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2015全国高中数学联赛预赛模拟题1


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 1
1.已知函数 y ? sin 2 x ,则最小正周期为______.

1 (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 2 2 2 2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小
解: y ? sin x ?
2<

br />
值的和是________. 解:方程 x ? ax ? 20a ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式
2 2

x2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即 ? 1 ? a ? 1 . 故 a 的最大值与最小值的和是 0. 4 1 n ?1 2 * 3. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? an ? ? 2 ? (n ? N ) ,则 an ? __________. 3 3 3 n n 解: an ? 4 ? 2

2 1, 2 ,并 4. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?

且 m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为_________. 解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ? 1 ? ? 7 ? 6 ? 10 ,故 (1) 由 3 ? 2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 5. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ?
2

? x ? 2015 ? x ?1 ? x ? 2 ?

? x ? 2015( x ?R)

且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有______个. 解:由题设知 f ( x ) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ?
2

? 2015) ? 2016 ? 2015 .

2 所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ? 1 ? 1时,恒有 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ?1) .

3? 5 3? 5 ?a? ,不等式 2 2 3? 5 ? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当 ? a ? 2 时,恒有 2 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 故 a 的值有无数个. 1) ,它的反函数的图象经过 6. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, 8) ,则 a ? b 等于___________. 点 (2,
由于不等式 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 的解集为
2

? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 化简得 ? 2 ?log a (8 ? b) ? 2, ? (8 ? b) ? a . ? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, 解之得 ? (舍去). 故 a ? b 等于 4. ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.
解:由题设知 ?
1

7.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

x 的取值范围为

x ?[?2, 1) .

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

2 2 解:因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1,

?

?

?

?

所以 f lg x ? 6 x ? 20
2

? ?

x ? x ?1 ? 1, ?? ? 0 . 于是,由图象可知, 2 x ? 2x ?1
2 2

解得 ?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, 1) .
2 2 8.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是
2 2 解:原式变形为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 3 | ,即

2 .

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

2

| x ? y ?3| 2

, 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距 . 所以动点 ( x, y ) 到定点 (?31)

离之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 9.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 .
AC ? sin C ?8. sin B 1 2 2 因为 arcsin ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3 2 3 .故 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? 3 6 AC ? AB S?ABC ? sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2 10. 2013! 中末尾 0 的个数为_______. 解: 2 ? 5 ? 10 ,所以一个因子 2 和一个因子 5 乘起来,末尾就会出现一个 0,而且只 有这样,末尾才会出现一个 0.因为 2 ? 5 ,故 2013! 中 2 的因子的个数多于 5 的因子的 个数,所以 2013! 中 5 的因子的个数就是 2013! 中末尾 0 的个数. 2013 2013 2013 2013 [ ] ? [ 2 ] ? [ 3 ] ? [ 4 ] ? 402 ? 80 ? 16 ? 3 ? 501 . 5 5 5 5
B C 中,由 tanB ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ? 解: 在 ?A

2

11. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 2? (1)求证:数列 ? (2)若 ? an ?

?1? ? 为等差数列,并求 ?an ? 的通项; ? an ?

1 ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围; an ?1 2 3n ? 1 ? 1 . (3)设数列 bn ? an , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 3 1 1 解:(1)由 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 2? 得: ? ? 3? n ? 2 ? an an?1

?

?

?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列 a1 ? an ? 1 1 ∴ ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即: an ? 3n ? 2 an ? 1 ? 3n ? 1 ? ? 恒成立 (2)∵ ? an ? ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,即 3n ? 2 an ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) ∴? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立 3(n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) 设 cn ? ? n ? 2 ? ,则 3(n ? 1)


cn?1 (3n ? 4)(3n ? 1) 3(n ? 1) 3n2 ? n ? 4 3n2 ? 2n ? 3n ? 4 ? ? ? ? ?1 cn 3n (3n ? 1)(3n ? 2) 3n2 ? 2n 3n2 ? 2n 28 ∴当 n ? 2 时, {cn } 为递增数列 ∴ cn ? c2 ? 3 28 所以 ? 的取值范围为: ( ??, ] 3 (3)由 bn ? an ,得
bn ? an ? 1 3n ? 2 ? 2 2 3n ? 2 ? 2 ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) 3 3n ? 2 ? 3n ? 1 2

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

2 ? ? ? 1? 4 ? 3? 2 ? 3n ? 1 ? 1 . 3

?

