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广东省2015届高三数学理专题突破训练:数列


广东省 2015 届高三数学理专题突破训练--数列 一、选择题: 1、 (广州市海珠区 2015 届高三摸底考试)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ?
A.31 【答案】C B.32 C.63 D.64 解析:由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 S2,S4 -S2,S6 -S4 成

等 比 数 列 ,
2

即 3, 15 ? 3,S6 ?15 成 等 比 数 列 , ∴ ?15 ? 3? ? 3 ? S6 ? 15 ? , 解 得 S6 ? 63 , 故 选 A. 2、 (广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试)已知数列{ an }为等差数列,公 差 d ? ?2 , Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A. 18 【答案】 B B. 20 C. 22 ) D. 24

解析:因为 S10 ? S11 ,所以 a11 ? 0 ,即 a1 ? 10d ? 0 ,代入 d ? ?2 可解

得 a1 =20,故选 B。 3、 (深圳市 2015 届高三上学期第一次五校联考)已知数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,且 满足对任意的 n ? N * ,都有 an ?1 ? an ? 2n , an ? 2 ? an ? 3 ? 2n 成立,则 a2014 ? ( A. 22014 ? 1 【答案】A 解 析 : 由 B. 22014 +1 C. 22015 ? 1 D. 22015 ? 1 )

an?2 ? an ? 3? 2n , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 3? 2n , 且an?2 ? an?1 ? 2 ? 2n 即an?1 ? an?2 ? ?2 ? 2n an?1 ? an ? 2n , 又an?1 ? an ? 2n ?an?1 ? an ? 2n

an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? an?2 ? an?3 ? ?
? 2n?1 ? 2n?2 ?
二、填空题:

? a2 ? a1 ?

? 22 ? 2 ?1 ? 2n ?1?a2014 ? 22014 ?1 故选:A.

1、 (2014 广东高考)若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?

2. (2013 广东高考)在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

-1-

2 ?4 ,则 3. ( 2012 广 东 高 考 ) 已 知 递 增 的 等 差 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , a3 ? a2

an ? ______________.

ak ? a4 ? 0 , 4. (2011 广东高考) 等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1 ? 1 ,
则k ? . 5、 (广州市第六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测)若等比数列 ?a n ? 的各项 均为正数,且 a4 a9 ? a5 a8 ? a6 a7 ? 300 ,则

lg a1 ? lg a2 ?

? lg a12 ?

.
1 , 2

6、 (惠州市 2015 届高三第二次调研考试)在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ?

a6 ? a7 ? 3 ,
则满足 a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? an 的最大正整数 n 的值为_______

7、 (江门市普通高中 2015 届高三调研测试) 已知数列{an}满足 a1=﹣ , an=1﹣ (n>1) ,计算并观察数列{an}的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015= 5 . 8、 (湛江市 2015 届高中毕业班调研测试)等差数列{an}中,a5=10,a12=31,则该 数列的通项公式 an= 3n﹣5 (n∈N+) 三、解答题 1、 (2014 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且
S3 ? 15 .

(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 2 、( 2013 广 东 高 考 ) 设 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;
-2-

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

3、 (2012 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* , 且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列. (Ⅰ )求 a1 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ )证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 3 ? . an 2

4、 (广州市第六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,
1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2 a (1)设数列 {bn } 满足 bn ? n ,求 bn ?1 与 bn 之间的递推关系式; n

前 n 项和 S n ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式. 5、 (广州市海珠区 2015 届高三摸底考试) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,若 S5 ? 25 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?
1 n ? N ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 b1 ? b2 ? ? Sn
? bn ? 7 . 4

6、 (广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试)已知 a1 ? 2 ,点 ?an , an?1 ? 在函 数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,其中 n ? N * (Ⅰ)证明:数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (Ⅱ)设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,求 Tn (Ⅲ)记 bn ? 1 ?
an 1 ,求数列 ?bn ? 的前项和 S n an ? 2

-3-

7、 (惠州市 2015 届高三第二次调研考试) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1 ,
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * . n 3 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

8、 (江门市普通高中 2015 届高三调研测试)已知{an}是等差数列,a2=3,a3=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对一切正整数 n,设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

9、 (韶关市十校 2015 届高三 10 月联考)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,
1 2 其前 n 项和 Sn 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 2

(Ⅰ) 求 Sn 的表达式; (Ⅱ) 设 bn ?
Sn 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .证明 Tn ? 2n ? 1 2

10 、 (深圳市 2015 届高三上学期第一次五校联考)已知数列 ?an ? 满足 a1 =

3 , 2

an =2 ?

