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绵阳市2016年7月考 高二(下)理科试题及答案


高中 2014 级第二学年末教学质量测试
数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1~5 BDBCC 6~10 CACDB 11~12 AB 12.解析:原题意等价于方程 ax=x3 恰有两个不同的解.当 0<a<1 时,y=ax 与 y=x3 的图象只有一个交 点,不符合题意.当 a>1 时,y=

ax 与 y=x3 的图象在 x∈(-∞,0)上没有交点,所以只考虑 x>0,于是 可两边同取自然对数,得 xlna=3lnx,即 lna=

3 ln x 3 ln x 3 ? 3 ln x ,令 g(x)= ,则 g ′( x) = ,于是当 x x x x2

∈(0,e)时,g(x)单增,且当 x<1 时,当 g(x)<0,x∈(e,+∞)时,g(x)单减且 g(x)>0.∴要有两个交点, 0<lna< g(e)=

3 ,即 1<a< e e . e

3

二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13.1 14.-84 15.

2 27

16.

17 2

16. 解析: 由 a+2b=1,得 1≥ 2 2ab ,于是 0<ab ≤ a2+b2+

1 1 1 ,当且仅当 a= , b= 时取“=” .又 8 2 4

1 1 17 1 1 1 1 =(a+2b)2+ -4ab= -4ab+1 在 ab∈ (0 , ] 上单调递减,故 a2+b2+ ≥8+ = . 8 ab ab ab ab 2 2

三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)
17.解:由已知有要使 p 正确,则必有 Δ=(-a)2-4a<0,解得 0<a<4.…………………2 分 由

x+3 ≥0,可得 x≤-3,或 x>2, x?2

∴ 要使 q 正确,则 a>2.………………………………………………………………4 分 由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题可知,p 和 q 有且只有一个正确.………5 分 若 p 真 q 假,则 0<a≤2;………………………………………………………………7 分 若 p 假 q 真,则 a≥4. …………………………………………………………………9 分

∴ 所求 a 的取值范围为 (0 ,2] ∪ [4 ,+ ∞) . 18.解: (1)设小王能进入面试环节为事件 A,

……………………………………10 分

1 3 C62C4 + C6 2 = .………………………………………………………………4 分 则 P(A)= 3 C10 3

(2)设抽到小王会作答的题目的数量为 X,则 X=0,1,2,3,…………………5 分 P(X=0)=
0 3 C6 C4 C1C 2 3 1 = ,P(X=1)= 6 3 4 = , 3 C10 30 C10 10

P(X=2)=

1 3 C62C4 C6 1 1 = = ,………………………………………………9 分 , P ( X =3)= 3 3 C10 2 C10 6

∴抽到小王会作答的题目数量 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

1 30

3 10

1 2

1 6

…………………………………………………………10 分
19.解:(1)f (x)的定义域为(0,+∞), 由 f (x)= ax 2 -lnx,得 f ′( x) =2ax-

1 ,…………………………………………………1 分 x

①若 a≤0,则 f ′( x) <0,于是 f (x)在(0,+∞)上是减函数; ……3 分 ②若 a>0,由 2ax-

2a 1 =0 解得 x= , x 2a

则当 x∈ (0 ,

2a 2a ) 时, f ′( x) <0, f (x)在 (0 , ) 上是减函数; 2a 2a

当 x∈ (

2a 2a ,+ ∞) 时, f ′( x) >0, f (x)在 ( ,+ ∞) 上是增函数.……………5 分 2a 2a

(2)曲线 y= f (x)在 x=t 处的切线方程为 y = f ′(t )( x ? t ) + f (t ) . 当 a= ?

1 1 1 1 时,f (x)= ? x 2 -lnx, f ′( x) =- x- , 8 8 4 x

设 g ( x) = f (x)-[ f ′(t )( x ? t ) + f (t ) ],则 g ′( x) = f ′( x) ? f ′(t ) , 于是 g(t)=0, g ′(t ) = 0 . 设 h(x)= g ′( x) = ?

1 1 1 1 x ? ? f ′(t ) ,则当 x∈(0,2)时, h′( x) = ? + 2 >0, x 4 x 4

∴ g ′( x) 在(0,2)上是增函数,且 g ′(t ) = 0 , ∴ 当 x∈(0,t)时, g ′( x) <0,g(x)在(0,t)上是减函数; 当 x∈(t,2)时, g ′( x) >0,g(x)在(t,2)上是增函数, 故当 x∈(0,t)或 x∈(t,2),g(x)>g(t)=0, ∴ 当且仅当 x=t 时,f(x)= f ′(t )( x ? t ) + f (t ) ,

即当 x∈(0,2)时,曲线 y=f(x)与 l 有且仅有一个公共点.…………………………10 分

以下是选做题,考生只需在第 20、21、22 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
20.(1)证明:∵ CD//AP, ∴ ∠APE=∠ECD, ∵ ∠EDF=∠ECD,∴ ∠APE=∠EDF.又∵ ∠DEF=∠AEP, ∴ △DEF∽△PEA.……………………………………………………………………5 分

(2)解:∵ ∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED,∴ △DEF∽△CED, ∴ DE∶EC=EF∶DE,即 DE2=EF?EC,∵ DE=6,EF=4,于是 EC=9. ∵ 弦 AD、BC 相交于点 E,∴ DE?EA=CE?EB. …………………………………7 分 又由(1)知 EF?EP=DE?EA,故 CE?EB=EF?EP,即 9×6=4×EP, ∴ EP=

27 . 2

…………………………………………………………………………8 分

∴ PB=PE-BE=

15 45 ,PC=PE+EC= , 2 2 15 45 15 3 × ,进而 PA= .……………10 分 2 2 2

由切割线定理得:PA2=PB?PC,即 PA2=

21.解: (1)由已知 ρsin2θ=4cosθ 有 ρ2sin2θ=4ρcosθ, ∴ y2=4x,即曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x.………………………………………3 分 (2)设点 M 对应的参数为 t1,点 N 对应的参数为 t2,则

1 ? x = 1 + t, ? 2 ? 代入 y2=4x 得 3t2-8t-16=0,……………………………………………6 分 把? 3 ?y = ? t ? 2 ?
∴ t1+t2=

8 16 ,t1t2= ? , ………………………………………………………………7 分 3 3

(t1 + t2 ) 2 ? 4t1t 2 1 1 1 1 t1 ? t2 + ∴ = ? = = = 1 .…………………………10 分 MA NA t1 t 2 t1t 2 t1t2
22.解:(1)当 x≤1 时,f(x)=1-x+2-x=3-2x, 于是 f(x)≥3 变为 3-2x≥3,解得 x≤0,即此时不等式 f(x)≥3 的解为 x≤0; 当 1<x<2 时,f(x)=x-1+2-x=1,显然 f(x)≥3 不成立; 当 x≥2 时,f(x)=x-1+x-2=2x-3, 于是 f(x)≥3 变为 2x-3≥3,解得 x≥3,即此时不等式 f(x)≥3 的解为 x≥3. ∴ 综上不等式 f(x)≥3 的解集为{x| x≤0,或 x≥3}. ………………………………5 分 (2)由不等式|a+b|+|a-b|≥af(x)得 ∴ 2≥f(x),即 2≥|x-1|+|x-2|, 同(1)解此不等式得

a +b + a ?b a +b + a ?b a +b+a?b ≥f(x),又∵ ≥ =2, a a a

1 5 ≤x≤ , 2 2

即实数 x 的范围为

1 5 ≤x≤ .………………………………………………………10 分 2 2


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