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高中数学


高中数学选修 2-1 模块检测题
考试时间:120 分钟,满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列语句是命题的一句是 ( A.x — 1 = 0 C.2+3=8 2. “ a ? 1 或 b ? 2 ”是“ a ? b ? 3 ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.已知 a>0,b>0,且双曲线 C1: 为 ( ) B.2 2 3 C. 3 4 3 D. 3 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.你会说英语吗 D.这是一棵大树

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 2 有共同的焦点,则双曲线 C1 的离心率 与椭圆 C : 2 a 2 b2 a 2 b2

A. 2

4.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 5. 过椭圆 A. 5 4

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的 ( k ?3 k ?3
B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )

x2 y 2 x2 y 2 1 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 的离心率 e 的值是 ( ( ) 的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a , 则双曲线 2 a 2 b2 a 2 b2
B. 5 2 C. 3 2 D. 5 4 )

6.已知定点 A、B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( A. 1 2 B. 3 2 C. 7 2 D. 5

x2 y2 7.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 9 16 的面积等于 ( A.24 ) B.36 C.48 D.96 )

8.已知向量 a ? (1,1,0),b ? (?1,0,2) ,且 ka ? b与2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 ( A.1 C.

3 5

1 5 7 D. 5
B.
1

9.双曲线 A.6

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为 ( 16 9
B.8 C.10 D.12



10. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( A.直线 C.抛物线 ) B.双曲线 D.圆

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

“?x ? R,x ? x ? 3 ? 0” 11.全称命题 的否定是____________________.
2

12.抛物线 y ? ? x 的焦点坐标是________________.
2

13.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则 ?F1 PF2 的面积为______________. 25 9

14.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学 生得出下列四个结论: ① BD ? AC ? 0 ; ② ?BAC ? 60 ;
?

③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确结论的序号是______________. (请把正确结论的序号都填上)

15.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件 的双曲线的标准方程为______________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
2

x2 y2 6 16.(本小题 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点 a b 3
的距离为

3 . (1)求椭圆的方程; 2

(2)已知定点 E ? ?1,0? ,若直线 y ? kx ? 2 ( k ? 0 )与椭圆交于 C、D 两点. 问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

17.(本小题 12 分)已知椭圆 D:

x2 y 2 2 ? ? 1 与圆 M: x 2 ? ? y ? 5 ? ? 9 ,双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点,它的两 50 25

条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程.

18.(本小题 13 分)已知曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程;
3

(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2; (3)求△F1MF2 的面积.

19. (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点,以 A 为原点,建立适当的空间坐标系,
利用空间向量解答以下问题: (1)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
O

(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离.
A B

M

D N C

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的顶点与双曲线 焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

13 y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 ,若椭圆的 5 4 12

4

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且 MN ?

5 . 5

16 5 ,求直线 l 的方程. 9

参考答案 一、选择题 1—5 CDCAB 6—10 CCDBC
5

2 2 2 ? ?a +b =c , c 2 3 3. 解析:由已知? 2 所以 4a2=3c2,所以 e= = ,故选 C. 2 2 a 3 ?2a -2b =c , ?

4. 解析:若方程表示双曲线,则(k-3)(k+3)>0,∴k<-3 或 k>3, 故 k>3 是方程表示双曲线的充分不必要条件.答案 A 1 2b2 1 b2 1 5. 解析:据题意知椭圆通径长为 a,故有 = a?a2=4b2? 2 = , 2 a 2 a 4 故相应双曲线的离心率 e= b?2 1+? ?a ? = 1 5 1+ = . 4 2 答案 B

6. 解析:∵|AB|=4,|PA|-|PB|=3,故满足条件的点在双曲线右支上, 2 7 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离 2+ = . 答案 C 3 2 7. 解析:方法一:由题意知 a=3,b=4,c=5. 如图,设 P(x0,y0),由双曲线的定义得 c 5 |PF2|= x0-3= x0-3. a 3 5 39 ∵|PF2|=|F1F2|=10,∴ x0-3=10,x0= . 3 5 代入双曲线方程得:|y0|= 392 ? 48 16? ?25×9-1?= 5 ,