? ?

4? 7 ?

? ?

7 ? 10 ? ??? ?

?

?

3n ? 2 ? 3n ? 1 ?

??

?

?

3

12. 设不 等 式组 ?

? x ? y ? 0, 表 示的 平 面区 域 为 D . 区域 D 内 的 动 点 P 到 直线 ?x ? y ? 0

x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切, 求直线 l 的
斜率. 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. x? y x? y 设动点为 P( x, y) ,则 ? ? 2 ,即 2 2 y

x 2 ? y 2 ? 4 .由 P ? D 知

x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0.
y2 x2 所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为 - =1(y>0). 4 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q ( 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? O x

1 2

AB ?

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 | x1 ? x2 |
2
,即

AB ?| x1 ? x2 | . ①
因为直线 AB 过点 F(2 2,0),当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点,所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 2 2 1 2 k -1 k -1 ? k -1 ?

化简得:k4+2k2-1=0,解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去). 由△=(4 2k2)2-4(k2-1) (8k2-4) =3k2-1>0, 又由于 y>0,所以-1<k<- 3 .所以 k=- 3 2-1

4

13. 如图, ABC 的内心为 I ,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H ,设 D 、 E 分别为 A 内切圆 I 与边 BC 、 CA 的切点,求证: D 、 H 、 E 三点共线。
E

【证法 1】如图,设直线 BI 与 CA 边相交于 K 点, 连结 AI 、 DI 、 EI 、 DH 、 EH 。 因 为 ?B D I ? ? A H ,B?IBD ? ?ABH , 所 以

I B D

H

C

IBD

BD IB ABH ? ,有 ,即 BH AB
A E I H

BD HB ? . BI AB 又因为 ?HBD ? ?ABI ,所以 HBD ?BHD ? ?BAI 。

ABI 有

B D C

因为 ?AEI ? ?AHI ? 90 ,所以 A 、 E 、 H 、 I 四点共圆,有

?EHK ? ?EAI 。 ② 由①、②及 ?BAI ? ?EAI ,得 ?BHD ? ?EHK 。 故 D 、 H 、 E 三点共线。 【证法 2】如图,连结 DE 、 EH 、 AI 、 EI . 因为 ?AEI ? ?AHI ? 90 ,所以所以 A 、 E 、 H 、 I 四点共圆,有 ?AEH ? ?AIB 。 1 又因为 I 为 ABC 的内心,所以 ?AIB ? 90 ? ?C 。 2 1 从而 ?AEH ? 90 ? ?C 。 2 180 ? ?C 1 ? 90 ? ?C . 因为 CD ? CE ,所以 ?DEC ? 2 2 于是 ?AEH ? ?DEC ? 180 .故 D 、 H 、 E 三点共线。
14. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x , a ? 1 . 2 (Ⅰ )讨论函数 f ( x ) 的单调性;
(Ⅱ ) 证明: 若a ? 5, 则对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

解:(Ⅰ ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x 2 ( x ? 1) (i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ?( x) ? ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加. x ' (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ; ' 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少, 在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. f ?( x) ? x ? a ?
5

(iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加.

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x . 2 a ?1 a ?1 则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ? ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 1 ? a ? 5, 故 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , 当 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x ? f ( 2x ? ) 1x? 2x? , 0 故 1 ) x1 ? x2
(II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ?

0 ? x1 ? x2 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? ?1 .

6


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