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2016-2017学年高中数学第四章圆与方程4.2.3直线与圆的方程的应练习新人教A版必修2(新)


4.2.3

直线与圆的方程的应用
课后训 练案 巩固提 升

A组 2.直线 x+y-2=0 截圆 x +y =4 得到的劣弧所对的圆心角为(
2 2

)

A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:∵圆心到直线的距离为 d=,圆的半径为 2, ∴劣弧所对的圆心角为

60°. 答案:C 2 2 2 2 3.已知圆 O:x +y =4 与圆 C:x +y -6x+6y+14=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x-y+3=0 D.x-y-3=0 2 2 2 2 解析:圆 x +y =4 的圆心是 O(0,0),圆 x +y -6x+6y+14=0 的圆心是 C(3,-3),所以直线 l 是 OC 的垂直 平分线.又直线 OC 的斜率 kOC=-1,所以直线 l 的斜率 k=1,OC 的中点坐标是,所以直线 l 的方程是 y+=x-,即 x-y-3=0. 答案:D 2 2 4.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:圆心坐标是(3,4),半径是 5,圆心到点(3,5)的距离为 1.根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的 直径)AC 垂直,故最短弦的长为 2=4,所以四边形 ABCD 的面积为|AC||BD|=×10×4=20. 答案:B 2 2 5.圆 x +y =4 上与直线 l:4x-3y+12=0 距离最小的点的坐标是( ) A. B. C. D. 解析:圆的圆心(0,0),过圆心与直线 4x-3y+12=0 垂直的直线方程为 3x+4y=0. 2 2 2 2 2 3x+4y=0 与 x +y =4 联立可得 x =,所以它与 x +y =4 的交点坐标是.又圆上一点与直线 4x3y+12=0 的距离最小,所以所求的点的坐标为. 答案:C 6. 导学号 96640129 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是 . 解析:由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于 1,即<1,|c|<13,-13<c<13. 答案:(-13,13) 2 2 2 2 7.若☉O:x +y =5 与☉O1:(x-m) +y =20(m∈R)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则 线段 AB 的长度是 . 解析:两圆圆心分别为 O(0,0),O1(m,0), 且<|m|<3. 2 2 2 又易知 OA⊥O1A,∴m =() +(2) =25, ∴m=±5,∴|AB|=2×=4. 答案:4
2 2

1

8.(2016 湖北襄阳枣阳二中高三期中)已知点 P(x,y)在圆 x +y -6x-6y+14=0 上. (1)求的最大值和最小值; 2 2 (2)求 x +y +2x+3 的最大值与最小值. 2 2 2 2 解:(1)圆 x +y -6x-6y+14=0 即为(x-3) +(y-3) =4, 可得圆心为 C(3,3),半径为 r=2. 设 k=,即 kx-y=0, 则圆心到直线的距离 d≤r, 即≤2, 2 平方得 5k -18k+5≤0, 解得≤k≤. 故的最大值是,最小值为. 2 2 2 2 (2)x +y +2x+3=(x+1) +y +2 表示点(x,y)与 A(-1,0)的距离的平方加上 2. 连接 AC,交圆 C 于 B,延长 AC,交圆于 D, 可得 AB 为最短,且为|AC|-r=-2=3; AD 为最长,且为|AC|+r=5+2=7, 2 2 2 则 x +y +2x+3 的最大值为 7 +2=51, x2+y2+2x+3 的最小值为 32+2=11. 9. 导学号 96640130 有一种大型商品,A,B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品 运回来,每千米的运费 A 地是 B 地的两倍,若 A,B 两地相距 10 千米,顾客选择 A 地或 B 地购买这种 商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点? 解:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,如图所示.

2

2

设 A(-5,0),则 B(5,0). 在坐标平面内任取一点 P(x,y),设从 A 地运货到 P 地的运费为 2a 元/千米,则从 B 地运货到 P 地的运费为 a 元/千米. 若 P 地居民选择在 A 地购买此商品, 则 2a<a, 2 整理得+y <. 2 即点 P 在圆 C:+y =的内部. 也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物. 同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物. 圆 C 上的居民可随意选择 A,B 两地之一购物. B组 2 2 1.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5) +(y-7) =4,一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是( ) A.6-2 B.8 C.4 D.10 解析:易知点 A 关于 x 轴对称点 A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为=10.故所求最短路程为 10-2=8. 答案:B 2 2 2.若圆 x +y -4x-4y-10=0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( ) A. B.

2

C. D. 2 2 2 2 2 解析:圆 x +y -4x-4y-10=0 可整理为(x-2) +(y-2) =(3) , ∴圆心坐标为(2,2),半径为 3,要求圆上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2,则 圆心到直线 l 的距离应小于等于, ∴, ∴+4+1≤0, ∴-2-≤-2+.∵k=-, ∴2-≤k≤2+, 直线 l 的倾斜角的取值范围是. 答案:B 3.已知 x+y+1=0,则的最小值是 . 解析:表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线 x+y+1=0 上,故最小值为点(-2,-3)到 直线 x+y+1=0 的距离,即 d==2. 答案:2 2 2 4.已知直线 x-2y-3=0 与圆(x-2) +(y+3) =9 相交于 A,B 两点,则△AOB(O 为坐标原点)的面积 为 . 解析:圆心坐标(2,-3),半径 r=3,圆心到直线 x-2y-3=0 的距离 d=,弦长|AB|=2=4.又原点(0,0)到 AB 所在直线的距离 h=,所以△AOB 的面积为 S=×4×. 答案: 2 2 5.已知圆 C:x +y +2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对称点都在圆 C 上,则

a=

.

解析:由题意可知,直线 x-y+2=0 过圆心,所以-1-+2=0,a=-2. 答案:-2 6.某公园有 A,B 两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km 和 2 km,且 A,B 景点间相 距 2 km(A 在 B 的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍 摄效果,则观景点应设在何处? 解:所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识可知,该点应是过 A,B 两点的圆与小路所 在的直线相切时

的切点.以小路所在直线为 x 轴,点 B 在 y 轴上建立空间直角坐标系(如图), 则 B(0,2),A(). 2 2 2 设过 A,B 两点,且与 x 轴相切的圆的方程为(x-a) +(y-b) =b (b>0),因为圆心在 AB 中垂线上,且 中垂线方程是 x-y+=0,所以所以 由实际意义知应舍去, 2 2 所以圆的方程为 x +(y-) =2,与 x 轴的切点即原点,所以观景点应设在 B 景点在小路的射影处. 7. 导学号 96640131 在 Rt△ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点 P 为它的内切圆 C 上任一点,求 点 P 到顶点 A,B,O 的距离的平方和的最大值和最小值. 解:

3

如图所示,以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy,则 A(8,0),B(0,6),内切圆 C 的半径 r==2. ∴圆心坐标为(2,2). ∴内切圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. 2 2 2 设 P(x,y)为圆 C 上任一点,点 P 到顶点 A,B,O 的距离的平方和为 d,则 d=|PA| +|PB| +|PO| =(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2 =3x2+3y2-16x-12y+100 =3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76. ∵点 P(x,y)在圆上,∴(x-2)2+(y-2)2=4. ∴d=3×4-4x+76=88-4x. ∵点 P(x,y)是圆 C 上的任意点,∴x∈[0,4]. ∴当 x=0 时,dmax=88;当 x=4 时,dmin=72.

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