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考研数学真题总结专题三导数的应用


专题三导数的应用 知识点一 利用导数研究函数的性态 1. 单调性
(1) (2) (3) 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) ? C (常数) 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) 单调增加 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) 单调减少

2. 凹凸性 (1) 若在 (a ,b ) 内 f ??( x) ? 0 ,则在 (a ,b ) 内 f ( x) 向下凸(即向上凹,曲线图形
为 )

(2) 若在 (a ,b ) 内 f ??( x) ? 0 ,则在 (a ,b ) 内 f ( x) 向上凸(即向下凹,曲线图形


)

(3) 设 f ( x) 在区间 I 上有定义,若对于 I 中任意两点 x1 , x2 ,恒有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f( 1 2)? ) )? 2 2 2 2

则称 f ( x) 在 I 上是向上凸的(或上凹的)。

3. 拐点
若 f ??( x0 ) ? 0 或 f ??( x0 ) 不存在,且 f ??( x) 在 x0 的左右变号,则 ( x0 , f ( x0 )) 为曲 线 y ? f ( x) 的拐点。拐点的定义为曲线上向上、下凸的分界点。

4. 极值点的判断
若 f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ,则 x0 为 f ( x) 的极点。若 f ??( x0 ) ? 0 则 x0 为极小点, 若 f ??( x0 ) ? 0 则 x0 为极大点。 【注】 以上这些结论中由一阶导数的信息得到函数本身的结论,都是用微分中值 定理证明的。 而由 f ??( x) 的信息得到函数本身的结论,都是用 Taylor。如

f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ? x0 必是 f ( x) 的极点的证明:

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ? f ( x) ? f ( x0 ) ?

f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? o(( x ? x0 ) 2 ) 2!

f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? o(( x ? x0 ) 2 ) 2!

当 x ? x0 很小时, f ( x) ? f ( x0 ) 的符号由

f ??( x0 ) ( x ? x0 )2 确定. 2!

5. 渐近线
(1) 水平渐近线 若 lim f ( x) ? b 或 lim f ( x) ? b ,则称 y ? b 为函数 y ? f ( x) 在右侧或左侧的水平
x ??? x ???

渐近线。 (2) 铅直渐近线 若 lim? f ( x) ? ? 或 lim? f ( x ) ? ? ,则称 x ? x0 为函数 y ? f ( x) 的铅直渐近线。
x ? x0 x ? x0

(3) 斜渐近线 f ( x) 若 a ? lim , b ? lim [ f ( x) ? ax] ,则称 y ? ax ? b 为 y ? f ( x) 的右侧斜渐近线; x ??? x ??? x f ( x) 若 a ? lim , b ? lim [ f ( x) ? ax] ,则称 y ? ax ? b 为 y ? f ( x) 的左侧斜渐近线 x ??? x ??? x

知识点二 关于方程求根
1.关于方程 f ( x) ? 0 的根(或 f ( x) 的零点)的存在性的证明思路 (1) 只知 f ( x) 在[a,b]或(a,b)上连续,而没有说明 f ( x) 是否可导,则一般用闭 区间上连续函数的零点存在定理证明。 (2) 做出 f ( x) 的一个原函数 F ( x) ,证明 F ( x) 满足罗尔定理条件, 从而得出 f ( x) 的零点的证明。 2. 方程 f ( x) ? 0 的根的个数的讨论 (1) 求出 f ( x) 的驻点和使 f ?( x) 不存在的点,划分 f ( x) 的单调增减性区间; (2) 求出各单调区间的极值(或最值); (3) 分析极值(或最值)与 x 轴的相对位置。 3.方程 f ( x) ? 0 的根的唯一性的研究 (1) 利用零点存在定理(或 Rolle 定理)证明 f ( x) ? 0 至少存在一个根;

(2) 利用函数的单调性证明 f ( x) ? 0 最多只有一个根。 题型一:判断函数的凹凸性或判断曲线的拐点 (20110101) 曲线 y ? ( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3)3 ( x ? 4) 4 的一个拐点是( )
A (1,0) B (2,0)
3 2

C (3,0)

D (4,0)

(20100312) 若曲线 y ? x ? ax ? bx ? 1 有拐点(-1,0),则 b=___________ (20070317) 设函数 y ? y ( x) 由方程 y ln y ? x ? y ? 0 确定,试判断曲线 y ? y ( x) 在点 (1,1)附近的凹凸性.

