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江西省南昌三中2015-2016学年高二上学期入学考试数学试题


南昌三中 2015—2016 学年度开学考试 高二数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1. 若 a<b<0,则( ) 1 1 a b a < B.0< <1 C. ab >b2 D. > a b b a b 2. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法

从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取 的人数 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 A.

x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为( 3. 不等式 x ?1
A. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}



B. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}

4.下面一段程序执行后输出结果是 ( ) 程序:A=2,A=A*2,A=A+6, 输出 A A. 2 B. 8 C. 10 D. 18 5.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )

A. 4
5

B. 7

10

C. 2
5

D. 9

10

6.已知 ?ABC 中, a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a ? x ? x ? 0 ? , b ? 2, A ? 60° ,若三 角形有两解,则 x 的取值范围是( A. x ? 3 B. 0 ? x ? 2 ) C. 3 ? x ? 2 ) D.有最小值 e ) D. 3 ? x ? 2

7.已知 x ? 1, y ? 1 ,且 ln x, ,ln y ,成等比数列,则 xy( A.有最大值 e B.有最小值 e C.有最大值 e

1 4

1 4

8.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? (

A 5

B 6

C 7

D 8

9.在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个实数 x ,使得 sin x ? ?0, ? 的概率为( 2 A. D.

? 1? ? ?



1

?

B.

1 3

C.

2

?

2 3

10. 已知关于 x 的方程 ?2 x 2 ? bx ? c ? 0 ,若 b,c ??0123 , , , ? ,记“该方程有实数根 x1 ,x2 且满足 ?1 ? x1 A.

? x2 ? 2 ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为(
B.

)

1 4

3 4

C.

7 8

D.

15 16


S?AOB ? ??? ? ??? ? ??? ? ? S OA ? 2 OB ? 4 OC ? 0 ? AOC 11.已知 O 是三角形 ABC 内部一点,满足 ,则 (
3 C、 2
5 D、 3

A、2

B、 5

12.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,| an ? an ?1 |?

1 ( n ? N , n ? 2) ,且 {a2 n?1} 是递减数列, 3n
) C. 11 ?

{a2 n } 是递增数列,则 12a10 ? (
A. 6 ?

1 310

B. 6 ?

1 39

1 310

D. 11 ?

1 39

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知五个数 1, a, b, c,16 成等比数列,则 b = 14. 已知向量 a ? (1, 3) ,向量 a , c 的夹角是

? , a ? c ? 2 ,则 | c | 等于_______. 3

15. 甲、乙、丙、丁四名同学在节日当天分别手工制作了一张卡片,送给除本人外的三 人中的某一个人(每人只得一张卡片) ,可能的结果共有 种 16.设 a1,a2,?,a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+?+a50=9 且(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则 a1,a2,?,a50 当中取零的项共有 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤) 17(10 分) 、设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,
2

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,求 a,b 的值; (2)若 f (1) ? 2, a ? 0, b ? 0 ,求

1 4 ? 的最小值. a b

18. (10 分)从 3 名男生和 2 名女生中任选两人参加演讲比赛,试求: (1)所选 2 人都是男生的概率; (2)所选 2 人恰有 1 名女生的概率; (3)所选 2 人至少有 1 名女生的概率.

19(12 分) 、从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量得到如图 1 的频率分布 直方图,从左到右各组的频数 依次记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,

A5 .
⑴求图 1 中 a 的值; ⑵图 2 是统计图 1 中各组 频数的一个算法流程图,求输 出的结果 S ; ⑶从质量指标值分布在

[80 , 90) 、 [110 , 120) 的产品
中随机抽取 2 件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于 10 的概率.

→→ 1 3 20(12 分) 、如图,在四边形 ABCD 中,AC=CD=2AB=1,AB· AC=1,sin∠BCD=5 (1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积.

21(12 分) 、设函数 f ( x) ? ax ?

x ( x ? 1) , x ?1

⑴当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; ⑵若 a 是从 1,2,3 三个数中任取一个数,b 是从 2,3,4,5 四个数中任取一个数, 求 f ( x) ? b 恒成立的概率.

22 (12 分) 、 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b , 若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立, 则称 (a, b) 为
? 函数 f ( x) 的一个“P 数对” :设函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (1) ? 3 .

(1)若 (a, b) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a, b 的值;
n (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 )(n ? N *) ;

(3) 若 ( ? 2,0 ) 是 f ( x) 的一个 “P 数对” , 且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,
n 求 k 的值及 f ( x) 茌区间 [1,2 )(n ? N *) 上的最大值与最小值.

姓名

南昌三中 2015—2016 学年度开学考试 高二数学答卷

班级
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

学号

答案

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、 15、 14、 16、

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(10 分) 、设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,
2

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,求 a,b 的值;

(2)若 f (1) ? 2, a ? 0, b ? 0 ,求

1 4 ? 的最小值. a b

18. (10 分)从 3 名男生和 2 名女生中任选两人参加演讲比赛,试求: (1)所选 2 人都是男生的概率; (2)所选 2 人恰有 1 名女生的概率; (3)所选 2 人至少有 1 名女生的概率.

