tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(12)


2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(12)
一试
1、已知函数 y ?

2 x ? bx ? c (b ? 0) 的值域为 [1,3] ,则 b ? c ? x2 ?1
2

2、已知 a ? R, 并且 a 2 ? 2x 2 ? x ? a (a ? 0) ,则 a 的取值范围是 3 、 设 在 x O

y平 面 上 , 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1 所 围 成 图 形 的 面 积 为

1 ,则集合 3

M ? {( x, y) y ? x ? 1}, N ? {( x, y) y ? x2 ? 1} 的交集 M ? N 所表示的图形面积为
4、 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 2 x 2 ? 3x ? 3 的最小值为
4 3 ? i .则 tan( ? ? ) ? 5 5

5、 已知复数 z ? cos ? ? i sin ? ,u ? cos ? ? i sin ? , z ? u ? 且 = 6、过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 PH 3 2

到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范 围为 7、设 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ? ? [log3 500] ?
2 8、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________

9、 (本题 16 分) 在△ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a, b, c ,且 c ? 10,

cos A b 4 ? ? ,P cos B a 3

为△ABC 的内切圆上的动点,求点 P 到 A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值

第1页

10、 (本题 20 分)数列 {an } 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an (n ? N ? ) (1)求 数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ?bn (n ? N ? ) ,是否存在最 n(12 ? an )
m 成立?若存在,求出 m 的值;若不 32

? 大的正整数 m ,使得对于任意的 n ? N ,均有 Tn ?

存在,请说明理由。

11、 (本题 20 分) 给定圆 P: x ? y ? 2 x 及抛物线 S: y ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与
2 2 2

上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺 序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.

第2页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(12)
(二试)
1、 (本题 40 分)联结圆内接等腰梯形 ABCD 的对角线 AC , BD 相 交 于 E , 已 知 图 中 各 条 线 段 均 为 正 整 数 , 且

?AED ? 2?ABD ? 2?ACD ? 120? , AD ? 7 .(1)求证图中存在一个三
角形, 其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点 A, E, D 染上红 色,圆面上的其它点任意染上红蓝色之一,求证圆面上存在一个同色等 边三角形,其边长为素数.

第3页

2、 (本题 40 分)已知实函数 f ( x, y) 满足① f ( x,0) ? 1, 求 f ( x, y) 的表达式.

② f ( f ( x, y), z ) ? f ( z, xy) ? z.

第4页

3、 (本题 50 分)求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数.

第5页

4、 (本题 50 分)正五边形的每个顶点对应一个整数,使得这 5 个整数和为正。若其中三个 相连顶点相应的整数依次为 x, y, z ,而中间的 y ? 0 ,则要进行如下操作:整数 x, y, z 分别 换为 x ? y, ? y, z ? y ,只要所得的 5 个整数中至少有一个负时,这种操作就继续进行,问: 是否这样的操作进行有限次后必定终止。

第6页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(12)
一试 一、填空题 1、0, 将 y ? 参考答案

? x 2 ? bx ? c ? 1 ? 0 2 x 2 ? bx ? c ? (b ? 0) 代入 1 ? y ? 3 得不等式 ? 2 2 x ?1 ? x ? bx ? 3 ? c ? 0 ?

2 ? ?? 1 ? b ? 4(c ? 1) ? 0 ∴? 又函数的值域为 [1,3] ,函数值能取到 1 和 3,即 ?? 1 ? b 2 ? 4(3 ? c) ? 0 ?

?? 1 ? b 2 ? 4(c ? 1) ? 0 2 x 2 ? bx ? c 2 x 2 ? bx ? c ? ? 3, ? 1 有解,故 ? 得 c=2,b=2 2 2 x ?1 x ?1 ?? 1 ? b 2 ? 4(3 ? c) ? 0 ?
2、 (1) ?

?a ? 2 x ? 0 ?x ? a ? 0
2 2

?a 2 ? 2 x 2 ? 0 ? (2)? x ? a ? 0 ?a 2 ? 2 x 2 ? ( x ? a ) 2 ?

2 2 2 a ? 0, 解集为(? a,0), a ? 0, 解集为?,a ? 0, 解集为 [ a,? a] (P596) 3 2 2
3、 M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只要算 出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意 可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A= 4、 定义域为 (??,0] ? [2,??) ,

1 1 1 2 ? ? 。因此 M ? N 的图形面积为 2 3 6 3

在 x 2 ? 2 x , 2 x 2 ? 3x ? 3 在 (??,0] 上是减函数, , [2,??)

