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浙江省绍兴市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题


浙江省绍兴市第一中学 2015-2016 学年高二数学下学期期末考试试 题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i ,则 A.第一象限

1 2 ? z 对应的点所在 象限为( z
B.第二象限

) D.第四象限 ) D. b ? c ? a

C.第三象限

2.设 a ? ? ? , b ? lg?sin 2?, c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. b ? a ? c

? 3? ? 2?

0.1

3.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 , g ( x) ? log2 | x | ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为 ( )

A.

B.

C.
?

D.

4.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75 、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( A. ) D. 34 2 海里/时

17 6 海里/时 2

B. 34 6 海里/时

C.

17 2 海里/时 2

5.已知函数 f ( x) ? ?2 sin(2 x ? ? ) (| ? |? ? ) ,若 f ( ) ? ?2 ,则 f ( x) 的一个单调递增区

?

8

间可以是( A. ?? , ? ? 8 8 ?

) B. ? , ? ?8 8 ?

? ? 3? ?

? 5? 9? ?

C. ?? , ? ? 8 8?

? 3? ? ?

D. ? , ? ?8 8 ?

? ? 5? ?

6.已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 E 是左顶点,过 F 且垂直于 a2 b2
?AEF ? 1 , 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 (


x 轴的直线与双曲线交于点 A , a t 若n
A. ?1, ? ?? B. 1, 1 ? 2

?

?

C. ?1, 2 ?

D. 2, 2 ? 2

?

?

7.若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称

1

y ? f ( x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是(
A. y ? ln x B. y ? sin x C. y ? e x

) D. y ? x3

2 8. 已知函数 f ? x ? ? x ? R ? 是以 4 为周期的奇函数, 当 x ? ? 0,2? 时,f ? x ? ? ln x ? x ? b .

?

?

若函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 内有 5 个零点,则实数 b 的取值范围是( A. ?1 ? b ? 1 B.



1 5 ?b? 4 4

C.

5 1 ? b ? 1或 b ? 4 4

D. ?1 ? b ? 1 或 b ?

5 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分. 9.函数 y ? cos2 x ? 3sin x cos x 的最小正周期是 ▲ ,最小值是 ▲ ▲ . ;抛物线 C

10.若抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则实数 p ? 的准线方程为 ▲ .

11.在 ?ABC 中,a、 b 分别为角 A、 B 的对边,如果 a ? 2 ,b ? 7 , B ? 60? ,则 ?ABC 的 面积等于 ▲ .

12.已知 ? 是第四象限角, 且 sin(? ?

?
4

)?

3 i n ? ? , 则s 5



,tan(? ?

?
4

)?



.

13.在平面上, 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.若点 P (?1,0) 在直线 ax ? y ? a ? 2 ? 0 上的投影是 Q ,则 Q 的轨迹方程是
?2 x?1 , x≤0 )? 14.已知 f ( x) ? ? ,则 f (2016 f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x?0 ?

▲ .

.



15. x ? R 时,如果函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,那么称函数 f ( x) 是函数 g ( x) 的“优越函 数”.若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 2? | 2 x ? 1 | 是函数 g ( x) ?| x ? m | 的“优越函数”,则实 数 m 的取值范围是 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 8 分)设函数 y ? lg(? x 2 ? 4 x ? 3) 的定义域为 A ,函数 y ?

2 , x ? (0, m) x ?1

的值域为 B . (Ⅰ)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (Ⅱ)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

2

17.(本题满分 8 分)设△ ABC 的三内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 ?2b ? c ?cos A ? a cosC . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.

18.(本小题满分 10 分)已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两个端 a 2 b2

点是正三角形的三个顶点,点 P ? 3, (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为

? ?

1? ? 在椭圆 E 上. 2?

1 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A , B ,线段 AB 的中点 2

为 M ,直线 OM 与椭圆 E 交于 C , D ,证明: MA ? MB ? MC ? MD .

19. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? kx ? log2 (4x ? 1)(k ? R) 是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? log2 (a ? 2 x ? 4a) ,其中 a ? 0 .若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有 一个交点,求 a 的取值范围.