19(12 分) 、从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量得到如图 1 的频率分布直方图, 从左到右各组的频数依次记为 A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,

A5 .
⑴求图 1 中 a 的值; ⑵图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S ; ⑶从质量指标值分布在 [80 , 90) 、[110 , 120) 的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽

取两件产品的质量指标值之差大于 10 的概率.

→→ 1 3 20(12 分) 、如图,在四边形 ABCD 中,AC=CD=2AB=1,AB· AC=1,sin∠BCD=5 (1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积.

21(12 分) 、设函数 f ( x) ? ax ?

x ( x ? 1) , x ?1

⑴当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; ⑵若 a 是从 1,2,3 三个数中任取一个数,b 是从 2,3,4,5 四个数中任取一个数, 求 f ( x) ? b 恒成立的概率.

22(12 分) 、对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称
? (a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “P 数对” : 设函数 f ( x) 的定义域为 R , 且 f (1) ? 3 .

(1)若 (a, b) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a, b 的 值;
n (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 )(n ? N *) ;

(3) 若 ( ? 2,0 ) 是 f ( x) 的一个 “P 数对” , 且当 x ? [1,2) 时,f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,
n 求 k 的值及 f ( x) 茌区间 [1,2 )(n ? N *) 上的最大值与最小值.

姓名

班级

学号

南昌三中 2015—2016 学年度开学考试 高二数学答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1. 若 a<b<0,则( C ) 1 1 a b a 2 A. < B.0< <1 C. ab >b D. > a b b a b 2. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( D ) A.7 B.8 C.9 D.10 3. 不等式

x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为( D ) x ?1
B. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}

A. {x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?3或 ? 1 ? x ? 1}

4.下面一段程序执行后输出结果是 ( C ) 程序:A=2,A=A*2,A=A+6, 输出 A A. 2 B. 8 C. 10 D. 18 5.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( A )

A. 4
5

B. 7

10

C. 2
5

D. 9

10

6.已知 ?ABC 中, a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a ? x ? x ? 0 ? , b ? 2, A ? 60° ,若三角 形有两解,则 x 的取值范围是( C ) A. x ? 3 B. 0 ? x ? 2 C. 3 ? x ? 2 D. 3 ? x ? 2 7.已知 x ? 1, y ? 1 ,且 A.有最大值 e

1 1 ln x, ,ln y ,成等比数列,则 xy( B ) 4 4
B.有最小值 e C.有最大值 e D.有最小值 e

8.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( C )

A 5

B 6

C 7

D 8

9.在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个实数 x ,使得 sin x ? ?0, ? 的概率为( B ) 2 A.

? 1? ? ?

1

?

B.

1 3

C.

2

?

D.

2 3

10. 已知关于 x 的方程 ?2 x 2 ? bx ? c ? 0 , 若b 记“该方程有实数根 x1 ,x2 且 c , ??0123 , , , ?, 满足 ?1 ? A.

x1 ? x2 ? 2 ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为(
B.

C D.

)

1 4

3 4

C.

7 8

15 16

S?AOB ? ??? ? ??? ? ??? ? ? S OA ? 2 OB ? 4 OC ? 0 ? AOC 11.已知 O 是三角形 ABC 内部一点,满足 ,则 ( A )
3 C、 2
5 D、 3

A、2

B、 5

12. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,| an ? an ?1 |? 是递增数列,则 12a10 ? ( D ) A. 6 ?

1 ( n ? N , n ? 2) , 且 {a2 n?1} 是递减数列, {a2 n } 3n

1 310

B. 6 ?

1 39

C. 11 ?

1 310

D. 11 ?

1 39

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知五个数 1, a, b, c,16 成等比数列,则 b = 14. 已知向量 a ? (1, 3) ,向量 a , c 的夹角是 4

? , a ? c ? 2 ,则 | c | 等于____2___. 3

15. 甲、乙、丙、丁四名同学在节日当天分别手工制作了一张卡片,送给除本人外的三人中 的某一个人(每人只得一张卡片) ,可能的结果共有 9 种 16.设 a1,a2,?,a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+?+a50=9 且(a1 +1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则 a1,a2,?,a50 当中取零的项共有 11 个 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余 5 题各 12 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤) 17(10 分) 、设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3( a ? 0) ,
2

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,求 a,b 的值;

(2)若 f (1) ? 2, a ? 0, b ? 0 ,求 17. 解:(1) a ? ?1 , b ? 4

1 4 ? 的最小值. a b
(2)

…………5 分

9

…………………10 分

18. (10 分)从 3 名男生和 2 名女生中任选两人参加演讲比赛,试求: (1)所选 2 人都是男生的概率; (2)所选 2 人恰有 1 名女生的概率; (3)所选 2 人至少有 1 名女生的概率. 解: (1)从 3 名男生和 2 名女生中任选两人参加演讲比赛,所有的选法共有 其中,所选 2 人都是男生的选法有 (2) . (3) . =3 种,故所选 2 人都是男生的概率为 =10 种, .

