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2013届盐城市高三考前突击精选模拟试卷数学卷4


江苏省盐城市 2013 届高三考前突击精选模拟试卷数学卷 4

数学Ⅰ
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共 70 分. 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 的离心率为 答案: 2 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i (是虚数单位) ,则 z =

答案:1 + 2i 3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 答案:2,1 4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 答案:0.02 5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x 2 ? x ? 2≥ 0,x ? Z ,则 ?U A ? 答案:{0,1} 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2 答案:0 7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 答案: 2 9 8. 设 P 是函数 y ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c Print a,b
(第 3 题)



.

?

?



(用列举法表示).

为 ? ,则 ? 的取值范围是 答案: ? π ,π ?3 2 ?

?
1 2

9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? log x,y?x ,y?

2 2

? ? 的图象上,且矩形
2 2
x

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 答案: 1 ,1 2 4 ▲ .

? ?

10.观察下列等式:

13 ? 1 ,
13 ? 23 ? 9 , 13 ? 23 ? 33 ? 36 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100 ,

?? 猜想: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ? ▲ ( n ? N* ).

? n(n ? 1) ? 答案: ? ? 2 ? ?

2

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形 B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形 中,面积的最大值为 答案:12 12.若 a1 x≤ sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? 2? ? ? 答案: 1 ? 2 π 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆
2 x 2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭圆 a 2 b2



.



. y B

F1

O

F2 D

x

的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若
cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25



.

C
(第 13 题)

答案: 12 25

14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ . 答案: 二、解答题 15.满分 14 分. 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

?5,8? 3 7

(1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C 解: (1)由正弦定理,得 sin A ? a . sin B b 从而 2sin A cos C ? sin B 可化为 2a cos C ? b .????????????3 分
2 2 2 由余弦定理,得 2a ? a ? b ? c ? b . 2ab

整理得 a ? c ,即 a ? 1 . c

?????????????????7 分

(2)在斜三角形 ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin(2 A ? B) ? 3sin B 可化为 sin ? ? ? ? A ? C ? ? ? 3sin ? ? ? ? A ? C ? ? , ? ? ? ? 即 ? sin ? A ? C ? ? 3sin ? A ? C ? .?????????????????10 分 故 ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) . 整理,得 4sin A cos C ? ?2 cos A sin C , ?????????????12 分 因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 0 , 所以 tan A ? ? 1 . tan C 2 16.满分 14 分. 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1 D , AB ? AD .求证: D1 (1) AA1 ? BD ; A1 (2) BB1 // DD1 . 证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1 M , 因为 A1 D ? A1 B , AD ? AB , A D M B
(第 16 题)

??????????????????14 分

C1 B1

C

所以 BD ? AM , BD ? A1 M .????????????????3 分 又 AM ? A1 M ? M , AM 、A1 M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM . 而 AA1 ? 平面 A1 AM , 所以 AA1 ? BD .??????????????????????7 分 (2)因为 AA1 // CC1 ,
AA1 ? 平面 D1 DCC1 , CC1 ? 平面 D1 DCC1 ,

所以 AA1 // 平面 D1 DCC1 .

????????????????9 分

又 AA1 ? 平面 A1 ADD1 ,平面 A1 ADD1 ? 平面 D1 DCC1 ? DD1 ,????11 分 所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 , 所以 BB1 // DD1 . ??????????????????????14 分

17.满分 14 分. 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用 5 时 1 小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 5 3 名志愿者加入 B 组继续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* ,
150 ? 2 5 ? 60 ;?????????????2 分 则 A 组活动所需时间 f ( x) ? x x 200 ? 1 2 ? 100 .?????????????4 分 B 组活动所需时间 g ( x) ? 52 ? x 52 ? x

令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x 所以两组同时开始的植树活动所需时间
? 60 , x≤19,x ? N*, ?x ?????????????????6 分 F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x

