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2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题


2014 年广州市高中数学教师解题比赛 决 赛 试 题
(2014 年 4 月 13 日上午 9∶00-11∶00) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,有且只有一项是符合题目要求的.请将答案代号填在答题卷的相应 位置上.
1.设集合 M ? ?a, b, c? , N ? ?0,1? ,映射 f :

M ? N 满足 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? ,则映 射 f : M ? N 的个数为 A.1 B .2 C.3
?

D.4 D C

2.直角梯形 ABCD 中, AB ? DC , AB ? 2CD , ?A ? 45 ,

AD ? 2 .以直线 AB 为轴将梯形 ABCD 旋转一周所得旋转体
的体积为 A. A B. ? B

8 2 ? 3

4 3

C.

10 2 ? 3

D. 4 2?

3.已知 f ? x ? 是奇函数,定义域为 x x ? R, x ? 0 ,又 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数, 且 f ? ?1? ? 0 ,则满足 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ? ?1, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? 0,1? D. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

?

?

4.已知虚数 z ? ? x ? 2 ? ? yi ,其中 x 、 y 均为实数,当 z ? 1 时, A. ? ?

y 的取值范围是 x

? ?

3 3? , ? 3 3 ?
?

B. ? ?

? ?

3 ? ? 3? ,0? ? 0, ? ? ? ? 3 ? ? 3 ?

C. ? ? 3, 3 ?

?

D. ? ? 3, 0 ? 0, 3 ?

?

? ?

?

5.设 f ? x ? ? x ? ax ?b ,且 1 ? f ? ?1 ? ? 2 , 2 ? f ?1? ? 4 ,则点 ? a, b ? 在 aOb ( O 为坐标
2

原点)平面上的区域的面积是 A.

1 2

B.1

C .2

D.

9 2

6.已知向量 OP ? ? 2,1? , OA ? ?1, 7 ? , OB ? ? 5,1? ,设 X 是直线 OP 上的一点( O 为坐标 原点),那么 XA ? XB 的最小值是 A.-16 B.-8 C.0 D.4
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广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案

7.等比数列 ? an ? 的公比为 q ,则“ a1 ? 0 ,且 q ? 1 ”是“ ? n ? N* ,都有 an ?1 ? an ”的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
2 2

8.若不论 k 为何值,直线 y ? kx ? b ? 2k 与曲线 x ? y ? 1总有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? 3, 3

?

?

B. ? ? 3, 3 ?

9.已知集合 A 、 B 、 C , A ? ?直线? , B ? ?平面? , C ? A ? B ,若 a ? A , b ? B , c ? C ,

?

?

C. ? ?2, 2 ?

D. ? ?2, 2?

a?b ?a?b ?a // b ?a // b 给出四个命题: ① ? ?c?b ? a // c ;② ?c // b ? a?c ;③ ?c // b ? a // c ;④ ?c?b ? a?c , ? ? ? ? 则正确命题的个数为 A.0 B .1 C.2 D.3
10.在一次足球预选赛中,某小组共有 5 个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场) ,已知胜 一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.积分多的前两名可出线(积分相等则要比净 胜球数或进球总数).赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A.22 B.23 C.24 D.25

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卷的相应位置上. 11.已知 x 是三角形的一个内角,满足 sin x ? cos x ?

1? 3 ,则 x ? * . 2

12 .已知正三棱锥 S ? ABC 的高为 3 ,底面边长为 4 ,在正三棱锥内任取一点 P ,使得

1 VP ? ABC ? VS ? ABC 的概率是 2

*



13.对于正整数 n 和 m ,其中 m ? n ,定义 nm ! ? (n ? m)(n ? 2m)(n ? 3m)…(n ? km) ,其中

k 是满足 n ? km 的最大整数,则

18 4 ! ? 20 6 !

*



14.有两个向量 e1 ? (1, 0) , e2 ? (0,1) ,今有动点 P ,从 P0 (?1, 2) 开始沿着与向量 e1 ? e2 相同的 方向作匀速直线运动,速度为 e1 ? e2 ;另一动点 Q ,从 Q0 (?2, ? 1 ) 开始沿着与向量 3e1 ? 2e2 相同的方向作匀速直线运动,速度为 3e1 ? 2e2 .设 P 、 Q 在时刻 t ? 0 秒时分别在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ? P0Q0 时, t ?
??? ? ????? ?

* 秒.

广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin2 ax ? sinax cosax? 象的两条相邻对称轴间的距离为 ( 1)求 m 的值;
? ?? ( 2)若点 A ? x0 , y0 ? 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ? ?0, ? ,求点 A 的坐标. ? 2?

1 2 ? . 4

的图象与直线 y ? m 相切,若函数 f ? x ? 图 (a? 0)

16. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个
*

球颜色不同则为中奖. (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (2)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P ,当 n 取多少时, P 最大?

17. (本小题满分 14 分) 如图所示,正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 (1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F ,使 EF ⊥侧面 PBC . 试确定 F 点的位置,并加以证明. P

6 . 2

E

D A
广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案 第 3 页(共 4 页)

C B

18. (本小题满分 14 分) 这是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值 x ? 1 , y ? 1, z ? 0 , n ? 0 ; (2) n ? n ? 1 (将当前 n ? 1的值赋予新的 n ) ; (3) x ? x ? 2 (将当前 x ? 2 的值赋予新的 x ) ; (4) y ? 2 y (将当前 2 y 的值赋予新的 y ) ; (5) z ? z ? xy (将当前 z ? xy 的值赋予新的 z ) ; (6)如果 z ? 7000 ,则执行语句(7) ,否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n , z ; (8)程序终止. 由语句(7)打印出的数值为 , . 以下写出计算过程:

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知过点 D (?2,0) 的直线 l 与椭圆 弦 AB 的中点.

x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A 、 B ,点 M 是 2

??? ? ??? ? ??? ? (1)若 OP ? OA ? OB ,求点 P 的轨迹方程;
(2)求

P M A D

y B

l

| MD | 的取值范围. | MA |

O

x

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e x ? x (e 为自然对数的底数) . (1)求 f ? x ? 的最小值; (2)设不等式 f ? x ? ? ax 的解集为 P ,且 ?x | 0 ? x ? 2? ? P ,求实数 a 的取值范围;
n e k? (3)设 n ? N? ,证明: ? ? . ? ? ? k ?1 n

?n?

e ?1

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