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【解答】清北学堂2015年寒假数学联赛模拟(李建泉)


清北学堂 2015 年寒假数学联赛模拟(李建泉命制)
? 的中点分别为 M , N ,对角线 1.已知梯形 ABCD 内接于 ? O ,且 AD // BC , ? AD, BC
AC , BD 交于点 E ,过点 E 作 CD 的垂线,与 ?ABE 的外接圆交于点 F ,设 ?ABE 的内心
为 I ,过 M , N 分别作 BD, AC 的垂线,

垂足分别为 P, Q ,证明 FI ? PQ 。 证明:因为 ?FAE ? ?FAB ? ?BAE ? ?FEB ? ?BDC ? 90? ,所以 EF 为 ?ABE 的

1 因为 BM ?a ? b ? c? , 2 是 ?ABE 的角平分线, EM 是 ?AEB 的外角平分线,所以 M 是 ?ABE 中 ? B 内的旁心。
直径。 设 ?ABE 的内切圆半径为 r , BE ? a, AE ? b, AB ? c, p ? 同 理 可 得 N 是 ?ABE 中 ? A 内 的 旁 心 , 于 是 有 BP ? AQ ? p 。 因 为

?FAQ ? ?FBP ? 90? ,所以 FQ 2 ? FP 2 ? ? FA2 ? AQ 2 ? ? ? FB 2 ? BP 2 ? ? FA2 ? FB 2
? ? EF 2 ? b 2 ? ? ? EF 2 ? a 2 ? ? a 2 ? b 2 。
设 ?ABE 的内切圆与 BE, AE 分别切于点 X , Y ,则

YQ ? AQ ? AY ? p ? ? p ? a ? ? a, XP ? BP ? BX ? p ? ? p ? b? ? b
?IYQ ? ?IXP ? 90? ,所以









IQ 2 ? IP 2 ? ? IY 2 ? YQ 2 ? ? ? IX 2 ? XP 2 ? ? ? r 2 ? a 2 ? ? ? r 2 ? b 2 ? ? a 2 ? b 2







F

2

Q ?

2 F ? P

2

,从而可得 ? I Q2 FI ? I PQ P。

2. 已 知 n 为 正 整 数 , a1 , a2 ,?, an 为 正 实 数 , 设 Si ?
n ? n Si ? ? 4 n ai 2 。 ? ?? i ? i ?1 ? i ?1 ? 2

, n ,? ,证明 ? a ?i ? 1, 2?
j ?1 j

i

证明 设 bi ?

n n Si ? i ? 1, 2,? , n ? ,下面先证明 ? bi 2 ? 2? aibi 。 i i ?1 i ?1

对于 i ? 2,3,?, n ,有

2aibi ? bi 2 ? 2 ?ibi ? ?i ?1? bi?1 ? bi ? bi 2 ? ? 2i ?1? bi 2 ? 2 ?i ?1? bi?1bi
? ? 2i ? 1? bi 2 ? ? i ? 1? ? bi ?12 ? bi 2 ? ? ibi 2 ? ? i ? 1? bi ?12 ,

1

于是有

? ? 2a b ? b ? ? b ? ?? 2 a b ? b ? ? b ???
i ?1 i i 2 i 2 1 i ?2 i i 2 i 2 1 i ?2 n i ?1

n

n

n

2 2 2 ib b 0,即 ? i?1? ? i ? i 1 ? ? nb n ?

?b
i ?1

n

2

i

? 2? ai bi 。
2 2

? n ? ? n ? ? n ?? n ? 由 柯 西 不 等 式 可 得 ? ? bi 2 ? ? ? 2? ai bi ? ? 4 ? ? ai 2 ?? ? bi 2 ? , 于 是 有 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?
n n n ? n Si ? ? n ? 2 2 2 2 ,从而可得 b ? 4 a ? ? i i ? ? i ? ? ? ? bi ? ? n? bi ? 4n? ai 。 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? n

2

2

3.求证对于任意正整数 n ? 2 和正整数 a1 , a2 ,?, an ,若 S1 Si ? i ? 1, 2,? , n? ,则对于 任意正整数 i ,均有 S1 Si ,其中 Si ? 解 设
n?

