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浙江省杭州地区7校2015届高三上学期期末模拟联考数学(文)


浙江省杭州地区 7 校 2015 届高三上学期期末模拟联考 数学(文)试题
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 已知集合

M ? {x | x ? x } , N ? { y | y ? 2 , x ? R} ,则 M
2 x

N ?(



A. (0,1]

B. (0,1)

C. [0,1) ) C. a<b<c

D. [0,1]

2.设 a = 30. 5, b= log32, c=cos2,则( A.c<b<a B. c<a<b

D. b<c<a ) D. x 3 > y
3

3.已知条件: a x ? a y ( 0 ? a ? 1 )则它的充要条件的是( A.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

B. ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)
2 2

C. sin x ? sin y

4.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率的取 值范围是( A. ? ) B. ?

? 5 ? ,1? ? ? 5 ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

C. ? 0, ?

? ?

5? ? 5 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ?

5.设 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 3 的函数, 当 x ? ? ?2,1? 时,f ? x ? ? ? 则 f(f(

?4 x 2 ? 2 ?2 ? x ? 0 , x 0 ? x ? 1 ?

21 ) )) =( 4 1 3 A.B. 4 4

C.

1 4

D.0 )

6.已知数列{an}满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ,若 a1 ? 1, a5 ? 8 ,则 a3 ? ( A.1 B. 2 C. 3 D.

7 2

7. 已 知 平 面 向 量 m, n 的 夹 角 为

?
6

, 且 m ? 3, n ? 2 , 在 ?ABC 中 , )

AB ? 2 m ? 2 n, AC ? 2 m ? 6 n ,D 为 BC 的中点,则 | AD |? (
A.2 B.4 C.6 D.8

第 -1- 页 共 8 页

8 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x )满足 f ( 4 - x ) =f ( x ) ,且当 x∈ ? ?1,3? 时, f ( x ) πx ? ?1+cos 2 ,1<x≤3, =? 则 g(x)= f(x)-1g|x|的零点个数是( 2 ? ?x ,-1<x≤1,

)

A.9 B.10 C.18 D.20 二、填空题(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、 15 题每空 4 分,共 36 分) 9. 已 知 直 线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , 直 线 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 , 若 直 线 l1 的 倾 斜 角 为 a= 为 ; 若 l1 ? l 2 , 则 a= 。

?
4

,则

; 若 l1 // l 2 , 则 两 平 行 直 线 间 的 距 离

?2 x ? y ? 0 ? 10.若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?
u? y ?1 的取值范围是__________________. x ?1

;

11.△ ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 b ? 2 , B ? a=__________;△ ABC 的面积等于 .

?
6

, C?

?
4

,则边

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,满足 f (1) ?

1 1 ,且对任意的 x 都有 f ( x ? 3) ? ,则 5 ? f ( x)

f (7)=____________; f (2014) ?

.
2 2

13.已知直线 2ax ? by ? 1(其中 a, b 为非零实数)与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点,O 为坐 标原点,且 ?AOB 为直角三角形,则

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b

.

14 .在等腰 ?ABC 中, AB =AC , M 为 BC 中点,点 D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上,且

1 AD = DB , AE =3EC ,若 ?DME ? 90 ,则 cos A = 2
2

. .

15.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题有 5 大题,共 74 分)

16(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos 2 ? x ? 3 (a ? 0, ? ? 0) 的 最大值为 2, x1 , x2 是集合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0} 中的任意两个元素,且 | x1 ? x2 | 的最小值为

第 -2- 页 共 8 页

?
2

.

(1)求函数 f ( x) 的解析式及其对称轴; (2)若 f (? ) ?

4 ? ,求 sin(4? ? ) 的值. 3 6

17(本题满分 15 分)设△ ABC 的面积为 S ,且 2 S ? 3 AB ? AC ? 0 . (1)求角 A 的大小; (2)若 | BC |? 3 ,且角 B 不是最小角,求 S 的取值范围.

18(本题满分 15 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值.

19(本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 满足 an ? 3an ?1 ? 3n ? 1( n ? N ? , n ? 2) 且 a3 ? 95 。 (1)求 a1 , a2 的值; (2)是否存在一个实数 t ,使得 bn ? 的值;如不存在,请说明理由;

1 (an ? t )(n ? N ? ) 且 ?bn ? 为等差数列?若存在,求出 t n 3

第 -3- 页 共 8 页

(3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

第 -4- 页 共 8 页

一、选择题.(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C

二、填空题.(本题共有 7 小题,其中第 11 题每空 2 分,第 12、13、14 题每空 3 分,第 15、 16、17 题每空 4 分,共 36 分)

9.

-1

,

1

,

2 2

10.

-2

,

1? ? ?7, ? ? ? 3? ?

11.

6? 2

,

1? 3
1 5

12.

1 5
15.

,

-5

13.

4

14.

? ?4, 0?