3

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 1? m 2 x , g ( x) ? x ? x , m ? R ,令 2 2

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? m x ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值; (Ⅲ)若 m ? ?1 ,且正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 3 ?1 .

4

绍兴一中高二期末数学试卷 命题:杨瑞敏 校对:言利水 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i ,则 A.第一象限
0.1

1 2 ? z 对应的点所在 象限为(D ) z
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? 3? 2.设 a ? ? ? , b ? lg?sin 2?, c ? log3 2 ,则 a,b,c 的大小关系是(A ) ? 2?
A.a>c>b B.a>b>c
2

C.b>a>c

D.b>c>a

3 .已知函数 f ? x? ? ? x ? 2, g ? x? ? log2 x ,则函数 F ? x? ? f ? x? ? g? x? 的大致图象为 ( B)

4.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( A ) A. 海里/时 B.34 海里/时 C. 海里/时 D.34 海里/时

若 f ( ) ? ?2 , 则 f ( x) 的一个单调递增区 5. 已知函数 f ( x) ? ?2 sin(2 x ? ? ) (| ? |? ? ) ,

?

8

间可以是(D )

? ? 3? ? A. ? ? , ? ? 8 8 ?
6.已知点 F 是双曲线

? 5? 9? ? B. ? , ? ? 8 8 ?

? 3? ? ? C. ? ? , ? ? 8 8?

? ? 5? ? D. ? , ? ?8 8 ?

=1(a>0,b>0)的右焦点,点 E 是左顶点,过 F 且垂直于

x 轴的直线与双曲线交于点 A, 若 tan∠AEF<1, 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( C )

A.(1,+∞)

B.(1,1+



C.(1,2)

D.(2,2+



【解答】解:由题意可得 E(﹣a,0),F(c,0), |EF|=a+c,
5

令 x=c,代入双曲线的方程可得 y=±b





在直角三角形 AEF 中,tan∠AEF= 可得 b <a(c+a), 由 b =c ﹣a =(c﹣a)(c+a),可得 c﹣a<a,即 c<2a,
2 2 2 2

=

<1,

可得 e= <2,但 e>1,可得 1<e<2. 故选:C.

7.若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y ? f ( x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( B) (A) y ? ln x 【答案】B 试题分析:当 y ? sin x 时, y? ? cos x ,cos 0 ? cos ? ? ?1 ,所以在函数 y ? sin x 图象存在 两点 x ? 0, x ? ? 使条件成立,故 B 正确;函数 y ? ln x, y ? e , y ? x 的导数值均非负,不
x 3

(B)

y ? sin x

(C) y ? e x

(D) y ? x3

符合题意,故选 B. 考点:1.导数的计算;2.导数的几何意义.
2 8. 已知函数 f (x) (x ? R) 是以 4 为周期的奇函数, 当 x? (0, 2) 时, f ? x ? ? ln x ? x ? b

?

?

若函数 f(x)在区间[-2,2]内有 5 个零点,则实数 b 的取值范围是( A. ?1 ? b ? 1 B.

C )

1 5 ?b? 4 4

C.

1 5 ? b ? 1 或 b= 4 4

D. ?1 ? b ? 1 或 b=

5 4

∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故 f(0)=0,即 0 是函数 f(x)的零点,又由 f(x)是定义在 R 上且以 4 为周期的周期函 数,故 f(-2)=f(2),且 f(-2)=-f(2),故 f(-2)=f(2)=0, 即±2 也是函数 f(x)的零点,若函数 f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为 5, 2 则当 x∈(0,2)时,f(x)=ln(x -x+b), 2 故当 x∈(0,2)时,x -x+b>0 恒成立, 2 且 x -x+b=1 在(0,2)有一解,

?1 ? 1 ? 4b ? 0 ,所以 b ?

1 4



6

令 f ? x ? ? x2 ? x ? b ?1 ,所以 ?2 ? 0 或 ?

