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优秀教案24-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教材分析
本节内容是数学选修 1-1 第三章 导数及其应用的第二节,是导数的关键部分,对后面更深地研究导 数起着至关重要的作用,在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的实质,也给出了利用定义求导数的 方法.但是如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往是极为复杂的,甚至是不可能的.因此,我 们

希望找到一些简单的函数的导数(作为基本公式)与运算法则,借助它们来简化导数的计算过程.因此 教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,使得用定义求导数比较麻烦、计算量大 的问题得以解决,为以后导数的研究带来了方便,同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导 数的优越性发挥的淋漓尽致,教材层层深入,由易到难,要求通过讲解使得本节简单易懂.

课时分配
本节内容用 2 课时的时间完成,主要讲解几个常用函数的导数推导、基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则.

教学目标
重点: 根据定义求几个简单函数的导数,能利用导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数. 难点:如何利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 知识点:基本初等函数的导数公式及导数的运算法则. 能力点:如何利用定义求几个常用函数的导数,及利用运算法则求函数导数. 教育点:经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何运用导数定义求解常用函数的导数. 考试点:利用导数公式及运算法则求解函数导数以解决简单的函数求导问题. 易错易混点:运用导数公式时, 学生一般在求导公式上容易出错,尤其是以 a 为底的指数函数和对数函 数的导数公式,学生公式易混淆. 拓展点:利用极限概念求解常用函数导数,及由基本初等函数通过加、减、乘、除组合而成的复杂函数 的求导问题.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和黑板. 学案导学

一、引入新课
【师生活动】提问:1、导数的几何意义: . 2、导数的物理意义: . 3、导函数的求解公式是什么? 生答:导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率; 导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度; 导函数的求解公式是: f ? ? x ? ? y? ? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

?x ?0

.

【设计意图】 通过复习导数意义及导函数的求解公式,使学生在理解的基础上加以记忆,为下一步求导 做准备.
1

根据导数的定义,求函数 y ? f ? x ? 的导数,就是求出当 ?x 趋近于 0 时, 下面我们求几个常用函数的导数. (1)函数 y ? f ? x ? ? c 的导数

?y 所趋近于的那个定值. ?x

因为

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? c ? c ? ? ? 0, ?x ?x ?x
?x ?0

所以 y? ? lim

?y ? lim 0 ? 0 . ?x ?x?0

若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释 为某物体的瞬时速度始终为 0,即一直处于静止状态. (2)函数 y ? f ? x ? ? x 的导数

因为

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x
?x ?0

所以 y? ? lim

?y ? lim 1 ? 1 . ?x ?x?0

若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 1 可以解释 为某物体的瞬时速度为 1 的匀速运动. 3. 函数 y ? f ? x ? ? x 的导数
2

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ( x ? ?x) 2 ? x 2 因为 ? ? ?x ?x ?x 2 2 2 x ? 2 x??x ? (?x) ? x ? ?x ? 2 x ? ?x ,
所以 y? ? lim

?y ? lim ? 2 x ? ?x ? ? 2 x . ?x ?0 ?x ?x ?0

y? ? 2 x 表示函数 y ? x 2 图象上点 ? x, y ? 处切线的斜率为 2x ,说明随着 x 的变化,切线的斜率也在变化.
另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看 y? ? 2 x 表明: x ? 0 时, 当 随着 x 的增加, 函数 y ? x
2 2 2

减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 增加得越来越快.若 y ? x 表示路程关于时间的 函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2x . 变式训练:求函数 y ? f ? x ? ?

1 的导数 x

2

1 1 ? ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? x ? ?x x 解:因为 ? ? ?x ?x ?x x ? ? x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x ? x ? ?x ? ?x x ? x??x
所以

y? ? lim

?x ?0

?y 1 1 ? ? ? lim ? ? 2 ??? 2 . ?x ?0 ?x x ? x ? x??x ?

【设计说明】在分析 1、2、3 的求解思路以后,板书其求解过程,让学生明白求解过程,再通过变式训练 巩固导数求解步骤.

二、探究新知
为了方便,今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.

基本初等函数的导数公式
1.若f ( x) ? c, 则 f '( x) ? 0; 2.若f ( x) ? x? ?? ? Q* ? , 则 f '( x ) ? ? x? ?1; 3.若f ( x) ? sin x, 则 f '( x) ? cos x; 4.若f ( x) ? cos x, 则 f '( x) ? ? sin x; 5.若f ( x) ? a x , 则 f '( x) ? a x ln a (a ? 0); 6.若f ( x) ? e x , 则 f '( x) ? e x; 7.若f ( x) ? log a x, 则 f '( x) ? 1 8.若f ( x) ? ln x, 则 f '( x) ? . x
[设计意图] 在求解了几个常用函数的导数基础上直接给出一组公式显得有点突兀,但限于学生知识所限, 有几个基本初等函数的导数不能一一求解,因此要给学生讲清只要牢牢记住公式并会用即可,在此不要追根求 源,把精力耽误在公式是怎么来的上面.