上是增函数,故 f nin ( x) ? min{f (0), f (2)} ? 3 5、解 (1)依题设,有 z ? u ? ?cos? ? i sin ? ? ? ?cos? ? i sin ? ?

4 3 ? i. 5 5 4 ? ?cos? ? cos? ? 5 , ① 根据复数相等的充要条件,知 ? 3 ? sin ? ? sin ? ? .② 5 ? ? ?? ? ?? 4 cos ? . 由 ① 得 2 cos ③ 2 2 5 ? ?? ? ?? 3 sin ? . 由 ② 得 2 sin ④ 2 2 5

? ?cos? ? cos? ? ? i(sin? ? sin ? ) ?

④ ? ③ 得 tan

? ??
2

?

3 . 4

所以

tan?? ? ? ? ?

24 2 ? ? ?? 7 1 ? tan2 2

2 tan

? ??

.

第7页

6、 [

3 ,1) ,设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。 3

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? 又∵HQ=λ PH,所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? , ? ? PQ 1 ? ? ? y1 ? y ?
代 入 椭 圆 方 程 , 得 Q 点 轨 迹 为

[ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 ? ?1 , 所 以 离 心 率 2 3?2

e=

3?2 ? 2 2 3?

? 1?

2 3 ? [ ,1) 2 3 3?
n n ?1

7、解:设 [log3 x] ? n ,则 n ? log3 x ? n ? 1 , 3 ? x ? 3

n ? 0时, ? x ? 31 ,符合条件的整数 x 有 2 个 30

n ? 1时, ? x ? 32 ,符合条件的整数 x 有 6 个 31 n ? 2时, ? x ? 33 ,符合条件的整数 x 有 18 个 32 n ? 3时, ? x ? 34 ,符合条件的整数 x 有 54 个 33 n ? 4时, ? x ? 35 ,符合条件的整数 x 有 162 个 34 n ? 5时, ? x ? 36 ,结合 x ? 500 ,符合条件的整数 x 有 258 个 35
共 0 ? 2 ? 1 ? 6 ? 2 ? 18 ? 3 ? 54 ? 4 ? 162 ? 5 ? 258 =2142

p ? p 2 ? 4n2 2 2 8、 设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ? 解: , 从而 p ? 4n 是 2
2 * 2 2

平方数,设为 m2 , m ? N * , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p2

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4
?k ? p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1)2 ? ,故k ? 。 (负值舍去) 2 4 4

二、解答题 9、易证 A+B=90 , a ? 6, b ? 8 ,内切圆半径为 2,用解析法建系,写出园方程,设 P(x,
°

第8页

y) 则点 P 到 A,B,C 的距离的平方和 S=88-4y, ? y ? 4 , 最大值为 88, 最小值为 72 (P44) 0 10、数列 {an } 为等差数列, an ? ?2n ? 10 , bn ? (P450)
2 11、解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ?1,0 ? ,设 l 的 2

1 1 (1 ? ) ,存在最大正整数 m =7 2 n ?1

方程为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? 有?

? y1 ? y 2 ? 4k ,则 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 y1 y 2 ? ?4 ?
2 2 2 2 2 y12 ? y 2 ) 4

y
A

故 | AD | ? ( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? (

B
P

y1 ? y 2 2 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 , 4 因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) ? ( y1 ? y 2 ) 2 [1 ? (
据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC ,

o
D

C

x

所以 AD ? 3 BC ? 6 即 4(k 2 ? 1) ? 6 , k ? ? 则 l 方程为 x ?

2 2 ,

2 2 y ? 1或 x ? ? y ?1 . 2 2

2011 年全国高中数学联赛模拟题 1
(二试) 1、证明 理得 (1)在 ? AED 中,由 ?AED ? 120? , AD ? 7 知, AD 为最长边,且由余弦定

7 2 ? A E 2 ? D E2 ? A E D E ? ??

A? E

?

2

D E?

A .E D E ?

把 AE, DE 取 ?1,2,3,4,5,6? 中的值验证,得 AE, DE 只能取 3,5.故存在 ? AED ,其三边长 3,5,7 均为素数且组成一个等差 数列. (2) 不妨设 AE ? 5, DE ? 3 ,由

?AED ? 2?ABD ? 2?ACD ? 120? 知, ? ABE 是边长为 5 的
等边三角形, ? CDE 是边长为 3 的等边三角形.作边长为 7 的等边 ? ADF ,等边 ? BCG , 联结 FG 交 BD 于 H .再联结 BF , FC , DG ,由 ?DEC ? ?DBF ? ?ACF ? ?60 得
?