? 5 ? f ?1? ? 0 ,即 b ? 或 ?1 ? b ? 1 4 ? ? f ? 2? ? 0



由①②得 b ? ? ,1? ? ? ? . 二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分. 9.函数 y ? cos2 x ? 3sin x cos x 的最小正周期是

? 1 ? ?5? ? 4 ? ?4?

?

,最小值是

. ?

1 2

10. 若抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则实数 p ? 的准线方程为 . 6 ; x ? ?3

;抛物线 C

11. 在 ?ABC 中,a、 b 分别为角 A、 B 的对边, 如果 a ? 2 ,b ? 7 ,B ? 60? , 那么 ?ABC 的面积等于
3 3 2

12.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ + 【答案】 ? 【解析】

π 3 )= ,则 sinθ = 4 5

.tan(θ –

π )= 4

.

2 10

?

4 3

π π 3 ? sin ? sin ? cos ? cos ? , ? π 3 π 4 ? 4 4 5 试题分析: 由题意,sin(? ? ) ? , cos(? ? ) ? , ? ? 解得 4 5 4 5 ?cos ? cos π ? sin ? sin π ? 4 , ? 4 4 5 ?

1 ? 1 π sin ? ? , ? ?1 tan ? ? tan ? π 4 1 ? ?5 2 4 ? 7 ?? . 所以 tan ? ? ? , tan(? ? ) ? ? 7 4 1 ? tan ? tan π 1 ? 1 ?1 3 ?cos ? ? 7 , 4 7 ? 5 2 ?
13.在平面上, 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.若点 P (?1,0) 在直线 ax ? y ? a ? 2 ? 0 上的投影是 Q ,则 Q 的轨迹方程是 x +(y+1) =2
2 2



解:直线 ax ? y ? a ? 2 ? 0 恒过定点 M(1,﹣2) ∵点 P(﹣1,0)在直线 ax ? y ? a ? 2 ? 0 上的射影是 Q ∴PQ⊥直线 l 故△PQM 为直角三角形,Q 的轨迹是以 PM 为直径的圆. 2 2 ∴Q 的轨迹方程是 x +(y+1) =2.
7

?2 x?1 , x≤0 14.已知 f ( x) ? ? ,则 f (2016) = f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x?0 ? 解析: f ( x) ? ? f ( x ? 3),T ? 6

▲ .

1 2

15. x∈R 时, 如果函数 f(x)>g(x)恒成立, 那么称函数 f(x)是函数 g (x) 的 “优越函数” . 若 2 函数 f(x)=2x +x+2-|2x+1|是函数 g(x)=|x-m|的“优越函数”,则实数 m 的取值范围是 ▲ .

15. ( ?

1 解析: ,1) 2

题设条件等价于

2 x2 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? m


对 x?R 恒 成 立 .分别作出函数

F ( x) ? 2x2 ? x ? 2 ? 2x ?1

G( x) ? x ? m

.

G( x) ? x ?1

1 ? ? m ?1 由数形结合知, 2
三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2 16 . ( 本 题 满 分 8 分 ) 设 函 数 y ? lg(? x ? 4x ? 3) 的 定 义 域 为 A , 函 数

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1 (1)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 2 解: (1)由 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) , 2 2 2 , 2) ,即 B ? ( , 2) , 又函数 y ? 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1 m ?1 2 当 m ? 2 时, B ? ( , 2) , 3 所以 A ? B ? (1, 2) . ????4 分 (2)首先要求 m ? 0 y?

8

而“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 B ? A ,即 (
?

2 ,2) ?(1,3) ? m ?1

?6 分

2 ? 1 , 解得 0 ? m ? 1 . ??8 分 m ?1 17.(本小题满分 8 分)设△ ABC 的三内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 ?2b ? c ?cos A ? a cosC . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 ?2b ? c ?cos A ? a cosC 得: (2 sin B ? sin C) cos A ? sin A cos C 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? sin B , 1 ∴ cos A ? , 2 π 故A? ; -------------------------------4 分 3 π (Ⅱ)由 a ? 1, A ? ,根据余弦定理得: 3 2 2 b ? c ? bc ? 1 , 2 ∴ (b ? c) ? 3bc ? 1 ,---------------------------------6 分
从而

?b?c? ∴ (b ? c) ? 1 ? 3bc ? 3 ? ? , ? 2 ?
2

2

∴ (b ? c) ? 4 ,得 b ? c ? 2 , 又由题意知: b ? c ? a ? 1 , 故: 1 ? b ? c ? 2 .
2

------------------------8 分

18. (本小题满分 10 分)已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两个端 a 2 b2

点是正三角形的三个顶点,点 P ? 3, (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为

? ?