1 1 48 ∴S△PF1F2= |F1F2|· |y0|= × 10× =48. 2 2 5 方法二:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=|PF2|+6=|F1F2|+6=10+6=16, 设等腰△PF1F2 底边 PF1 上的高为 F2D,则|F2D|= = =6, ∴S△PF1F2= |PF1|×|F2D|= × 16× 6=48. 二、填空题 11. ? x0 ? R,x0 ? x0 ? 3 ? 0 ; 12. ( ?
2

1 ,0 ) ; 4

13.9; 14.②③ x2 y2 15. - =1 4 12 三、解答题 16. 解: (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .

6

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1


即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

∴ (k ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
2

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

17. 解析:椭圆 D 的两个焦点 F1(-5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. x2 y2 设双曲线 G 的方程为 2 - 2=1(a>0,b>0) a b ∴渐近线为 bx ? ay ? 0 且 a2+b2=25, 圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. ∴ |5a| x2 y2 2 2=3,得 a=3,b=4,∴G 方程为 9 -16=1. b +a

18. 解析: (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过(4,- 10)点,∴16-10=λ 即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 (2)证明:由(1)题易知 F1(-2 3,0),F2(2 3,0). m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3
7

m2 m2 kMF1· kMF2= =- , 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,F1F2 的高 h=|m|= 3, ∴S△F1MF2=6. 19. 解:作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,
(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , ,0) , 2 2 2 4 4

??? ? ???? 2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2 ? ? ? ? ??? ? ??? 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? OD ? 0

???? ?

z O

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2)
???? ? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? (0, 4, 2) ? 0 4 4

M

A x B N C P

D y

? MN‖ 平面OCD (9 分)
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

??? ?

???? ?

2 2 , , ?1) 2 2

??? ? ???? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴cos? ? ??? ? ???? ? ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2
(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,

??? ?

?

??? ? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3
x2 y 2 20. 解:设所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,其离心率为 e ,焦距为 2 c , a b y 2 x2 ? ? 1 的焦距为 2 c1 ,离心率为 e1 ,则有: 双曲线 4 12

c12 ? 4 ? 12 ? 16 , c1 =4,∴ e1 ?

c1 ?2 2
8

∴e ?

13 3 c 3 ? 2 ? ,即 ? 5 5 a 5


① ,a ?b ?c
2 2 2

又 b ? c1 =4



由①、 ②、③可得 a ? 25 ,∴ 所求椭圆方程为
2

x2 y 2 ? ?1 25 16

21. 解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 , (2 分) a 2 b2
(4 分),

由已知有: 2b ? 4, e ?

c 5 ? a 5

a 2 ? b2 ? c 2 ,

解得: a2 ? 5, b ? 2, c2 ? 1, c ? 1

x2 y 2 ? ?1 ① ∴ 所求椭圆标准方程为 5 4
(2)设 l 的斜率为 k ,M、N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , ∵椭圆的左焦点为 (?1, 0) ,∴l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ②

①、②联立可得

x 2 k 2 ( x ? 1)2 ? ?1 5 4

∴ (4 ? 5k 2 ) x2 ? 10k 2 x ? 5k 2 ? 20 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? 又∵ MN ?
2

10k 2 5k 2 ? 20 , x x ? 1 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2
16 5 9

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?
2

即 ( x1 ? x2 ) (1 ? k ) ?

16 1280 5 ,∴ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? k 2 ) ? ? ? 9 81

? ?10k 2 2 4(5k 2 ? 20) ? 1280 ∴ ?( ) ? (1 ? k 2 ) ? ? 2 2 4 ? 5k ? 81 ? 4 ? 5k
∴? ?100k ? 4(5k ? 20)(4 ? 5k ) ? ? (1 ? k ) ? 81 (4 ? 5k )
4 2 2 2

1280

2 2

∴ 320(1 ? k ) ?
2 2

1280 2 (4 ? 5k 2 ) 2 ,∴ 1 ? k 2 ? (4 ? 5k 2 ) 81 9

∴ k ? 1,
2

k ? ?1 ,∴l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1

9


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