注释 34.1183答案:见注释 35.1184答案:见注释

n+2 3 2 5 3 (n ∈ N*) 2(n + 1) 4 ,f(2)= 3 ,f(3)= 8 ,f(4)= 5 ,故猜想f(n)= 36.4329答案:(1)f(1)=

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