1? ? 在椭圆 E 上. 2?

1 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A , B ,线段 AB 的中点 2

为 M ,直线 OM 与椭圆 E 交于 C , D ,证明: MA ? MB ? MC ? MD .

9

19.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? log2 (4 ? 1)(k ? R) 是偶函数.
x

(I)求 k 的值;
x (II)设函数 g ( x) ? log2 (a ? 2 ? 4a) ,其中 a ? 0 .若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一

个交点,求 a 的取值范围.
10

19.

经验证,当 k=-1 时,f(-x)=f(x)成立,所以 k=-1.????????2 分 法二:由 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 得 ? 2k ? 2? x ? 0 恒成立,所以 k ? ?1

20 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 1? m 2 x , g ( x) ? x ? x ,m ? R , 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2 2

(Ⅰ)求函数 f(x )的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? m x ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值; (Ⅲ)若 m ? ?1 ,且正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 3 ?1 .

11

20(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0}, f ?( x) ? 得 0 ? x ? 1, 所以 f(x)的单调递增区间为 (0,1).-----------2 分 (Ⅱ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 令 G ( x) ? F ( x) ? (mx ? 1) ? ln x ?

1 1 ? x2 ?x? ( x ? 0) ,由 f ?( x) ? 0 , x x

1 2 mx ? x, x ? 0 . 2

1 2 mx ? (1 ? m) x ? 1 , 2

则不等式 F ( x) ? m x ? 1 恒成立,即 G ( x) ? 0 恒成立.

G?( x) ?

1 ? m x2 ? (1 ? m) x ? 1 .--------4 分 ? m x ? (1 ? m) ? x x

①当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G?( x) ? 0 所以 G ( x) 在 (0,??) 上是单调递增函 数, 又因为 G (1) ? ln 1 ?

1 3 m ? 12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0 , 2 2
--------6 分

所以关于 x 的不等式 G ( x) ? 0 不能恒成立. ②当 m ? 0 时,
2

G?( x) ?

? mx ? (1 ? m) x ? 1 ?? x
1 , m

m( x ?

1 )(x ? 1) m x

令 G?( x) ? 0 ,因为 x ? 0 ,得 x ? 所以当 x ? (0,

1 1 ) 时, G?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,?? ) 时, G?( x) ? 0 .[ m m 1 1 ) 是增函数,在 x ? ( ,?? ) 是减函数.---m m
7分

因此函数 G ( x) 在 x ? (0, 故函数 G ( x) 的最大值为

1 1 1 1 1 1 G ( ) ? ln ? m ? ( ) 2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? ln m .---m m 2 m m 2m
令 h( m) ?

8分

1 ? ln m ,因为 h(m) 在 m ? (0,??) 上是减函数, 2m 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 . 2 4
----10 分
12

又因为 h(1) ?

所以整数 m 的最小值为 2.

(Ⅲ) m ? ?1 时, F ( x) ? ln x ?

1 2 x ? x, x ? 0 2
1 2 1 2 x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? 0 , 2 2
---- 11 分

由 F ( x1 ) ? ? F ( x2 ) , 得 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 , 即 ln x1 ? 整理得,

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ln( x1 x2 ) 2

令 t ? x1 ? x2 ? 0 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ? 递减,在区间 (1,??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ? ? (1) ? 1 , 所 以

t ?1 ,可知 ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调 t

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2







x1 ? x2 ? ? 3 ? 1 x1 ? x2 ? 3 ? 1,
因为 x1 , x2 为正实数,所以 x1 ? x2 ? 3 ? 1成立. ----12 分

13



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