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甘肃省天水市秦安县第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题


秦安一中 2015~2016 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科)
命 题: 安小峰 王俊霞 冯和平 审 题: 冯俊业 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)
1.错误!未找到引用源。表示椭圆的( A.充分不必要 B.必要

不充分 )条件. C.充要条件 D.既不充分也不必要 )

2.命题“若 x2+y2=0,x、y∈R,则 x=y=0”的逆否命题是( A.若 x≠y≠0,x、y∈R,则 x2+y2=0 C.若 x≠0 且 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 3.双曲线

B.若 x=y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 )

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
B.

A.

2 5

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5
)

4.已知某物体的运动方程是 S ? t ? A.10 m /s B.9 m /s

1 3 t , 则当 t ? 3 s 时的瞬时速度是 ( 9
C.4 m /s D.3 m /s ) D. ?8

5.抛物线 y ? ax 2 的准线方程是 y ? 2 ? 0 ,则 a 的值为( A.

1 8

B. ?

1 8

C. 8

6.过椭圆 ( )

x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,?1) 的弦恰好被点 P 平分,则这条弦所在的直线程是 6 5

A. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

B. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

C. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

D. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 )

7.动点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上移动时,它与定点 B?3,0? 连线的中点的轨迹方程是 ( A. x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 )

8. 设命题 p:?x∈Z,使 x2+2x+m≤0,则?p 是( A.?x∈Z,使 x2+2x+m>0

B.对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m>0 C.对于?x∈Z,都有 x2+2x+m≤0 D.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 9. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 9
) D.6

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =(
A.12 B.10 C.8

10.函数 f ? x ? 的定义域为开区间 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图象如下图所示,则 函数 f ? x ? 在开区间 ? a, b ? 内有极大值有( )个

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个 )

11.已知直线 y=k(x-1)及抛物线 y 2 ? 2 x ,则( A.直线与抛物线有且只有一个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

12. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 ( ) A.( ?

15 15 , ) 3 3

B.( 0,

15 ) 3

C.( ?

15 ,0 ) 3

D.( ?

15 ,?1 ) 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸上)
13.曲线 y ? ln x 在点 (e,1) 处的切线方程为 14.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 若 ?BAC ? 90? ,AB ? AC ? AA1 , 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于__________. 15. 若 一 个 椭 圆 长 轴 的 长 度 、 短 轴 的 长 度 和 焦 距 成 等 差 数 列 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 是 .

16.若函数 f ( x) ? x ?

p p ? 在 [1,??) 上是增函数, 则实数 p 的取值范围是 x 2

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 17.设 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无

实根, 若 p 且 q 为真,求 m 的取值范围.

x2 ? y 2 ? 1与直线 l : x ? y ? ? ? 0 相切. 18. (本小题满分 12 分)已知椭圆 4
(1)求 ? 的值; (2)设直线 m : x ? y ? 4 5 ? 0 ,求椭圆上的点到直线 m 的最短距离. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 4 (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)求函数 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值.
2 20. (本小题满分 12 分) 过点 (0, 4) ,斜率为 ?1 的直线与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 交于两

?

? ? x ? a ? , a ? R ,且 f ? ? ?1? ? 0 .

点 A、B,如果弦 AB 的长度为 4 10 . (1)求 p 的值; (2)求证: OA ? OB (O 为原点). 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上任 a2 b2

意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线

l 的方程.
22. (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误! 未找到引用源。、错误!未找到引用源。为实数),且曲线错误!未找到引用源。在点错 误!未找到引用源。处的切线错误!未找到引用源。的方程是错误!未找到引用源。. (1)求实数错误!未找到引用源。的值; (2)现将切线方程改写为错误!未找到引用源。,并记错误!未找到引用源。,当错误! 未找到引用源。时,试比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小关系.

秦安一中 2015~2016 学年第一学期单元考试试卷 高二数学(文科)参考答案
一、选择题

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 C

5 B

6 A

7 B

8 B

9 C

10 B

11 C

12 D

二、填空题 13. y ?

1 x e

14. 60? 16. [?1,??)

3 15. 5
三、解答题

17.解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ?
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0

, 所以 m ? 2 ,即

p : m ? 2.
若方程 4 x2 ? 4(m ? 2)x ? 1? 0 无实 根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,即 1 ? m ? 3 , 所以

q :1 ? m ? 3 .
因为 p 且 q 为真, 所以 ?

?m ? 2, ?1 ? m ? 3,

故实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 3 .

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 18.(1)由 ? 4 得: 5 x ? 8? x ? 4? ? 4 ? 0 ,令 V? 0 解得: ? ? ? 5 . ?x ? y ? ? ? 0 ?
(2)最短距离 d ?

3 10 2

.

19. (1) 因为 f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? 4 , f ? ? ?1? ? 0 ,所以 a ?
或x?

1 .令 f ? ? x ? ? 0 , 得 x ? ?1, 2

4 4? ? ?4 ? .所以 f ? x ? 在 ? ??, ?1? , ? , ?? ? 上单调递增;在 ? ?1, ? 上单调递减. 3 3? ? ?3 ?

(2)



20. 解 : ⑴ 直 线 AB 的 方 程 为 y ? ? x ? 4 , 联 立 方 程 ? 得, x 2 ? 2( p ? 4) x ? 16 ? 0 .

? y ? ?x ? 4 ,消去 y 2 ? y ? 2 px

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),得 x1 ? x2 ? 2( p ? 4), x1x2 ? 16, ? ? 4( p ? 4)2 ? 64 ? 0

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
? 2 4( p ? 4) 2 ? 4 ? 16 ? 4 10
⑵ x1 ? x2 ? 2( p ? 4) ? 12, x1 x2 ? 16 解得 p ? 2

? x1x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (? x1 ? 4)(? x2 ? 4) ? 2x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 ?16 ? 4 ?12 ? 16 ? 0 ? OA ? OB
21. (1)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 ,解得 a ? 3 , c ? 6 ,
2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (2)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 .

2 因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 解得 k ?

1 . 9

12 k 3 , x1 x 2 ? . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 12 k 4 ?4? ? 计算 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ). 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 ? ?1 2 ? k ? ?1 , 解得 k ? ?1 . 因为 PA = PB ,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1 ,所以 1 ? 3k 6k 1 ? 3k 2
设 A( x1 , y 1 ) ,B( x2 , y 2 )则 x1 ? x 2 ? 经检验符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

22. (1) 由错误!未找到引用源。及条件可得错误!未找到引用源。,
化得错误!未找到引用源。,又易知错误!未找到引用源。,化得错误!未找到引用源。解得 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 记错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。, 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。递增, 当 错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。递减, 故当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以当错误!未找到引用源。时, 错 误!未找到引用源。.


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