1 ? n ? 2 ? , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,且有 Sn =1 ? n ? 1 bn . an ?1 2 n

? 1 ? (1)证明:数列 ? ? 为等差数列; a ? 1 ? n ?
(2)求数列 ?bn ? 的通项公式;

-4-

(3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1 . bn

11、 (湛江市 2015 届高中毕业班调研测试)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=a(a≠0) , 且 2Sn=(n+1)?an. (1)求数列{an}的通项公式 an 与 Sn; (2)记 An= 与 Bn 的大小. + + +…+ ,Bn= + + +…+ ,当 n≥2 时,试比较 An

12、 (中山市第一中学等七校 2015 届高三第一次联考)已知各项均为正数的数列 2 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn . (1)求 a1 (2) 求数列 {an } 的通项; 5 1 (3) 若 bn ? 2 (n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn ,求证: Tn < 3 an

答案 一、选择题(答案见题目下) 二、填空题
5 1、 【解析】 50 . 考查等比数列的基础知识 . 依题意有 a10 ? a11 ? e ,所求等式左边

? ln ? a10 ? a11 ? ? ln e50 ? 50
10

2、20

3、 an ? 2n ? 1

4、10

5 、 解 析 : 因 为 a4 a9 ? a5 a8 ? a6 a7 ? 3 a6 a7 ? 300 , 所 以 a6 a7 ? 100 , 则

lg a1 ? lg a2 ?

? lg a12 ? lg ? a1a2

a12 ? ? lg ? a6 a7 ? ? lg10012 ? 12 .
6

6【解析】本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力.
1 1 设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? 0) .由 a5 ? , a6 ? a7 ? 3, 可得 ( q ? q 2 ) ? 3, 2 2

-5-

即 q ? q2 ? 6 ? 0, 所以 q ? 2 ,所以 an ? 2n?6 ,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?5 ? 2?5 , 所以 a1a2
2
n ?5 ?5

an ? ? a1an ? ? 2
n ( n ?11) 2

n 2

n ( n ?11) 2

,由 a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? an 可得

?2 ? 2

,由 2

n ?5

?2

n ( n ?11) 2

,可求得 n 的最大值为 12,而当 n ? 13 时,

28 ? 2?5 ? 213 不成立,所以 n 的最大值为 12.

7、解:∵a1=﹣ ,an=1﹣ ∴a2=5,a3= ,a4=﹣ ,



∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列, ∴a2015=a2=5, 故答案为:5. 8: 解:∵等差数列{an}中,a5=10,a12=31, ∴ ,

解得 a1=﹣2,d=3, ∴an=﹣2+3(n﹣1)=3n﹣5. 故答案为:3n﹣5. 三、解答题 1、解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? 7 ① 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 ②
S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15 ③

由①②③解得 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 (2)当 n ? 1 时, Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ①
Sn?1 ? 2 ? n ?1? an ? 3? n ?1? ? 4 ? n ?1? ②
2

①—②化简得 2nan?1 ? ? 2n ?1? an ? 6n ?1(当 n ? 1 时也成立) 方法 1: (凑配) 令 2n ? ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? An ? B ? ,求得 A ? ?2,B ? ?1 即
2n ? ? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? 2n ? 1?

-6-

令 bn ? an ? 2n ?1 ,则 2nbn?1 ? ? 2n ?1? bn ,即 bn ?1 ?

2n ? 1 bn 2n

因为 b1 ? 0, b2 ? 0, b3 ? 0 ,故必有 bn ? 0 ,即 an ? 2n ? 1 方法 2: (数学归纳法)由(1) a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 ,猜想 an ? 2n ? 1, 下面用数学归纳法证明对 ?x ? N ? , an ? 2n ?1 : 当 n ? 1, n ? 2, n ? 3 时,成立 假设当 n ? k 时成立,即有 ak ? 2k ? 1 , 2kak ?1 ? ? 2k ?1? ak ? 6k ?1 当 n ? k +1 时, 2kak ?1 ? ? 2k ?1?? 2k ?1? ? 6k ?1 ? 4k 2 ? 6k 所以 ak ?1 ?
4k 2 ? 6k ? 2k ? 3 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ,成立 2k

综上所述,对 ?x ? N ? , an ? 2n ?1
1 2 2、(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3

1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2Sn ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3
2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ? 1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ?1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
a a ?a ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 , 公差为 1 的等差数列 , 所以 n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n , 所 1 n ?n?
2 以 an ? n .