1 (a ? 0, 且a ? 1); x ln a

三、理解新知
(1)幂函数的导数是次方前提当系数, x 的次数降 1 ; (2)正弦函数的导数是余弦函数,余弦函数的导数是负正弦函数; (3)以 e 为底的指数函数的导数是其本身,以 e 的对数函数的导数是反比例函数(这有点特殊); (4)以 a 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记,要格外注意它们都有 ln a 这个部分,只是对 数函数的导数中 ln a 在分母上; (5)要特别注意指数函数、对数函数的求导中,以 e 为底的是以 a 为底的特例. [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫、解释,要使学生把枯燥的公式记忆变成一些有规律的东西 加以巩固理解.

四、运用新知
例 1:假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如
3

下函数关系

p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,
其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约 是多少(精确到 0.01)? 解:根据基本初等函数的导数公式表,有

p? ? t ? ? 1.05t ln1.05.
所以,

p? ?10 ? ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08 ? 元/年 ? .
因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约以 0.08元/年 的速度上涨. 变式训练:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到 0.01)? [设计意图]通过一个应用题,使学生看到导数求解的意义所在.

五、新知拓展
导数运算法则 1. ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) ? g ?( x) ; 2. ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x)+ f ( x) g ?( x) ;

3. ? 从法则 2 可以得出

? f ( x) ?? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) (g ( x) ? 0) . ? ? [g ( x)]2 ? g ( x) ?

?c f ( x)?? ? c? f ( x)+c[ f ( x)]? ? cf ?( x) ,
也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即

?c f ( x)?? ? cf ?( x)
例 2 求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的导数.
3 3 3 解:因为 y? ? ( x ? 2 x ? 3)? ? ( x )? ? (2 x)? ? (3)?

? 3x 2 ? 2 ,
所以,函数 y ? x ? 2 x ? 3 的导数是
3

y ?? 3 x 2 ? 2
[设计意图]通过步步展开, 使学生进一步熟悉导数运算法则及基本初等函数的导数公式.
4

变式训练: 1.求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x 2.求下列函数的导数 (1) y ? x ? ln x (2) y ? (2) y ? 2e
x

(3) y ? 2 x ? 3x ? 4
3 2

(4) y ? 3cos x ? 4sin x

ln x ? x x2

(3) y ? ( x ? 1)

2

(4) y ? sin x(cos x ? 1)

[设计意图]通过一组练习题,使学生进一步熟悉哪些是直接利用基本初等函数的导数公式,哪些还要利用 导数运算法则求解,使学生看清结构. 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水 净化 到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98% .

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% ; 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数:

? 5284 ?? c?( x ) ? ? ? ? 100 ? x ?

?

(5284)? ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)? (100 ? x) 2 0 ? ( 1 0 0 x ? 5 2 ? 4? ( 1 ) ? ) 8 2 (1 0 0 x ) ? 5284 . (100 ? x) 2

?

?

(1) 因为 c?(90) ?

5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,净化费用的瞬时变化率是 (100 ? 90) 2

52.84 元/吨.
(2) 因为 c?(98) ?

5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,净化费用的瞬时变化率是 (100 ? 98)2

1321元/吨.
【教师分析】函数 f ( x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,

c?(98) ? 25c?(90) .它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为 90% 左右时净化费用
的变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.

六、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:基本初等函数的导数公式及导数运算法则;
5

2.思想:数形结合思想、归纳思想、分层思想. 教师总结: 1.由常数函数,幂函数,正、余弦函数,指、对数函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均 可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则;但有些题目求导时,表面上不满足求导法 则,要根据题目特点整理出满足运算法则的样子再求导. [设计意图] 加强对学生学习方法的指导,做到求导过程清晰、明白.

七、布置作业
1. 阅读教材 P81—85; 2. 书面作业 必做题:P85 习题 3.2 选做题:1. 函数 y ? x ? 2. y ?

A组

1,3,4,6

B组 2

1 的导数是 x

cos x 的导数是 x 2 3.函数 y ? ax ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a ?

3.课外思考 1.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图像过点 P(0,2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为
3 2

6 x ? y ? 7 ? 0 ,求函数的解析式.
2. 已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程. [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为 了让学生能够运用基本初等函数的导数公式及导数运算法则,解决简单的数学问题;课外思考的安排,是让学 生理解导数求解与导数几何意义的联系,起到承上启下的作用.

七、教后反思
1.本节容量较大,学生在公式记忆上有点困难,要求学生要多写几遍,做到尽快熟悉. 2.不同情形的函数式所用的公式不同,要使学生分清结构,多做练习,尽快适应. 3.本节是后面函数求导的基础课,要讲透彻,为后面研究函数的单调性及极值、最值问题,打好基础,可 以出一张跟踪练习,以加以巩固.

八、板书设计
3.2 导数的计算 1,引入几个常用函数的求导过程 3,导数运算法则

, 2,基本初等函数的导数公式表

例2

例3 例1 小结:

6


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