? a ?i ? 1, 2,?? 。
i j ?1 j

n

f ? x ? ? ? x ? a1 ?? x ? a2 ??? x ? an ? ? xn ? bn?1xn?1 ? ?? b1x ? b0 , 则

b0 , b ? 1,
是有

,为整数, b 1 a1 , a2 ,?, an 是首项系数为1 的 n 次整系数多项式 f ? x ? 的 n 个根。于

a1n ? bn?1a1n?1 ??? b1a1 ? b0 ? f ? a1 ? ? 0 , ?1? a2n ? bn?1a2n?1 ??? b1a2 ? b0 ? f ? a2 ? ? 0 , ? 2 ? ? ann ? bn?1ann?1 ??? b1an ? b0 ? f ? an ? ? 0 。 ? n ?

?1? ? a1 ? ? 2? ? a2 ??? ? n? ? an , 可 得 Sn?1 ? bn?1Sn ??? b1S2 ? b0 S1 ? 0 , 于 是 有
S1 Sn?1 。
假设 S1 S j ? j ? l, l ?1,?, l ? n ?1, l ? 2? ,由 ?1? ? a1 ? ? 2? ? a2 ? ?? ? n? ? an ,可得
l l l

Sn?l ? bn?1Sn?l ?1 ? ? ? b1Sl ?1 ? b0 Sl ? 0 ,于是有 S1 Sn?l ,从而可得 S1 Si ?i ? 1, 2,?, ? 。
4.将 n 枚硬币排成一排,开始时所有硬币均正面朝上,甲、乙两人交替进行操作,每次 操作规则如下:选择相邻的 5 枚硬币,且这 5 枚硬币中的最后一枚硬币正面朝上,然后翻转 这 5 枚硬币,使得正面朝上的硬币变为背面朝上,背面朝上的硬币变为正面朝上,谁首先不 能进行操作,则他就输掉了比赛,对于 ?1? n ? 2015 ; ? 2 ? n ? 2014 ,若甲先操作,问谁 有取胜策略? 解:将这 n 枚硬币从左到右编号为 1, 2,?, n ,并赋值正面朝上的硬币为 1 ,背面朝上的

2

硬币为 0 。设编号为 i 的硬币的值为 ai ,考虑二进制的非负整数 m ? an an?1 ?a1 ,每操作一 次, m 的值变小,因此操作一定会停止,即甲、乙一定能分出胜负。

?1? 甲有取胜策略。设集合 S1 ? ?1,2,?,2015? , T1 ? ?k ? S1 ,5 k ? ,则 T1

? 403 。每

操作一次,恰有一枚编号在 T1 中的硬币被翻转。操作前,正面朝上且编号在 T1 中的硬币有 奇数枚,甲选择编号在 T1 中的一枚正面朝上的硬币作为相邻的 5 枚硬币中的最后一枚,对这

5 枚硬币操作一次后,正面朝上且编号在 T1 中的硬币有偶数枚;乙再操作一次后,正面朝上
且编号在 T1 中的硬币有奇数枚,且只要乙能操作,甲也还可以进行操作。由于操作次数是有 限的,因此甲一定获胜。

? 2 ? 乙有取胜策略。设集合 S2 ? ?1, 2,?, 2014? , T2 ? ?k ? S2 ,5 k ? ,则 T2

? 402 。

每操作一次,恰有一枚编号在 T2 中的硬币被翻转。操作前,正面朝上且编号在 T2 中的硬币 有偶数枚,甲操作一次后,正面朝上且编号在 T2 中的硬币有奇数枚,乙选择编号在 T2 中的 一枚正面朝上的硬币作为相邻的 5 枚硬币中的最后一枚,对这 5 枚硬币操作一次后,正面朝 上且编号在 T2 中的硬币有偶数枚;只要甲能操作,乙也还可以进行操作。由于操作次数是 有限的,因此乙一定获胜。

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