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第05讲 导数的简单应用(选择、填空题型)


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第五讲 导数的简单应用?选择、填空题型?

[做考题 体验高考] 1 1.(2012· 辽宁高考)函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) ) ) D.(0,+∞)

2 2.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)

= +ln x,则( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点

1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 D.x=2 为 f(x)的极小值点 )

3. (2012· 大纲全国卷)已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 轴恰有两个公共点, 则 c=( A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1

4.(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 5.(2012· 浙江高考)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=________. [析考情 把脉高考] 考点统计 导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与函数的极值 导数与函数的最值 3年4考 3年3考 3年4考 3年2考 (3)利用导数研究函数的单调性、求函数的极值问题也常 出现在解答题中,且难度较小. 导数在实际问题中的 应用 (4)以导数的几何意义为背景,设置导数与解析几何 3年1考 等知识点有关的综合问题是一类新兴问题,也符合高考 要求中关于在不同知识点交汇处命题的基本思路,希望 引起同学们的注意. 1 考 情 分 析 (1)高考对导数的考查多以解答题的形式考查. (2)在选择题或填空题中,以导数的几何意义为考查 重点.

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导数的几何意义

[例 1]

x+1 (1)过点(0,1)且与曲线 y= 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( x-1 B.2x+y-1=0
3

)

A.2x-y+1=0

C.x+2y-2=0

D.x-2y+2=0

(2)直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 相切于点 A(1,3),则 a-b=________. A.-4 B.-1 C.3 D.-2

x+1 [思路点拨] (1)利用导数求出曲线 y= 在点(3,2)处切线的斜率,从而确定所求直线 x-1 的斜率; (2)注意点 A(1,3)既是切点,也是直线与曲线的公共点. x+1 x+1 2 [规范解答] (1)由于 y= ,所以 y′=- ,于是曲线 y= 在点(3,2)处的切 x-1 ?x-1?2 x-1 1 线的斜率 k=y′|x=3=- ,因此所求直线的斜率等于 2,于是所求直线方程为 y-1=2(x- 2 0),即 2x-y+1=0. (2)由题易知,直线 y=kx+1 和曲线 y=x3+ax+b 均过点 A(1,3),则 k=2,a+b =2;又 y′=3x2+a,则 k=y′|x=1=3+a=2,所以 a=-1,b=3. [答案] (1)A (2)A

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—————————————

(1)理解导数的几何意义是研究曲线的切线问题以及求相关参数的值 (或取值范围)的基 础.对于切点坐标不知道的,要先设出切点坐标,再根据切点在切线上、切点在曲线上来求 切线方程. (2)利用导数求曲线的切线方程要注意的是,当函数 y=f(x)在 x=x0 处不可导时,曲线在 该点处也可能有切线. ———————————————————————————————————

1.若曲线 f(x)= x,g(x)=xa 在点 P(1,1)处的切线分别为 l1,l2,且 l1⊥l2,则 a 的值为 ( ) A.-2 B.2 1 C. 2 1 D.- 2

2.定义在区间[0,a]上的函数 f(x)的图像如图所示,记以 A(0,f(0)),B(a,f(a)),C(x, 2 f (x))为顶点的三角形的面积为 S(x),则函数 S(x)的导函数 S′(x)的图像大致是( )

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利用导数研究函数的单调性 [例 2] f(x)( ) A.在(-4 3,4 3)上为增函数 B.在(-4 3,4 3)上不是单调函数 (1)函数 f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b 的图像关于原点成中心对称, 则

C.在(-∞,-4 3)上为减函数,在(4 3,+∞)上为增函数 D.在(-∞,-4 3)上为增函数,在(4 3,+∞)上也为增函数 k k (2)(2012· 云南模拟)若函数 f(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则常数 k 的取值范围 x 3 是________. [思路点拨] (1)由图像的对称性求出 a,b 的值,然后借助导数研究函数的单调性; (2)问题转化为 f′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立. [规范解答] (1)∵函数 f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b 的图像关于原点成中心对称, ∴a=1,b=0,则 f′(x)=3(x2-48),由 f′(x)>0 可解得 x>4 3或 x<-4 3,∴f(x)在(-∞, -4 3)上为增函数,在(4 3,+∞)上也为增函数. k (2)由题意知 f′(x)=2+ 2≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥-2x2 在(1,+∞)上恒成立, x 所以 k≥(-2x2)max, 又 y=-2x2 在(1, +∞)上单调递减, 所以(-2x2)max=-2, 所以 k≥-2, 即 k 的取值范围是[-2,+∞). [答案] (1)D (2)[-2,+∞)

—————

—————————————

利用导数研究函数的单调性,大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 . 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时, 依据根的大小进行分类讨论; 在不能通过 因式分解求出根时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函 数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制. ———————————————————————————————————

1 3.设函数 f(x)=x(ex-1)- x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 2 4.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则 3

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实数 k 的取值范围是________.

