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河北省衡水中学2014届高三上学期一调考试 数学文试题


衡水中学 2013—2014 学年度上学期第一次调研考试
高三年级数学试卷(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2 页。 共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选 项填涂在答题卡上) 1. 已知集合 M={x|(x-1) < 4,x∈N} ,P={-1,0,1,2,3} ,则 M∩P=( A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} ) D.(3,4)
2



D.{0,1,2,3}

2.方程 ln x ? x ? 4 ? 0 的解 x0 属于区间 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

?? log x ( x ? 0) 2 ? 3.已知函数 f ( x ) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( ) 2 ?1 ? x ( x ? 0) ?
A. {x | 0 ? x ? 1}
2

B. {x | ?1 ? x ? 0}

C. {x | ?1 ? x ? 1}

D. {x | x ? ?1} )

4.设函数 f ?( x) ? x ? 3x ? 4, 则 y ? f ( x ? 1) 的单调减区间(

3 1 D. (? ,??) 2 2 2 2 5.下列命题: (1)若“ a ? b ,则 a ? b ”的逆命题; (2) “全等三角形面积相等”的否命
( A. -4,1)
B. (?3,2) C. (? , ??) 题; (3) “若 a ? 1 ,则 ax ? 2ax ? a ? 3 ? 0 的解集为 R”的逆否命题;
2

(4) “若 3 x( x ? 0) 为有理数, x 为无理数” 其中正确的命题序号是 ( 则 。 A.(3) (4) B.(1) (3)
2



C.(1) (2) 条件 q:

D.(2) (4) ) 。

6. 实数 x,条件 P: x <x ; A.充分不必要

1 ? 1 ,则 p 是 q 的( x

B.必要不充分 C.充要条件

D.既不充分也不必要

7. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0] 上是增函数, 设 a ? f (log 4 7), b ? f (log 1 3), c ? f (2
2 2

) ,则 a, b, c, d 的大小关系是(
D. a ? b ? c



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

?a x , (x ? 1) ? 8.已知 f (x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数, a ?(4 ? )x ? 2, ( x ? 1) ? 2
则实数 a 的取值范围为 ( A.(1,+∞)
x

) C.(4,8) D.[4,8) )

B.(1,8)

4x ? b 9.函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? 是奇函数,则 a ? b ? ( 2x
A.1 B. ? 1 C. ?

1 2
x

D.

1 2

10. 在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 , 则下列所给图象中可能正确的是( )

11.已知 x ? R, n ? N ,定义 M x ? x( x ? 1)( x ? 2) ?( x ? n ? 1) ,
*
n

7 例如 M -5 ? (?5) ? (?4) ? (?3) ? ?60 ,则函数 f ( x) ? M x ?3 ? cos
3

2009 x 满足( 2010



A.是偶函数不是奇函数 C.既是偶函数又是奇函数

B.是奇函数不是偶函数 D.既不是偶函数又不是奇函数

12. 定义区间 (a, b) , [a, b) , (a, b] ,[a, b] 的长度均为 d? ? . 用 [ x ] 表示不超过 x 的 b a

x ? ?x,其中 x ? R .设 f() []{ , gx ? ? ,若用 d 表示 x? ? x x } () x 1 最大整数,记 {} x [ ] x gx 不等式 f( )? ( )解集区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 3 时,有
A. d ? 1 B. d ? 2 C. d ? 3 ( D. d ? 4 )

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)
二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13. 已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) , ?

) 且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2012 ) ? f (2013 ) =
3

.

14. 若 函 数 f ( x) ? x ? 3x 对 任 意 的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则

x?

.

15. 若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) ,满足对任意实数 x1 、 x 2 ,

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为 . 2 1 3 a 2 16. 若函数 f ( x) ? | x | ? x ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值 3 2
当 x 2 ? x1 ? 范围 是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17.(本题 10 分) 记关于 x 的不等式 (1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 P ? Q ? Q ,求正数 a 的取值.

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q . x ?1

18. (本题 12 分)已知幂函数 增函数 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? m

2

?2 m ? 3

(m ? z ) 为偶函数,且在区间 (0, ??) 上是单调

1 9 其中 a, b ? R .若函数 g ( x) 仅在 x ? 0 处 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? b( x ? R) , 4 2

有极值,求 a 的取值范围.

19. (本题 12 分)已知向量 m ? (a ? c, b) , n ? (a ? c, b ? a) ,且 m ? n ? 0 ,其中 A、B、C 是 ? ABC 的内角, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

20. (本题 12 分)设函数 f (x) ? ln x , g(x) ? ax ? b ,函数 f (x) 的图象与 x 轴的交点也在函数

x

g(x) 的图象上,且在此点有公切线.
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小.

21. (本题12分) 已知函数 f ?x ? ? ln x ? ax ? a 2 x (1)若 x ? 1是函数 y ? f ?x ? 的极值点,求 a 的值; (2)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间.

2

?a ? 0? .

22. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1,求曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间;

(3)若 a ? ?1 ,函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 求实数 m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点, 3 2

上学期一调研
A.C.C.B.A. A.B.D.D. D.