而 F (19) ? 60 , (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . F 19 8 所以当 A、B 两组人数分别为 20, 时,使植树活动持续时间最短.????8 分 32
150 ? 2 ? 20 ? 1 5 ? 3 6 (小时) (2)A 组所需时间为 1+ ,??????????10 分 20 ? 6 7 200 ? 2 ? 32 ? 1 3 ? 3 2 (小时) B 组所需时间为 1 ? ,??????????12 分 32 ? 6 3

所以植树活动所持续的时间为 3 6 小时.????????????14 分 7 18.满分 16 分. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 , 圆 C2 :

( x ? 3)2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 .
(1)若过点 C1 (?1, 的直线被圆 C2 截得的弦长为 0)
6 ,求直线的方程; 5

y
l1 l2 C2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的 坐标;若不经过,请说明理由. 解: (1)设直线的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 .

C

C1

O



x

因为直线被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5 所以圆心 C2 (3, 到: kx ? y ? k ? 0 的距离为 4)
4k ? 4 k2 ?1

(第 18 题)

? 4 .????????3 分 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (2)①证明:设圆心 C ( x, ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , y 即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 , 即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动. ???????????10 分 ②圆 C 过定点,设 C (m,3 ? m) , 则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1) 2 ? (3 ? m) 2 . 于是动圆 C 的方程为 ( x ? m) 2 ? ( y ? 3 ? m) 2 ? 1 ? (m ? 1) 2 ? (3 ? m) 2 . 整理,得 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 . ???????????14 分 ???????6 分

? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? ? 2 ? 2

所以定点的坐标为 1 ? 3 2, ? 3 2 , 1 ? 3 2, ? 3 2 .????16 分 2 2 2 2 2 2 19.满分 16 分. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2? 解: (1)由题意,得 f ?( x) ? 1 ? cos x≥0 . 所以函数 f ( x) ? x ? sin x 在 R 上单调递增. 设 P( x1,1 ) , Q( x2, 2 ) ,则有 y y

?

? ?

?

y1 ? y2 ? 0 ,即 k PQ ? 0 . ???????6 分 x1 ? x2

(2)当 a≤0 时, f ( x) ? x ? sin x≥0≥ax cos x 恒成立.??????????8 分 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? f ( x) ? ax cos x ? x ? sin x ? ax cos x ,
g' ( x) ? 1 ? cos x ? a(cos x ? x sin x) ? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x .

①当 1 ? a≥0 ,即 0 ? a≤1 时, g' ( x) ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 g ( x)≥g (0) ? 0 ? sin 0 ? a ? 0 ? cos 0 ? 0 ,符合题意.???????10 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,令 h( x) ? g' ( x) ? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x , 于是 h' ( x) ? (2a ? 1)sin x ? ax cos x . 因为 a ? 1 ,所以 2a ? 1 ? 0 ,从而 h' ( x)≥0 . 所以 h( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 h(0)≤h( x)≤h π ,即 2 ? a≤h( x)≤ π a ? 1 , 2 2 亦即 2 ? a≤g' ( x)≤ π a ? 1 . 2 ?????????????????12 分

??

(i)当 2 ? a≥0 ,即 1 ? a≤2 时, g' ( x)≥0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数.于是 g ( x)≥g (0) ? 0 ,符合题意.????14 分 ? 2?

(ii)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,存在 x0 ? 0,π ,使得 2 当 x ? (0,0 ) 时,有 g' ( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在 (0,x0 ) 上为单调减函数, x 从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 a≤2 . 20.满分 16 分. 设数列{ an }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* , 存在 k ? N* , 使得 an ? k 2 ? an ? an ? 2 k 成立, 则称数列{ an }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ an }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ an }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ an }是等比数列.
a 解: (1)由题意,得 a2 , a4 , a6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 8 a2

? ?

?????????????16 分

? ?