(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

1 7 1 1 1 5 7 ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4

当 n ? 3 时, 此
1 1 ? ? a1 a2 ?

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 4 ? 2 3? ?3 4? 1? 1 ? 1 ?? ? ? ? 1? ? n ? 1 n 4 ? ?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? an 4 3 4

?

?

n

?

?

n

? 2

-7-

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

?2a1 ? a2 ? 3 ? 3、解析: (Ⅰ )由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ? 1( n ? 2 ) (Ⅱ ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ,两式相减,可得

n ?1 n n 2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2 ? 3 an ? 2 , 所 以 数 列 an ? 2

?

?

?

?

( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,3 为公比的等比数列.由 2a1 ? a2 ? 3 可得, a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 ,即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ) ,当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所 以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n ?1 n ?1 ?2 (Ⅲ ) 因 为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 2 ? 2 , 所 以 3n ? 2n ? 3n , 所 以 a ? 3n ?1 , 于 是 n

1

1

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ?1? ? an 3

?1? 1? ? ? n 1 3? ?1? ? 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 3 2? ? ?3? ? ? 2 1? 3

n

下面给出其它证法. 当 n ?1 时 ,
1 3 1 1 1 3 ?1? ? ?1? ? ; 当 n?2 时 , ; 当 n?3 时 , a1 2 a1 a2 5 2

1 1 1 1 1 3 ? ? 1? ? ? . ? a1 a2 a3 5 1 9 2 1 当 n ? 4 时, ? bn ,所以 1 ? 1 ? an a1 a2
3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1? 1 2
n ?3

?

1 1 1 ?1? ? ? an 5 19

? ? ? ? ?1? 1 ? 1 ? 3 ? 3 . 5 19 16 2

综上所述,命题获证. 下面再给出
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 3 ? 的两个证法. an 2

法 1: (数学归纳法) ① 当 n ? 1 时,左边 ?
1 ? 1 ,右边 ? 3 ,命题成立. a1 2
1 3 ? 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时 i 2 i ?1 3 ? 2
i k

② 假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即 ?

-8-

1 1 1 ? ? i ( i ? 1 , i ? N ). i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i 1 1 1 1 1 要证 i ?1 i ?1 ? ? i i ,只需证 i ?1 i ?1 ? i ?1 ,只需证 3i ?1 ? 2i ?1 ? 3i ?1 ? 3 ? 2i , 3 ?2 3 3 ?2 3 ?2 3 ? 3 ? 2i 1 1 1 只需证 ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 i ?1 i ?1 ? ? i i . 3 ?2 3 3 ?2

命题也成立,我们首先证明不等式:

i ?1

于 是 当 n ? k ? 1 时 , ? 3i ? 2i
i ?1

k ?1

1

?

k ?1 1 1 1 k 1 1 3 3 ?? i ?1? ? i ?1? ? ? i 3 ? 2 i ?2 3 ? 2 3 i ?1 3 ? 2i 3 2 2

,所以命题在

n ? k ? 1 时也成立.

② 综合① ,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这 是一个错误的认识. 法 2: (裂项相消法) (南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,
1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立.当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2
n ?1 ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

n 1 2 ? 2 ? Cn ? 22 ? 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn
1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ?

n ?1 2 ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1? ,又因为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ,所以

an ? 2n ? n ? 1? ( n ? 2 ) ,所以
1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ?(n ? 2 ) ,所以 an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?
? 1 1? 1? 1? 3 ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? . n ?1 n ? 2? n? 2

?

1 1? 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? an 2? 2 3 4

综上所述,命题获证. 4、(1) bn ?1 ? bn ? 解析: (1)
1 ;(2) an ? 2n ? 1 n(n ? 1)

1 1 ∵ S n ? (n ? 1)(an ? 1) ? 1 ,∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 2 1 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] , 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 , 等 2

式两边同时除以 n(n ? 1) 得

an ?1 an 1 1 , 即 bn ?1 ? bn ? , ? ? n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1)

(2)由(1)知 bn ?1 ? bn ?

a a 1 1 即 n ?1 ? n ? ,所以 n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1)
? a2 a1 a1 ? ? 2 1 1

an an an ?1 an ?1 an ? 2 ? ? ? ? ? n n n ?1 n ?1 n ? 2

-9-

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 1 ? ? 2 ,得 an ? 2n ? 1 . n 5、 解析: (1)由S5 ? 25得a1 ? 2d ? 5 ?
又S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ?

