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关于球的考查分类及其对策


关于球的考查分类及其对策 高考中时常出现与球有关的题目的考查,这类题目具有一定的难度.考试说 明中对这类题目有如下要求: 掌握球的表面积和体积公式,解决与球的截面有关 的问题.这就是这类题目既有可能考查,但又不作过难考查.故题目的考查多出 现在选择题、填空题中.因此要想解决好球的问题,必须心中有数,明确大纲要 求, 防止复习方向出现偏差, 下面就这类问题的考查分类及解决对策谈一些

看法. 一、考查与球相切的问题 球的相切问题比较容易解决,关键是抓住相切时的实质,即切点到球心的距 离等于其半径. 例 1 设正方体的全面积为 的体积是( ) ,一个球内切于此正方体,那么这个球 (A) (B) (C) ,球的半径为 ,则 (D) ,又 , 分析 设正方体的棱长为 故 . ∴ ,故选(B) 例 2 已知轴截面是正方形的圆柱与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的 表面积之比是( ) (A)6:5 分析 (B)5:4 (C)4:3 (D)3:2 ,则 , 这里实质上是球内切于一个圆柱.设球的半径为 ,得 ,故选(D). 二、考查球的内接问题 把一个多面体的几个顶点放在球面上, 或把一个旋转体的顶点及底面放在球 面上来考查有关问题, 即球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点 (即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径,或旋转体的轴截面是平面图 形).发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解. 例3 已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面通过球心,母线与 ,则圆台的体积与球的体积之比为_____________. 底面所成的角为 分析 半径为 如图,这是圆台和球 ,由已知可得 .所以 .过 的截面图.设圆台的轴截面为 , 作 于 ,则 ,球的 ,故 . ∴ , . ∴ . 例 4 长方体的一个顶点上三条核的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都 在同一个球面上,则这个球的表面积是( ) (A) (B) (C) (D) 分析 是 注 设球的半径为 ,则由已知得 ,故 .于 .故选(C). 这类问题有时根据图的特殊性,可利用补图法妙解. 三、考查球面上的点与球的关系 这类问题多是通过球面上的三点(由于不共线)得到一个小圆,再利用小圆 的特殊性达到考查球的半径、面积、体积之目的.解决这类问题关键是抓住小圆 上的点(即球面上的点)到球心的距离等于半径及公式 圆圆心到球心的距离, 为球的半径, 为小圆的半径). 例 5 已知球面上 一半,且 , ( 为小 , 三点的截面到球心的距离等于球的半径的 ,则球的面积是( ) (A) 分析 (B) 如图, 设过 , 、 , (C) (D) , , 三点的截面小圆与球的半径分别为 , ,得 截面圆心、球心分别为 , .由已知,得 .由 .故选(D).

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