1 3

?1, 2

所以 a2 n ? a2 q n ?1 ? 1 2

??

n?4



??????????????????4 分

(2)证明:由{ an }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a5 , a9 , a13 , a17 , a21 ,?成等比数列,设公比为.???????6 分

由{ an }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a4 , a7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ?1 ; a2 , a5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a6 , a9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ? 3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ? 2 4 ? t 3 , 21 ? ? 34 ? t 3 . a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ,且 t ? ? 3 .???????12 分 于是 a3k ? 2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ? 2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3 k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3 k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ an }为等比数列.

??????????16 分

数学Ⅱ附加题
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 满分 10 分. 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC ? 3 ,CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB, 垂足 为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. 解:连接 AD、DO、DB. 由 AE∶EB ? 3∶1,得 DO ∶ OE ? 2∶1. 又 DE⊥AB,所以 ?DOE ? 60? . 故△ ODB 为正三角形.???????????5 分 于是 ?DAC ? 30? ? ?BDC . 而 ?ABD ? 60? ,故 ?C ? 30? ? ?BDC . 所以 DB ? BC ? 3 . 在△ OBD 中, DE ? 3 DB ? 3 .?????????????????10 分 2 2 A · O E B C D

(第 21-A 题)

B.选修 4—2:矩阵与变换 满分 10 分.
?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 ?1 0 ?

P(4, 1) ,

求实数 k 的值.
? x ? ? x? ? ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? x? ? y, 解:设变换 T: ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ? ? y ? ? ? x ? ,即 ? y ? ? x. ??????5 分 ? y ? ? y ?? ? y ?? ?1 0 ? ? ? ? ? ?

代入直线 y ? kx ,得 x? ? ky ? . 将点 P(4, 代入上式,得 k ? 4. ??????????????????10 分 1)

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 满分 10 分. 在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1 相切,求实数 a 的值. ? 解:将圆 ? ? a sin ? 化成普通方程为 x 2 ? y 2 ? ay ,整理,得 x 2 ? y ? a 2

?

?

?

?

2

将直线 ? cos ? ? ? ? 1 化成普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .????????6 分 ?
?a ? 2 由题意,得 2 ? a .解得 a ? 4 ? 2 2 . ???????????? 10 分 2 2

?

?

2 ?a . 4

D.选修 4—5:不等式选讲 满分 10 分. 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 . 证明:
(a ? 2)(b ? 2)(c ? 2) ? (a ? 1 ? 1)(b ? 1 ? 1)(c ? 1 ? 1)
≥3 ? 3 a ? 3 ? 3 b ? 3 ? 3 c ? 27 ? 3 abc
? 27 (当且仅当 a ? b ? c ? 1 时等号成立).????????????10 分

????????????????4分

22. 【必做题】满分 10 分.

2an ( n ? N* ) . 已知数列{ an }满足: a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 1 2
(1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立. (1)解:由题意,得 a2 ? 2 , 3 ? 4 .???????????????????2 分 a 3 5 (2)证明:①当 n ? 1 时,由(1) ,知 0 ? a1 ? a2 ,不等式成立.???????4 分 ②设当 n ? k (k ? N* ) 时, 0 ? ak ? ak ?1 成立,??????????6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 .

而 ak ? 2 ? ak ?1 ?

2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2ak 2(ak ?1 ? ak ) ? ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 , 即当 n ? k ? 1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 成立.???????10 分

23. 【必做题】满分 10 分. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在 原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线在 x 轴上 方的不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD , 与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交于点 M , 直线 AD 与直线 BC 交于点 N . (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , 求证:直线 AB 过定点. 解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由题意,得

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .????????????????3 分 (2)设 A( x1,1 ) , B( x2, 2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y y 由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y ? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) , 且 C 点坐标为 (? x1, . 0) 同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,② 且 D 点坐标为 (? x2, . 0) ①

由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ?

x1 y2 ? x2 y1 .????????????????5 分 y1 ? y2 y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2 x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

由③④消去 y ,得 xN ?

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴.??????????????????7 分 (3)由题意,设 M (1, 0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y 所以 A( x1,1 ), ( x2, 2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . y B y 所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) . 故直线 AB 过定点 (?1, .???????????????????10 分 0)


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