?

1 ?1? 3 2



------1 分 -----2 分

2 ?1 4?3 ? d ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? ? d ? 4a1 ? 6d 2 2

由题意得: (2a1 ? d )2 ? a1 (4a1 ? 6d ) 即 d (d ? 2a1 ) ? 0, 又d ? 0,?d ? 2a1 联立⑴、⑵解得 a1 ? 1, d ? 2 4分 ⑵

---------3 分

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 -------5 分
(2)证明:由(1)得 Sn ? ①当 n=1 时, b1 ? 1 ?
n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 2

? bn ?

1 1 ? 2 ------6 分 Sn n

7 ,? 原不等式成立。 4 1 5 7 ②当 n=2 时, b1 ? b2 ? 1 ? ? ? ,? 原不等式成立。 4 4 4

③当 n ? 3 时, n2 ? ? n ?1?? n ?1? ? 分
? b1 ? b2 ? ? bn ? 1 1 ? ? 12 22 ? 1 n2

1 1 1? 1 1 ? ---------9 ? ? ? ? 2 n ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ? ?

<1+

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? 4 6 ?

1 ?? ? 1 ? ? ?? ? n ?1 n ? 1 ??
--------13 分

-----11 分

7 1? 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? = 1 ? ?1 ? ? ? ?= ? ?? ? ? ?4 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?

?当n ? 3 时原不等式成立。
7 -------14 分 4 2 6、解析: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

综上,对一切正整数 n 有 b1 ? b2 ?

bn ?

a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两

边取对数得

- 10 -

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

?{ l g ( ?1 an

是公比为 2 的等比数列. )}
n?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 )
0 1

? 2n?1 ? lg3 ? lg32
2 n-1

?1 ? an ? 32 (1)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
(Ⅲ) 由(1)式得 an ? 32 ? 1
2 Q an+1 = an + 2an ?an?1 ? an (an ? 2)
n?1

? 31?2?2

?…+2n-1

= 32

n

-1

?

1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2

?

1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

又 bn ?

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?

2 3 ?1
2n

7、解:本题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、 放缩法等基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考 生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力. (1) (解法一)
1 2 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? , 又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 3 3

………(2 分)

1 2 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 当 n ? 2时, 3 3 1 2 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) , 3 3

两式相减得
1 2 1 2 2an ? (nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n) ? ((n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) 3 3 3 3

整理得 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,即

an ?1 an ? ?1, n ?1 n

………(6 分)

- 11 -



a2 a1 ?a ? ? ? 1 ,故数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 2 1 ?n?

所以

an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n, 所以 an ? n2 n

………(8 分)

(解法二)

?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , a1 ? 1 ,得 a2 ? 4,a3 ? 9 , .......(2 分) n 3 3

猜想 S n ?

n?n ? 1?(2n ? 1) 6

.............(3 分)

下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,猜想成立; (2)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即 Sk ? 当 n ? k ? 1 时,

k ? k ? 1? (2k ? 1) .............(4 分) 6

ak ?1 ?

2Sk 1 2 2 2 ? k ? 1? (2k ? 1) 1 2 2 ? k ?k ? = ? k ?k ? k 3 3 6 3 3

?

2? ? k ? 1? ( k 3

1 )(k ? 1 )k(? ? 3

) (k 3? 3 ) 2( ) k ?1 2 ? ? (k ? 1 ) ,........(5 分) 3

? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1
? k ? k? 1? ( 2k ? 1) (k ? 1 ) (k2 2? 2 ? (k ? 1 ) ? 6 6 k ? 7 6)? k ( ?k1 ) ( ? k 2)(2 ? 6
............ (6 分)

3)

? n ? k ? 1 时, 猜想也成立

由(1) , (2)知,对于 ?n ? N ? ,猜想成立。

? 当n ? 2, a n ? S n ? S ? n 1
分)

n ? 1 ,也满足此式,故 an ? n2 ?2 ,当 n

......... ( 8

1 7 (2)证明:当 n ? 1时, ? 1 ? ; a1 4

………(9 分) ………(10 分) ………(12 分)

1 1 1 5 7 当 n ? 2时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 当 n ? 3时, ? 2 ? ? ? , an n n(n ? 1) n ? 1 n
- 12 -

此时
? 1?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? an 2 3 4
?(

?

