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计数原理与概率统计复习建议


《计数原理与概率统计(理) 》第一轮复习建议
一、 《考试说明》的考试内容与要求层次及变化比较 (一)考试内容与要求层次

2011.12.2

要求层次 考试内容 A 加法原理、 乘法原理 计数 原理 排列与组合 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题


B √

C √

排列、组合的概念 排列数公式、组合数公式 用排列与组合解决一些简单的实际问题 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 随机事件的概率 事件与 概率 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型 古典概型 几何概型 取有限值的离散型随机变量及其分布列 超几何分布 条件概率 概率 事件的独立性 n 次独立重复试验与二项分布 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 正态分布 简单随机抽样 随机抽样 分层抽样和系统抽样 频率分布表,直方图、折线图、茎叶图 √ √ √ √ √ 随机事件的运算 √

√ √ √ √

√ √ √ √ √

概率

几何概型

√ √



√ √

统计

用样本 估计总体

样本数据的基本的数字特征(如平均数、标准差) 用样本的频率分布估计总体分布, 用样本的基本数字特征估计总体 的基本数字特征



变量的相关性

线性回归方程



(二)新旧考试说明的比较(新课程与旧大纲的考试说明) 1. 2. 旧说明中,“排列、组合、二项式定理”,新说明中,“计数原理”; 旧“分类计数原理、分步计数原理”(C) ,改为“分类加法计数原理、分步乘法计数原理”
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(B)↓,新说明增加了“用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际 问题”(C) ; 删除了组合数的两个性质(C) ,增加了“用排列与组合解决一些简单的实际问题”(C) ; 旧“二项式定理”(C) 、“二项展开式的性质”(C) ,改为“用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题”(B) ;↓ 旧说明中:“概率与统计”,新说明中分开说明“统计”与“概率”; 旧“互斥事件有一个发生的概率”(B) ,改为“两个互斥事件的概率加法公式”(C) ;↑ 旧“独立事件同时发生的概率”(B) ,改为“事件的独立性”(A) ;↓ 旧“独立重复试验”(B) ,改为“ n 次独立重复试验与二项分布”(B) ;→ 旧“离散型随机变量及其分布列”(B) ,改为“取有限值的离散型随机变量及其分布列” (C) ;↑ 新说明中增加了“随机事件的运算 (B) 几何概型 、 (B) 条件概率 、 (A) 超几何分布 、 (A) ”; 旧“抽样方法”(B) ,改为“简单随机抽样(B) ;分层抽样和系统抽样(A)”;↓ 旧“总体分布的估计”(B) ,改为(C) ;↑ 新说明中增加了“用样本估计总体”,具体内容见接下来的 14~16 条; 新说明中增加了“频率分布表,直方图、折线图、茎叶图(B)”; 新说明中增加了“样本数据的基本的数字特征(如平均数、标准差) (B)”; 新说明中增加了“用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总体的 基本数字特征(C)”;↑ 旧“线性回归”(A) ,改为“线性回归方程”(B) ;↑ 旧中统计的“正态分布”在新说明中归于“概率”.

二、知识内容与结构 (一)知识与教材对应 知识内容涉及教材有:必修 3 第二章《统计》 、第三章《概率》 ;选修 2-3 第一章《计 数原理》 、第二章《概率》 ;对选修 2-3 第三章《统计案例》没作要求. (二)各板块知识结构
排列概念 两 个 计 数 原 理 排列组合 二项式定理 二 项 式 定 理 排列 排列数公式 应用 组合概念 组合 组合数公式 组合数性质

展开式通项公式 应用 二项式系数性质

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收集数据

描述、整理数据

分析数据、估计推断

用样本估计总体

变量间的相关关系

简 单 随 机 抽 样

分 层 抽 样

系 统 抽 样

频率分布表 直方图 折线图 茎叶图 散点图 数字特征:平 均数、标准差

用样本 的频率 分布估 计总体 分布

用样本 数字特 征估计 总体数 字特征

线 性 回 归 方 程

古典概型 几何概型 随机事件 频率 概率 概率的意义与性质 n 次独立重复试验 条件概率 事件的独立性 互斥事件的概率 加法公式 应 用 概 率 解 决 实 际 问 题

两点分布 取有限值的离 散型随机变量 分 布 列 期望 二项分布 方差 超几何分布

随 机 变 量

正态分布密度曲线 正态分布 3 ? 原则

三、近年考试情况分析 (一)近三年高考试题 例1. (09 北京理 6)若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a ? b ? ( A.45 B.55 C.70 D.80 【答案】C
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(09 北京文 3)若 (1 ? 2)4 ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a ? b ? (