EC // BF , EB // CF ,四边形 EBFC 为平行四边形, BF ? CE ? 3 ,又

?DBF ? ?GFB ? ?60? ,得 ? BFH 是边长为 3 的等边三角形.同理, ? GHD 是边长为 5
的等边三角形. 当 B, F , C 中有红点时,命题已成立. 当 B, F , C 中无一为红点时,考虑 H ,若 H 为蓝
第9页

点,则 ? BFH 是同蓝色的等边三角形,其边长为素数 3;若 H 为红点,考虑点 G ,若 G 为 红点,则 ? GED 是同红色的等边三角形,其边长为素数 5;若 G 为蓝点,则 ? GBC 是同蓝 色的等边三角形, 其边长为素数 7.综上得, 圆面上存在一个同色等边三角形, 其边长为素数. 2、解 把①代入②,有

f ?1, y ? ? f ? f ? x,0? , y ? ? f ? y,0? ? y ? 1 ? y ,
进而



f ? x,1? ? f ?1 ? ? x ?1? ,1?
? f f ?1, ? x ? 1? ? ,1

?

?

(由③)

? f ?1,1? ? x ?1?? ?1 ? ?1 ? ? x ? 1? ? ? 1 ? ?
? x ?1
一方面由④有 ④

f ? f ? x, y ? ,1? ? f ? x, y ? ?1,
另一方面由②、③有



f ? f ? x, y ? ,1? ? f ?1, xy ? ?1 ? 1 ? xy ?1.
由⑤⑥得 即



f ? x, y ? ?1 ? 1? xy ?1 , f ? x, y ? ? xy ? 1.

检验知 f ? x, y ? ? xy ? 1为所求. 3、解 令 x1 ? x2 ? x3 ? x , x4 ? x5 ? y , x6 ? z ,则 x ? 3, y ? 2, z ? 1 .先考虑不定方 程 x ? 3 y ? 5 z ? 21 满 足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的 正 整 数 解 . ? x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,

? 5z ? 21? x ? 3 y ? 12 ,? 1 ? z ? 2 .
当 z ? 1 时 , 有 x ? 3 y ? 16 , 此 方 程 满 足 x ? 3, y ? 2 的 正 整 数 解 为

( x, y) ? (10, 2), (7, 3), (4, 4) .
当 z ? 2 时,有 x ? 3 y ? 11,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 ( x, y) ? (5, 2) . 所以不定方程 x ? 3 y ? 5 z ? 21满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的正整数解为

( x, y, z) ? (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .
又 方 程 x1 ? x2 ? x3 ? x( x ? N , x ? 3) 的 正 整 数 解 的 组 数 为 C x ?1 , 方 程
2

x4 ? x5 ? y ( y ? N , x ? 2) 的正整数解的组数为 C1y ?1 ,故由分步计数原理知,原不定方程
第 10 页

的正整数解的组数为
2 2 2 C9 C1 ? C6 C1 ? C3 C1 ? C2 C1 ? 36 ? 30 ? 9 ? 6 ? 81. 1 2 3 4 1

4、解:必定终止。变换前后三个数和虽然不变,但是平方和变小,若不终止,整数的平方 和为 0,即各整数均为零,还得终止。

第 11 页


推荐相关:

2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)

12页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,...2011 全国高中数学联赛模拟题 2 一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题...


2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)9.28

2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)9.28_学科竞赛_高中教育_教育专区。全国高中...20 ? h ? 12 2 2 2 2 ? 2 ? ? ? ?16 2 ?h 2 ? ,这正是与...


2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答

2011年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分...


2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)

12页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,...2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新) 隐藏>> 全国高中数学联赛 一 试 一、填空...


2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区...6 . ∴ a10 = 12 × 2 7 ? 6 = 1530 . 二、解答题:本大题共 3 ...


2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知...《高中数学联 赛备考手册(2012) (预赛试题集锦) ...图书推荐: “奥数”联赛冲刺篇 “奥数”IMO 终极篇...


2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案_学科竞赛...an ? bn . 12、 已知三棱锥 S-ABC 的底面是...图书推荐: “奥数”联赛冲刺篇 “奥数”IMO 终极篇...


2011年全国高中数学联赛试题参考答案

APB ? 60? ,求△ PAB的面积. 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10 二、 (本题满分 40 分)证明:...


2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 ...二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com