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【金版学案】2015-2016高中数学 2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系练习 新人教A版必修2


2.1.3

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

基 础 梳 理 1.直线和平面的位置关系.

练习1:正方体 ABCDA1B1C1D1 的六个面中,与 AB 相交的面有多少个? 答案:两个 练习2:直线在平面外,则直线与平面的关系是什么? 答案:平行或相交 练习3:直线与平面有公共点,则直线与平面的关系是什么

? 答案:直线与平面相交或直线在平面内 练习4:直线与平面没有公共点,则直线与平面的关系是什么? 答案:直线与平面平行 练习5:当直线与平面相交时,平面上是否存在与该直线平行的直线? 答案:不存在 2.两个平面的位置关系.

位置关系

图示

表示法

公共点个数

两平面平行

α ∥β

0个

1

两平面相交

α ∩β

有无数个 (在一条直线上)

?思考应用 1.直线 a 与平面 α 平行,直线 b 与平面 α 也平行,则 a 与 b 有怎样的位置关系? 解析:直线 a 与 b 平行,相交或异面. 2.一条直线在两个平行平面中的一个平面内,则该直线与另一个平面具有怎样的位置 关系? 解析:该直线与另一个平面无公共点,故该直线与另一个平面平行. 自 测 自 评

1.a∥α ,b? α ,那么 a,b 的位置关系是(D)

A.平行 B.异面 C.相交或平行或异面 D.平行或异面
解析:a 与 α 无公共点,a 与 b 也无公共点,故 a∥b 或 a 与 b 异面. 2.直线 m∥平面 α ,则 m 与 α 的公共点有(A)

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个
3.若直线 a 平行于直线 b,则过 a 且与 b 平行的平面有无数个. 4.直线 l 与平面 α 有两个公共点,则(D)

A.l?α

B.l∥α

C.l 与 α 相交 D.l? α

基 础 达 标 1.已知两条相交直线 a,b,a∥平面 α ,b 与 α 的位置关系是(D)

A.b∥α C.b? α

B.b 与 α 相交 D.b∥α 或 b 与 α 相交

解析:b?α ,否则 a 与 b 异面或平行.

2

2.直线 a 在平面 γ 外,则(D)

A.a∥γ B.a 与 γ 至少有一个公共点 C.a∩γ =A D.a 与 γ 至多有一个公共点
解析:a 在平面 γ 外,包括两种情况:一是直线 a 与平面 γ 相交,二是直线 a 与平面 γ 平行,故至多有一个公共点. 3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线(D)

A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面
4.直线 a∥平面 α ,直线 b∥平面 α ,则 a 与 b 的位置关系为(D)

A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面或相交
解析:∵a∥平面 α ,∴a 与 α 无公共点. 又∵b∥α ,∴b 与 α 也无公共点, ∴a∥b 或 a 与 b 异面或 a 与 b 相交. 5.若不在同一直线上的三点 A,B,C 到平面 α 的距离相等,且 A?α ,则(B)

A.α ∥平面 ABC B.△ABC 中至少有一条边平行于 α C.△ABC 中至少有两条边平行于 α D.△ABC 中只可能有一条边与 α 相交
解析:由题意,△ABC 所在平面与平面 α 只可能为相交或平行的关系,若相交,则只 有一边与 α 平行;若平行,则三边与 α 均平行. 6.下列命题: ①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; ②若 l,m 是异面直线,l∥α ,m∥β ,则 α ∥β . 其中错误命题的序号为________. 解析:对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于 ②,借助于正方体 ABCD?A1B1C1D1,AB∥平面 DCC1D1,B1C1∥平面 AA1D1D,又 AB 与 B1C1 异面, 而平面 DCC1D1 与平面 AA1D1D 相交,故②错误. 答案:①② 巩 固 提 升 7.若直线 a 不平行于平面 α ,则下列结论成立的是(D)

A.α 内的所有直线均与直线 a 异面
3

B.α 内不存在与 a 平行的直线 C.α 内的直线均与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 有公共点
解析:依题意知,直线 a 可能位于平面 α 内,也可能与平面 α 相交.当直线 a 位于平 面 α 内时,A,B,C 均不正确,因此选 D. 8.证明:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相 交. 证明:原题可化为已知:A∈α ,A∈a,B?α ,B∈a. 求证:直线 a 与平面 α 相交. 证明:假设直线 a 和平面 α 不相交,即 a∥α 或 a? α . 假设 a∥α ,就与 A∈a,A∈α 矛盾. 假设 a? α ,就与 B∈a,B?α 矛盾. ∴假设不成立. ∴直线 a 和平面 α 相交. 9.如图 1 是一个正方体(如图 2)的表面展开图的示意图,MN 和 PQ 是两个面的对角线, 请在正方体中将 MN 和 PQ 画出来,并就这个正方体解答下列问题: (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比.

解析:(1)MN 与 PQ 是异面直线, 如图, 在正方体中, PQ∥NC,∠MNC 为 MN 与 PQ 所成角. ∵MN=NC=MC, ∴∠MNC=60°.

(2)设正方体的棱长为 a,则正方体的体积 V=a .

3

4

而三棱锥 MNPQ 的体积与三棱锥 NPQM 的体积相等,且 NP⊥面 MPQ. 1 1 1 3 ∴VNPQM= × MP·MQ·NP= a , 3 2 6 即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 16.

1.直线与直线的位置关系有三种,直线与平面的位置关系有三种,平面与平面的位置 关系有两种,在判断其位置关系时,要善于采取逐一判断的方法,以免漏掉一种情形. 2.要充分借助长方体、正方体和现实生活中实物模型的辅助作用,研究、解决相关问 题.

5


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