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《变化率与导数 导数的概念》课件


1.1.2《变化率与导数 -导数的概念》

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 ?

t ? 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度.
? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间 里运动状态.

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
又如何求 瞬时速度呢?

如何求(比如,

当Δt趋近于0时,平均 t=2时的)瞬时速度? 速度有什么变化趋势?

通过列表看出平均速度的变化趋势



瞬时速度
? 我们用

?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h ( t ? ? t ) ? h ( t ) 0 0 lim ?t ? 0 ?t

导数的定义: 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

问题:

? 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1) =6Δ x+(Δ x)2
再求 再求

?f ? 6 ?? x ?x ?y
? x ?0

lim

?x

?6

应用:
1 2 s ? gt 其 例1 物体作自由落体运动,运动方程为: 2 2

中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析:
1 ?s ? s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? 2 g ?t ? g (?t ) 2 2 __ ?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 1 v? ? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t ?t 2

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式,得:

v ? 2.005g ? 20.05m / s.
__

( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2, 从而平均速度 v 的极限为: __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

s

应用:
? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却 和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原由温度的瞬时变化率,并 说明它们的意义。

再求出lim
? x ?0

关键是求出:? f ? 2 x ?? x ? 7 ?? fx

?x

? 2x ? 7

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度; (2)求运动开始后4s时物体的动能。

1 2 ( E ? mv ) 2
?s 25?t ? 3?t 2 v ? lim ? lim ? lim (25 ? 3?t ) ? 25 ?x ? 0 ?t ?x ? 0 ?x ? 0 ?t 1 2 1 E ? mv ? ? 10 ? 252 ? 3125( J ) 2 2

小结:
? 1求物体运动的瞬时速度:

Δ s=s(t+Δ t)-s(t) (2)求平均速度 ? s v? ; ?t (3)求极限 ?s s(t ?? t ) ? s(t ) ? . lim ?t lim ?t
(1)求位移增量
? x ?0 ? x ?0

?

1由导数的定义可得求导数的一般步骤:

Δ y=f(x0+Δ t)-f(x0) (2)求平均变化率 ? y ?x (3)求极限 ' ?y
(1)求函数的增量

f ( x0 ) ? lim
? x ?0

?x

练习:
? ? (1)求函数y= (2)求函数y= 在x=1处的导数.

x

的导数.

4 x2


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