高三年级数学试卷(文科)
14. (?2, ) . 15. (1,2 3 )

B. A. 13. 1

2 3

16.(2,3)

17. 解: (1)由

x ?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? .???????????4 分 x ?1

(II) Q ? x x ? 1 ≤ 1 ? x 0 ≤ x ≤ 2 .由 a ? 0 ,得 P ? x ?1 ? x ? a ,????8 分 又 P ? Q ? Q ,所以 Q ? P ,所以 a ? 2 ???????????10分
2

?

? ?

?

?

?

18. 解: (1)? f ( x) 在区间 (0, ??) 上是单调增函数,??m ? 2m ? 3 ? 0 即 m ? 2m ? 3 ? 0 ??1 ? m ? 3, 又 m ? z,? m ? 0,1, 2 ???????4 分
2

而 m ? 0, 2 时, f ( x) ? x 不是偶函数, m ? 1 时, f ( x) ? x 是偶函数,
3 4

? f ( x) ? x 4 .
2

????????????????6 分
2

(2) g '( x) ? x( x ? 3ax ? 9), 显然 x ? 0 不是方程 x ? 3ax ? 9 ? 0 的根. 为使 g ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 x ? 3ax ? 9 ? 0 恒成立,???????8 分
2

即有 ? ? 9a ? 36 ? 0 ,解不等式,得 a ? ? ?2, 2? .???????11 分
2

这时, g (0) ? ?b 是唯一极值. ? a ? ? ?2, 2? .

?????12 分
2 2 2

19.解: (I)由 m ? n ? 0 得 (a ? c)( a ? c) ? b(b ? a) ? 0 ? a ? b ? c ? ab 由余弦定理 cos C ?

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2

又 0 ? C ? ? ,则 C ?

?
3

???????????????5 分

(II)由(I)得 C ?

?
3

,则 A ? B ?

2? 3

sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin(A ? ) 3 2 2 6

?0 ? A ?
?

2? 3

?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? sin(A ? ) ? 1 2 6

3 ? ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6

即 sin A ? sin B 最大值 3]???????????????10 分 ( , 20.解: (Ⅰ) f (x) ? ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1, 0) , 依题意,得 g(1) ? a ? b ? 0 ① ???????????????????1 分

3 2

又 f ?(x) ? 1 , g?(x) ? a ? b2 , ? f (x) 与 g(x) 在点 (1, 0) 处有公切线,

x

x

∴ g ?(1) ? f ?(1) ? 1 即 a ? b ? 1 由①、②得 a ? 1 , b ? ? 1



??????????????????4 分

2

2

????????????????5 分

(Ⅱ)令 F(x) ? f (x) ? g(x) ,则

F(x) ? ln x ? (1 x ? 1 ) ? ln x ? 1 x ? 1 2 2x 2 2x
∴ F?(x) ? 1 ? 1 ? 1 2 ? ? 1 ( 1 ? 1)2 ? 0

x

2

2x

2 x

∴ F (x) 在 (0, ? ?) 上为减函数????????????????????????6 分 当 0 ? x ? 1时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ; 当 x ? 1 时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ; 当 x ? 1 时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) . 综上可知,当 0 ? x ? 1时,即 f (x) ? g(x) ;当 x ? 1 时,即 f (x) ? g(x) .??????12 分 21.解:函数定义域为 ?0,??? , f
'

? x ? ? ? 2a

2

x 2 ? ax ? 1 x

??????2 分

' 2 因为 x ? 1是函数 y ? f ?x ? 的极值点,所以 f ?1? ? 1 ? a ? 2a ? 0

解得 a ? ?

1 或a ?1 ???????4 分 2 1 经检验, a ? ? 或 a ? 1 时, x ? 1是函数 y ? f ?x ? 的极值点, 2

又因为 a ? 0,所以 a ? 1

???? 6 分

22.解: (1)因为 f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ,
2 x

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3x)e ,
x 2 x 2 x

所以曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e . 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x ? 1)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x]e x , ??????2 分

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? ,??) ; a 2a ? 1 单调递增区间为 [0,? ???????4 分 ]. a 1 1 2 x ②若 a ? ? , f ?(x) ? ? x e ? 0 ,所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2
①若 ? ???????5 分

③若 a ? ? 当?

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a

所以 f (x) 的单调递减区间为 ( ??,? 单调递增区间为 [?

2a ? 1 ,0] . a
2

2a ? 1 ] , [0,??) ; a
???????7 分
x

(3)由(2)知, f ( x) ? (? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增, 在 [0,??) 上单调递减, 所以 f ( x) 在 x ? ?1处取得极小值 f (?1) ? ?

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e
???????8 分

由 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g (x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g (x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ?

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6
???????10 分

因为函数 f (x) 与函数 g (x) 的图象有 3 个不同的交点,

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . ? f (0) ? g (0) ?? 1 ? m ?
所以 ?

3 1 ? ? m ? ?1. e 6

????12 分


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