题型二:利用函数的单调性证明不等式 1 1 1 (20110118)○证明对任意正整数 n ,都有 1 ? ln(1 ? ) ? 成立; n ?1 n n 4 2 2 2 (20040115) 设 e ? a ? b ? e , 证明 ln b ? ln a ? 2 (b ? a) e
(20060317) 证明:当 0 ? a ? b ? ?时, b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a (20050319) 设 f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且 f(0)=0, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 .证明:对任何 a ? [0,1] , 有

?

a

0

g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g ?( x)dx ? f (a) g (1).
0

1

(20040317) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续,且满足
b b
b b

?a f (t )dt ? ?a g (t )dt ,x ? [a , b),

x

x

?a f (t )dt ? ?a g (t )dt .证明: ?a xf ( x)dx ? ?a xg( x)dx
题型三:求方程的根或函数的零点 (20110117)求方程 k arctan x ? x ? 0 不同实根的个数,其中 k 为参数.
(20080101) 设函数 f ( x) ?

?

x2

0

ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数(



? A? 0

? B? 1
n

?C ? 2

? D? 3

(20040118) 设有方程 x ? nx ? 1 ? 0 ,其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 x n (20110318) 证明 4 arctan x ? x ?

4? ? 3 ? 0 恰有 2 实根。 3
3 2

(20050307) 当 a 取下列哪个值时,函数 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? a 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.

题型四:利用导数研究函数的图形
(20090103) 设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上的图形为:

f ( x)
O 0 -1
x

-2 则函数 F ? x ? ?

1

2

3

x


? f ?t ? dt 的图形为(
0

f ( x)
1 0 -1

f ( x)
1

-2

1

2

3

x

-2

0 -1

1

2

3

x

? A? .

? B? .

f ( x)
1 0

f ( x)
1

-1

1

2

3

x

-2

0 -1

1

2

3

x

?C ? .

? D? .

题型五:求曲线的渐近线 1 x (20070102) 曲线 y ? ? ln(1 ? e ) ,渐近线的条数为 x
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

(20050101) 曲线 y ?

x2 的斜渐近线方程为 _____________ 2x ? 1

(20070306) 曲线 y ?

A. 0

B. 1

1 ? ln(1 ? e x ), 渐近线的条数为( x C. 2 D. 3



题型六:利用导数判断函数的极值点
(20030107) (1)设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续,其导函数的图形如图所示,则 f ( x) 有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

【思路】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3 个,而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶 导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点,一个极大值点;在 x=0 左侧一 阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见 x=0 为极大值点,故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应 选(C). (20100303) 设函数 f(x),g(x)具有二阶导数, g ??( x) ? 0. 若 g ( x0 ) ? a 是 g(x)的极值, f(g(x))在 x0 取极 且 则 大值的一个充分条件是 A f ?(a) ? 0 B f ?(a) ? 0 C f ??(a) ? 0 D f ??(a) ? 0

(20050310) 设 f ( x) ? x sin x ? cos x ,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值, f ( ) 是极小值. (C)f(0)是极大值, f ( ) 也是极大值.

?

?

2

(B) f(0)是极小值, f ( ) 是极大值. (D) f(0)是极小值, f ( ) 也是极小值.

? ?

2 2

2

(20040309) 设 f (x) = |x(1 ? x)|,则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.

题型:求曲面的面积 题型:求旋转体的体积 (20030113) 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V .



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