1 n2

1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )? 4 2 3 3 4

1 1 1 1 1 7 1 7 ? ) ? 1? ? ? ? ? ? n ?1 n 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? an 4

……………(14 分)

8、解答: 解: (1)由 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2) ∴ Sn=b1+b2+b3+…+bn= ; 通过前几项的求和规律知: 若 n 为奇数,则 若 n 为偶数,则 =

得,a1=1,d=2;



; .

1 2 9、解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 代入 S n ? a n ( S n ? ) ,得 2

2S n S n?1 ? S n ? S n?1 ? 0 … 2 分,由于 S n ? 0 ,所以


1 1 ? ? 2 ………………… 4 S n S n ?1

?1? 所以 ? ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列…………………… 5 分 ? Sn ?
从而
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,所以 S n ? ……………………… 8 分 2n ? 1 Sn

(2) bn ?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? …………………… 10 分 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? )] …………………… 12 分 ∴ Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ………………………13 分 2 2n ? 1 2

- 13 -

所以 Tn ?

1 ………………………14 分 2

10 、【 答 案 解 析 】 D

解 析 :( 1 ) 证 明 : ……1 分

an =

2an ?1 ? 1 ? n ? 2? an ?1

? an ? 1 ?

2an ?1 ? 1 a ?1 ? 1 ? n ?1 an ?1 an ?1

?

? a ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 n ? 2 a 1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? an ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1
1 1 ? ? 1? n ? 2 ? an ? 1 an ?1 ? 1
……3 分

即: ?

? 1 ? 1 ? 2 为首项, 1 为公差的等差数列. ∴数列 ? ? 是以 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

2n ? 2 ? ? 2n ? 4 ? ? (2)解:当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? ? 2 ? bn ? ? ? 2 ? bn ?1 ? n n ?1 ? ? ? ?
bn ?

……4

……5 分

b b 2n ? 2 2n ? 4 2 2n bn ? bn ?1 ? n ? bn ?1 , 即: n ? ? n ? 2 ? ……6 分 n n ?1 n n ?1 bn ?1 n ? 1

?

b b b2 b3 b4 2? 2 2?3 2? 4 2? n ? ? ? ... ? n ? ? ? ? ... ? ? n ? n ? 2n ?1 b1 b2 b3 bn ?1 1 2 3 n ?1 b1

……8 分

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 2 (3)由(1)知:

∴ bn ? n ? 2n

……9 分 ……10 分

1 1 n+2 ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? an ? 1 n ?1 n ?1

? cn ?


an n?2 1 1 ? ? ? n n ?1 bn n ? n ? 1? ? 2 n?2 ? n ? 1? 2n

……12

? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?Tn ? ? ci ? ?1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1? ?1 ? 1 ? ? 1 2 ? n ?1 n ? ? ? ? n ? 1? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3? 2 ? i ?1 ? n?2
n

...14 分 11、解: (1)n≥2 时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=(n+1)?an﹣n?an﹣1 ∴an= ∴an= ?an﹣1, ? ?…? ?a1=na1=na,

- 14 -

n=1 时也成立,∴an=na,Sn= (2) ∴An= ∵ ∴Bn= = ( ﹣ + + +…+ ) , = (1﹣ ) ,



=2n﹣1a, + + +…+ …+ . = (1﹣ >1+n, ) ,

n≥2 时,2n= ∴1﹣ <1﹣

∴a>0 时,An<Bn;a<0 时,An>Bn; 12、 【答案解析】(I) ? a1 ? 0 ? a1 ? 1 (II) an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n (III)
5 3 解析:解: (1)令 n ? 1 ,得 a12 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ………2 分

Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn <

2 (2)又 an ? an ? 2S n ………① 2 有 an ②……………………3 分 ?1 ? an?1 ? 2S n?1 ………… ②-①得 an?1 ? S n?1 ? S n …………………4 分

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 ……………………6 分 ∴ an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n …………………………8 分 5 (3)n=1 时 b1 =1< 符合………………………9 分 3
n ? 2 时,因为 1 ? 2
n 1 n2 ? 1 4 ? 1 ? ,…………………………11 分 ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ………….13 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

5 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn < …………………………14 分 3

- 15 -


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