三、解答题(共 74 分) 。 16. (本题满分 15 分) 解析: (1) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos 2?x , 由题意知: f ( x) 的周期为 ? ,由
2

2? ? ? ,知 ? ? 1 2?

2分 4分

由 f ( x) 最大值为 2,故 a ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1 ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

?
3

)

6分

k? (k ? Z ) 3 2 12 2 4 ? 4 ? 2 (2)由 f (? ) ? 知 2sin(2? ? ) ? ,即 sin(2? ? ) ? , 3 3 3 3 3

?

?

?

? k? ,解得 f ( x) 的对称轴为 x ?

?

?

8分 9分

∴ sin ? 4? ?

? ?

??

? ? ?? ?? ?? ? ? ? sin ? 2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ? 6? 3 ? 2? 3? ? ? ?
2

12 分

?? 1 ? ?2? ? ?1 ? 2sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 3? 9 ? ?3?
2

15 分

17.(1)设 ?ABC 中角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,由 2 S ? 3 AB ? AC ? 0 ,

1 2 即 sin A ? 3 cos A ? 0 ,
所以 tan A ? ? 3 ,

得 2 ? bc sin A ? 3bc cos A ? 0 , …………3 分 …………5 分
第 -5- 页 共 8 页

又 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

2? . 3

…………7 分

(2)因为 BC ? 3 ,所以 a ? 3 , 由正弦定理,得

所以 b ? 2sin B, c ? 2sin C , 1 ? 从而 S ? bc sin A ? 3 sin B sin C ? 3 sin B sin( ? B ) ……11 分 2 3 3 1 3 1 ? cos 2 B 3 ? 3 , ? 3 sin B( cos B ? sin B) ? 3( sin 2 B ? )? sin(2 B ? ) ? 2 2 4 4 2 6 4 ………… 13 分

3 b c , ? ? 2? sin B sin C sin 3 …………9 分

3 ? ? ? ? 5? 又 B ? ( , ), 2 B ? ? ( , ) ,所以 S ? (0, ) .…………15 分 4 6 3 6 2 6 p 18. 解析.(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x-2),与 y2=2px 联立,
5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以:x1+x2= 4 , 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 所以 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 所以 A(1,-2 2),B(4,4 2); →
2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

3分 5分 7分

10 分 12 分

设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2),

即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2. 19.解析:(1)当 n=2 时, a2 ? 3a1 ? 8 ,当 n=3 时,

15 分

a3 ? 3a2 ? 26 ? 95 ? a2 ? 23 ,? 23 ? 3a1 ? 8 ? a1 ? 5 .

4分

(2)当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ?

1 1 1 a ? t ? ? n ?1 ? an ?1 ? t ? ? n ? an ? t ? 3an ?1 -3t ? n ? n 3 3 3
7分

?

1 n 1 ? 2t 3 ? 1 ? 2t ? ? 1 ? n . n ? 3 3

要使 ?bn ? 为等差数列,则必须使 1+2t=0, ? t ? ? 即存在 t ? ?

1 , 2
9分

1 ,使 ?bn ? 为等差数列. 2

第 -6- 页 共 8 页

(3)

因为当 t= -1/2 时, ?bn ? 为等差数列,且 bn ? bn ?1 ? 1 , b1 ?

3 2
10 分 11 分 15 分

3 1 ? (n ? 1) ? n ? 2 1 1 2 所以 an ? (n ? ) ? 3n ? 2 2
所以 bn ?

n ? 3n ?1 n n(3n ?1 ? 1) 所以 Tn ? ? ? 2 2 2
22.解: (1)当 a ? ?1 时, , 故有

?2 x 2 ? 1, x ? ?1 f ( x) ? ? , x ? ?1 ? 1,
当 x ? ?1 时,由 f ( x) ? 1 ,有 2 x 2 ? 1 ? 1 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立 ∴ 方程的解集为 {x | x ? ?1或x ? 1} 5分

2分

3分 4分

f ( x) ? x 2 ? ( x ? 1) | x ? 1|
(2) f ( x) ? ?

? 2 x 2 ? (a ? 1) x ? a, x ? a , x?a ?(a ? 1) x ? a,

7分

若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有

? a ?1 ?a 1 ? , 解得, a ? ? 4 3 ? ? a ?1 ? 0
∴ 当a ?

9分

1 时, f ( x) 在 R 上单调递增 3

10 分

(3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3)

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3, x ? a 则 g ( x) ? ? x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3,

11 分

不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,等价于不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒 成立.

a ? 1 ,?
当 x ? (??, a ) 时, g ( x) 单调递减,其值域为 (a ? 2a ? 3, ??) ,
2

第 -7- 页 共 8 页

由于 a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 g ( x) ? 0 成立.
2 2

12 分

当 x ? [a, ??) 时,由 a ? 1 ,知 a ?

a?3 a?3 , g ( x) 在 x ? 处取最小值, 4 4

第 -8- 页 共 8 页


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