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利用导数研究函数的极值与最值

[例 3]

(1)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m) ) B.-15 C.10 D.15

+f′(n)的最小值是( A.-13

(2)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取 值范围是________. [思路点拨] (1)由极值的概念即可确定 a 的值,f(m)+f′(n)取得最小值的条件是:f(m) 和 f′(n)同时取得最小值; (2)根据极大值的概念求解. [规范解答] (1)求导,得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,所以 a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x)在(-1,0)上单调递减, 在(0,1)上单调递增, 所以当 m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4.又 f′(x) =-3x2+6x 的图像开口向下,且对称轴为 x=1,所以当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1) =-9.于是,f(m)+f′(n)的最小值为-13. (2)若 a=0,则 f′(x)=0,函数 f(x)不存在极值;若 a=-1,则 f′(x)=-(x+1)2≤0, 函数 f(x)不存在极值;若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值;若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+ ∞)时, f′(x)<0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极大值; 若 a<-1, 当 x∈(-∞, a)时, f′(x)<0, 当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值.所以 a∈(-1,0). [答案] (1)A (2)(-1,0) ————— —————————————

1.求函数 y=f?x?在某个区间上的极值的步骤 第一步:求导数 f′?x?; 第二步:求方程 f′?x?=0 的根 x0; 第三步:检查 f′?x?在 x=x0 左右的符号; ①左正右负?f?x?在 x=x0 处取极大值; ②左负右正?f?x?在 x=x0 处取极小值. 2.求函数 y=f?x?在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 第一步:求函数 y=f?x?在区间?a,b?内的极值?极大值或极小值?; 第二步:将 y=f?x?的各极值与 f?a?,f?b?进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值. 4

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3.研究函数的极值与最值应注意的问题

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?1?利用导数研究函数的极值和最值时,应首先考虑函数的定义域. ?2?导数值为0的点不一定是函数的极值点,它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件. ————————————————————————————————————

1 1 5.已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 x1 3 2 ∈(-1,1),x2∈(2,4),则 a+2b 的取值范围是( A.(-11,-3)
3

) C.(-11,3) D.(-16,-8)

B.(-6,-4)
2

6.已知函数 f(x)=ax +bx +cx,其导函数 y=f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0),如图所 示,则下列说法中不 正确的是________. . 3 ①当 x= 时函数 f(x)取得极小值; 2 ③当 x=2 时函数 f(x)取得极小值;

②f(x)有两个极值点; ④当 x=1 时函数 f(x)取得极大值.

1.函数单调性的应用 (1)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0 在区间(a,b)上恒成立; (2)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0 在区间(a,b)上恒成立; (3)可导函数 f(x)在区间(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的必要不充分条件. 2.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,有可能极大值小于极小值, 也有可能极小值大于极大值; (2)对于可导函数 f(x), “f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x)=0”是“f(x)在 x=x0 处取得极值” 的必要不充分条件; (3)注意导函数的图像与原函数图像的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值 点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

限时:50 分钟 满分:78 分 一、选择题(共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2x· f′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D .e ) 5

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则 x<0 时( ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0

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2.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,

B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 )

1 1 3.(2012· 乌鲁木齐模拟)直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( 2 2 A.-2 B.-1 1 C.- 2 D.1

4.f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) ) D.无数个 )

)

D.(-∞,+∞)

5.函数 f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是( A.0 B.1 C.2

1 6.若 f(x)=- (x-2)2+bln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1]

D.(-∞,-1) )

1 7.(2012· 泉州模拟)已知函数 f(x)=sin x- x(x∈[0,π]),那么下列结论正确的是( 2 π 0, ?上是增函数 A.f(x)在? ? 2? π? C.?x∈[0,π],f(x)>f? ?3? π ? B.f(x)在? 6 ? ,π?上是减函数 π? D.?x∈[0,π],f(x)≤f? ?3? )

8.函数 f(x)=xcos x 的导函数 f′(x)在区间[-π,π]上的图像大致是(

2x+1 9.已知函数 f(x)= 2 ,则下列选项正确的是( x +2 1 A.函数 f(x)有极小值 f(-2)=- ,极大值 f(1)=1 2 1 B.函数 f(x)有极大值 f(-2)=- ,极小值 f(1)=1 2 1 C.函数 f(x)有极小值 f(-2)=- ,无极大值 2 D.函数 f(x)有极大值 f(1)=1,无极小值

)

10.(2012· 唐山模拟)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导函数为 f′(x),且 f′(0)>0.若 f?1? 对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 的最小值为( f′?0? 6 A.3 5 B. 2 ) C.2 3 D. 2

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二、填空题(共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.(2012· 广东高考)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 1 12.若对任意 m∈R,直线 x+y+m=0 都不是曲线 f(x)= x3-ax 的切线,则实数 a 的 3 取值范围是________. x 13.函数 f(x)= 的单调递减区间是________. ln x 1 14.(2012· 南通模拟)已知函数 f(x)= x3+x2+(2a-1)x+a2-a+1,若 f′(x)=0 在(1,3] 3 上有解,则实数 a 的取值范围为________. 1 15.(2012· 温州五校联考)函数 f(x)= x3-x2-3x-1 的图像与 x 轴的交点个数是_____. 3 16.已知函数 f(x)=mx3+nx2 在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在 区间[t,t+1]上单调递减, 则实数 t 的取值范围是________. 17.已知函数 f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),若在定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,则实数 m 的最小值是________.

7

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