A.33 B. 29 C.23 D.19 【答案】B 例2. (09 北京理 7) 0 到 9 这 10 个数字, 用 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 【答案】B (09 北京文 5)用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】C 例3. (09 北京理 17) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红 灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ )求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. (09 北京文Ⅱ )这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随 机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. 例4. (10 北京理 4) 名学生和 2 位第师站成一排合影, 位老师不相邻的排法种数为 8 2 ( )
8 2 (A) A8 A9 8 2 (B) A8 C9 8 2 (C) A8 A7 8 2 (D) A8 C7

【答案】A 例5. (10 北京文 3)从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为 a,从{1, 2, 3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是( ) (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

【答案】D 例6. (10 北京理 11 文 12)从某小学随机抽取 100 名同 学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率 分布直方图(如图) 由图中数据可知 a . = .若要从身高在[120 , 130) ,[130 , 140) , [140 , 150]三组内的学生中, 用分层抽样的方 法选取 18 人参加一项活动, 则从身高在[140 , 150] 内的学生中选取的人数应为 . 【答案】a=0.030,3 人. 例7. (10 北京理 17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 ,第二、 5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p ,q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互 独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0
6 125

1

2 b

3
24 125

p

a

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(Ⅰ )求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ p , q 的值; )求 (Ⅲ )求数学期望 E ξ. 【解析】本题考查了概率的性质与概率计算,以及数学期望的计算. 例8. (11 北京理 12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共 有__________个. (用数字作答) 【答案】14 例9. (11 北京理 17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 X 表示.

甲组 9 1 9 1 0 1 X 0

乙组 8 9

(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望. (注:方差 s ?
2 2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ,其中 x 为 x1 ,x2 ,…… xn ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

的平均数) (11 北京文Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植 树总棵数为 19 的概率. 【解析】本题考查茎叶图,平均数,方差,分布列,期望等知识及概率计算. (二)考点分布分析 1. 计数原理一般考查小题,考查的内容是排列组合计数问题或二项式定理;统计概率部分 一般考查一道大题,再辅以 0~2 题的小题.09 年文理各一道大题;10 年文两道小题, 理科一大一小;11 年文理各一道大题.小题以考查统计知识(如抽样方法、频率分布直 方图、统计特征量、茎叶图等)和古典概型的概率计算为主,大题仍以互斥事件的概率 加法公式、离散型随机变量(取值限于有限个)的分布列与期望为重点,11 年将茎叶图 与统计特征量和概率的计算结合起来考查,实现了统计与概率的综合. 2. 统计案例(独立性检验、回归分析)不列入考试范围,几何概型、条件概率、超几何分 布、线性回归、正态分布、随机数的含义与意义(蒙特卡罗方法)较少考查,甚至可能 基本不会考查,二项分布也较少考查.统计侧重于统计图表、统计思想(用样本估计总 体)和统计特征量的意义的考查,概率侧重于古典概型概率计算及离散型随机变量的概 率分布与期望的考查,计数原理侧重于计数原理与二项式定理. 3. 新的动向:把统计和概率结合在一起考查,往往先是对统计图表(频率分布直方图、茎 叶图等)的基本考查,然后用样本的频率估计总体的概率,再往离散型随机变量的概率 分布方向考查. 四、对新课标的思考 1. 关于内容的增删. 本部分新增加要求的内容:几何概型(B) ,条件概率(A) ,超几何分布(A) ,用样本 估计总体(频率分布表,直方图、折线图、茎叶图 B;样本数据的基本的数字特征(如
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平均数、标准差)B;用样本的频率分布估计总体分布,用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字特征 C) 删减的内容:几何分布. ; 统计与概率的意义是什么? 统计是研究如何合理收集、 整理、 分析数据的学科, 它可以为人们制定决策提供依据. 概 率是研究随机现象规律的学科, 它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问 题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础. 为什么要不讲排列组合而先讲概率? 在以前的大纲版教材中, 都是先讲排列组合再讲概率, 而新课程则在必修 3 中直接讲概 率,排列组合知识则安排在选修 2-3 第一章,并在第二章安排离散型随机变量的概率 分布. 新课程这样安排的主要目的就是防止繁杂的排列组合计数问题干扰了学生对概率 的认识,避免以概率计算代替概率意义的理解,因而教材中选择了一些简单例子(一般 列举出来的所有结果只有几种、十几种)为载体,让学生体会并理解概率的意义. 为什么删减几何分布而增加超几何分布? 按说学生对几何分布的理解和掌握比超几何分布的理解和掌握更容易, 但新课程标准对 分布列加了限制“理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念”, 要求“通过实例, 理解取有限值的离散型随机变量均值、 方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、 方差,并能解决一些实际问题”.从这种意义上说,几何分布中随机变量的取值有无限 多个,而超几何分布属于有限多个. 考试内容的思考. 本部分内容要求层次为 C 的有:用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简 单的实际问题、排列数公式、组合数公式、用排列与组合解决一些简单的实际问题、取 有限值的离散型随机变量及其分布列、 用样本的频率分布估计总体分布, 用样本的基本 数字特征估计总体的基本数字特征. 要求层次为 A 的有:随机事件的概率、超几何分布、条件概率、事件的独立性、正态 分布、分层抽样和系统抽样. 由此可见,考查的重点还在于计数原理、排列组合、二项式定理、取有限值的离散型随 机变量及其分布列与期望方差,抽样方法侧重于简单随机抽样;而超几何分布、条件概 率、正态分布、几何概型、线性回归、随机数的含义与意义等内容则基本不会考查(在 复习建议中还有一定的分析) .