19(12 分) 、从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量得到如图 1 的频率分布直方图,从 左到右各组的频数依次记为 A1 , A2 ,

A3 , A4 , A5 .
⑴求图 1 中 a 的值; ⑵图 2 是统计图 1 中各组频数的一 个算法流程图,求输出的结果 S ; ⑶从质量指标值分布在 [80 , 90) 、

[110 , 120) 的产品中随机抽取 2 件产
品,求所抽取两件产品的质量指标值之 差大于 10 的概率. 19 解:⑴依题意, (2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 10 ? 1 解得 a ? 0.005 ……3 分 ⑵ A1 ? 0.005?10? 20 ? 1 , A2 ? 0.040? 10 ? 20 ? 8 ,

A3 ? 0.030?10? 20 ? 6 , A4 ? 0.020?10? 20 ? 4 ,
A5 ? 0.005?10 ? 20 ? 1……6 分
输出的 S ? A2 ? A3 ? A4 ? 18……8 分 ⑶记质量指标在 [110 , 120) 的 4 件产品为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,质量指标在 [80 , 90) 的 1

?x1 , x3 ? , 件产品为 y1 , 则从 5 件产品中任取 2 件产品的结果为: ?x1 , x2 ?, ?x1 , x4 ?, ?x1 , y1 ? ,

?x2 , x3 ? , ?x2 , x4 ? , ?x2 , y1 ? , ?x3 , x4 ? , ?x3 , y1 ? , ?x4 , y1 ? ,共 10 种……10 分
记 “ 两件产品的质量指标之差大于 10”为事件 A ,则事件 A 中包含的基本事件为:

?x1 , y1 ? , ?x2 , y1 ? , ?x3 , y1 ? , ?x4 , y1 ? 共 4 种……11 分
∴ P ( A) ?

4 2 ? ……12 分 10 5

→ → 1 3 20 ( 12 分) 、如图,在四边形 ABCD 中, AC = CD = 2 AB = 1 , AB ·AC = 1 , sin ∠ BCD = 5

(1)求 BC 边的长; (2)求四边形 ABCD 的面积. 1 解析 (1)∵AC=CD=2AB=1, →→ → → 1 ∴AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠BAC=2cos∠BAC=1.∴cos∠BAC=2,∴∠BAC=60°. 在△ABC 中,由余弦定理,有 1 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=22+12-2×2×1×2=3,∴BC= 3. (2)由(1)知,在△ABC 中,有 AB2=BC2+AC2. ∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90°. 1 1 3 ∴S△ABC=2BC· AC=2× 3×1= 2 . 又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, 3 3 4 sin∠BCD=5,∴cos∠ACD=5.从而 sin∠ACD= 1-cos2∠ACD=5. 1 1 4 2 3 2 ∴ S △ ACD = 2 AC· CD· sin ∠ ACD = 2 × 1 × 1 × 5 = 5 . ∴ S 四 边 形 ABCD = S △ ABC + S △ ACD = 2 + 5 = 4+5 3 10 . 21(12 分) 、设函数 f ( x) ? ax ?

x ( x ? 1) , x ?1

⑴当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; ⑵若 a 是从 1, 2, 3 三个数中任取一个数, b 是从 2, 3, 4, 5 四个数中任取一个数, 求 f ( x) ? b 恒成立的概率.

22(12 分) 、对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b ,若 f ( 2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 (a, b) 为
? 函数 f ( x) 的一个“P 数对” :设函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (1) ? 3 .

(1)若 (a, b) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a, b 的值;
n (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 )(n ? N *) ;

(3)若( ? 2,0 )是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,
n 求 k 的值及 f ( x) 茌区间 [1,2 )(n ? N *) 上的最大值与最小值.

?3a ? b ? 6 ?a ? 1 ?af (1) ? b ? f (2) ? ? ? 6 a ? b ? 9 b?3 af ( 2 ) ? b ? f ( 4 ) ? ? 22: (1)由题意知 ,即 ,解得: ?
k (2)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2 (k ? N*) ,
k ?1 k k 可得 f (2 ) ? f (2 ) ? 1 ,∴ { f (2 )} 是公差为 1 的等差数列
n 0 0 n 故 f (2 ) ? f (2 ) ? n ,又 f (2 ) ? f (1) ? 3 ,故 f (2 ) ? n ? 3 .

4分

(3)当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 ,解得 k ? 4 , 所以, x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的值域是 [3, 4] .

又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“ P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立,

x ? [1, 2) k ?1 k k ?1 x ? [2 , 2 ) ( k ? N *) 当 时, 2 ,

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? (?2) k ?1 f ( k ?1 ) 2 2 4 ,
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2 当 k 为偶数时,f ( x) 在 [2
k ?1

,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ;
所以当 n ? 1 时,f ( x)

k ?1

,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] .

n 在 [1,2 ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; n n ?1 n 当 n ? 3 且为奇数时, f ( x) 在 [1,2 ) 上的最大值为 2 ,最小值为 ?2 ; n n ?1 n 当 n 为偶数时, f ( x) 在 [1,2 ) 上的最大值为 2 ,最小值为 ?2 .


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