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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.1.2数列的通项公式与递推公式导学案(含解析)新人教版必修5


数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的通项公式与递推公式

目标定位:1.了解递推公式是给出数列的一种方法。 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项。 (重点) 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法。 (难点)

数列的递推关系 [提出问题] 某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从第二排起,后一 排都比前一排多 2 个座位(如图). 问题 1:写出前五排座位数. 提示:20,22,24,26,28. 问题 2:第 n 排与第 n+1 排座位数有何关系? 提示:第 n+1 排比第 n 排多 2 个座位. 问题 3:第 n 排座位数 an 与第 n+1 排座位数 an+1 能用等式表示吗? 提示:能.an+1=an+2. [导入新知] 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [化解疑难] 1. 数列的递推公式是给出数列的另一重要形式, 由递推公式可以依次求出数列的各项. 2.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数列 1,3,5,?,2n-1,?的一 个通项公式为 an=2n-1(n∈N ).用递推公式表示为 a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N ).
* *

数列的表示方法 [例 1] 根据数列{an}的通项公式,把下列数列用图象表示出来(n≤5,且 n∈N ). (1)an=(-1) +2; (2)an=
n
*

n+1 . n

[解] (1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1,图象如下图①所示. 3 4 5 6 (2)数列{an}的前 5 项依次是 2, , , , ,图象如下图②所示. 2 3 4 5

[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点 (1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公式法是常用的数学方法. (2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项数与项的对应关系. (3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势. [活学活用] 1.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B)共有 8 站,从 A 地出发时, 装上发往后面 7 站的邮件各一个, 到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件, 同时装上该站 发往后面各站的邮件各一个. 试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数 列. 解:将 A,B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号.通过计算,各站装卸完毕后剩 余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0,如下表: 站号(n) 剩余邮件数(an) 1 7 2 12 3 15 4 16 5 15 6 12 7 7 8 0

由递推公式求数列中的项 [例 2] 已知数列{an}的第一项 a1=1,以后的各项由公式 an+1= 个数列的前 5 项. [解] ∵a1=1,an+1= 2an , an+2 2an 给出,试写出这 an+2

∴a2=

2a1 2 = , a1+2 3

2 2× 3 1 2a2 a3= = = , a2+2 2 2 +2 3 1 2× 2 2 2a3 a4= = = , a3+2 1 5 +2 2 2 2× 5 1 2a4 a5= = = . a4+2 2 3 +2 5 2 1 2 1 故该数列的前 5 项为 1, , , , . 3 2 5 3 [类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项, 要弄清楚公式中各部分的关系, 依次代入计算即可. 另 外,解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后 面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. [活学活用] 2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; (2)通过公式 bn=

an 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前 4 项. an+1

解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,

a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前 5 项依次为

a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
(2)∵bn=

an ,且 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1

a1 1 a2 2 a3 3 ∴b1= = ,b2= = ,b3= = , a2 2 a3 3 a4 5 a4 5 b4= = . a5 8
1 2 3 5 故 b1= ,b2= ,b3= ,b4= . 2 3 5 8 由递推公式归纳数列的通项公式 [例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式 an= (n=2,3,4,?)给 1-an-1 出,写出这个数列的前 5 项,并归纳出数列{an}的通项公式. [解] 可依次代入项数进行求值.

an-1

a1=2,a2=
2 - 3

2 -2 2 =-2,a3= =- , 1-2 1-?-2? 3

a4=

2 =- , 5 ? 2? 1-?- ? ? 3? 2 =- . 7 ? 2? 1-?- ? ? 5? 2 - 5

a5=

2 2 2 即数列{an}的前 5 项为 2,-2,- ,- ,- . 3 5 7 -2 -2 -2 -2 2 也可写为 , , , ,- . -1 1 3 5 7 即分子都是-2,分母依次加 2,且都是奇数, 所以 an=- [类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其特点、规律,归纳总结出数列的 一个通项公式. [活学活用] 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+ 出 1 2 * (n∈N ). 2n-3

n?n-1?

(n≥2),写出该数列前 5 项,并归纳

它的一个通项公式. 解:a1=1,

a2=a1+ a3=a2+ a4=a3+ a5=a4+

1 1 3 =1+ = , 2×1 2 2 1 3 1 5 = + = , 3×2 2 6 3 1 5 1 7 = + = , 4×3 3 12 4 1 7 1 9 = + = . 5×4 4 20 5

3 5 7 9 故数列的前 5 项分别为 1, , , , . 2 3 4 5 2×1-1 3 2×2-1 5 2×3-1 7 2×4-1 9 2×5-1 由于 1= , = , = , = , = , 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2n-1 1 故数列{an}的一个通项公式为 an= =2- .

n

n

[随堂即时演练] 1.符合递推关系式 an= 2an-1 的数列是( A.1,2,3,4,? C. 2,2, 2,2,? )

B.1, 2,2,2 2,? D.0, 2,2,2 2,?

解析:选 B B 中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合递推公式 an= 2an-1. 1 1 1 1 2.数列 , , , ,?的递推公式可以是( 2 4 8 16 1 * A.an= n+1(n∈N ) 2 1 * C.an+1= an(n∈N ) 2 )

1 * B.an= (n∈N ) 2n D.an+1=2an(n∈N )
*

1 1 * 解析:选 C 数列从第二项起,后一项是前一项的 ,故递推公式为 an+1= an(n∈N ). 2 2 3.已知 a1=1,an=1+ 1

an-1

(n≥2),则 a5=________.

解析:由 a1=1,an=1+ 8 答案: 5

3 5 8 得 a2=2,a3= ,a4= ,a5= . an-1 2 3 5

1

4.已知数列{an}满足 a1>0, “递减”).

an+1 1 * = (n∈N ),则数列{an}是________数列(填“递增”或 an 3

1 * 解析:由已知 a1>0,an+1= an(n∈N ), 3 得 an>0(n∈N ). 1 2 又 an+1-an= an-an=- an<0, 3 3 所以{an}是递减数列. 答案:递减 5.已知数列{an}的通项公式为 an= 解:对于公式 an= 3 10 4 17
*

n
2

n +1

,写出它的前 5 项,并判断该数列的单调性.

1 2 ,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 5 项为 a1= ,a2= , n +1 2 5
2

n

a3= ,a4= ,a5= .
1-n -n 而 an+1-an= - 2 = . 2 2 2 ?n+1? +1 n +1 [?n+1? +1]?n +1? 因为 n∈N ,所以 1-n -n<0,所以 an+1-an<0,即 an+1<an.故该数列为递减数列.
* 2

5 26

n+1

n

2



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