五、第一轮复习建议 (一)课时建议(总约 15 课时) 计数原理………………………………………………………………1 课时 排列组合………………………………………………………………2 课时 二项式定理……………………………………………………………1 课时 统计(包括抽样方法、用样本估计总体、变量的相关性)………2 课时 随机事件的概率………………………………………………………1 课时 古典概型………………………………………………………………1 课时 几何概型………………………………………………………………1 课时 离散型随机变量及其分布列与数字特征……………………………2 课时 条件概率与事件的独立性、正态分布………………………………2 课时 统练讲评………………………………………………………………2 课时 (二)复习建议 1. 抓住重点,贴近高考. 两周时间,非常紧张.所以,复习过程中,既要全面扫描,又要重点突出,以考试说明 为准绳.排列组合与二项式定理最多各考查一道小题,因此,复习立足掌握基本的排列 组合计数方法和二项展开式的通项公式, 不需要在复杂的题目花费太多的时间; 统计与 概率部分重点是用样本估计总体的思想, 会用样本的频率分布与数字特征估计总体的情

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况,会求古典概型的概率,会求离散型随机变量的分布列与数字特征. 几何概型、超几何分布、正态分布、条件概率、线性回归等内容只要求学生弄清楚其基 本知识即可,不必花费太多精力. 关注统计基本思想和数据处理能力的考查. 统计的考查不是单纯的数字计算,而是数据处理能力的考查和统计思想的考查.读图、 读取数据、借助图表处理数据、分析数据,都不是目的,最终都是为了用样本的情况来 估计总体,为作出决策提供参考.考试说明中也增加了“数据处理能力”的要求.因此, 统计部分要将数据的收集与整理、 数据的处理与分析、 数字特征量的计算与估计作为一 个整体来把握,立足统计思想的理解和应用. 关于排列组合. 排列组合的基本方法有: 直接利用计数原理合理分类准确分步、 特殊元素与特殊位置优 先考虑、相邻问题捆绑、不邻问题插空、分排问题直排等.最基本的方法是进行分类与 分步, 恰当运用计数原理进行求解, 能掌握排列组合数公式的基本运用. 象定序选排法、 交叉问题集合法、无差别问题隔板法等不必花费过多时间和精力. 例如, (11 北京理 12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四 位数共有__________个. (用数字作答)本题可以分类用排列组合计数,但也可以直接 用分步乘法计数原理,共 16 个,但需去掉全是 2 或 3 的两个,故共 14 个. 关于二项式定理. 掌握二项式定理, 尤其掌握展开式的通项公式, 会求展开式中的特定项或特定项的系数 及展开式中各项系数的和,会研究通项来研究项的性质(如有理项) ,会运用简单的赋 值法求一些展开式中代数式的和.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点, 转化为二项式来解决, 转化的方法通常为集项、 配方、 因式分解, 一般不必过多复习. 对 二项式定理的综合运用,如整除问题、证明问题等,也不必过多花费时间. 例如, (09 北京理 6)若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a+b=_____.直接考查 展开式的通项公式. 关于抽样方法. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样有各自的特点和适用范围,考试说明中只有简单随 机抽样为 B 层次,后两种为 A.三种抽样方法的基本特点是每个个体被抽得的概率相 等.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础,有以下特点: (1)它要求总体个数较 少; (2) 它是从总体中逐个抽取的; (3) 它是一种不放回抽样.系统抽样又称等距抽样, 总体中不能含有一定的周期性, 否则其样本的代表性是不可靠的, 甚至会导致明显的偏 向.抽样方法经常交叉使用,比如系统抽样中的第一均衡部分,可采用简单随机抽样, 分层抽样中,若每层中个体数量仍很大时,则可辅之以系统抽样. 关于用样本估计总体. 用样本频率分布来估计总体分布的重点是: 频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样 本频率分布估计总体分布,难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用. 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据, 非常直观地表明分布的形状, 使我们能够 看到在分布表中看不清楚的数据模式.但从直方图本身得不出原始的数据内容.频率分 布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果样本容量不断增大,分组的组距不断 缩小,那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线. 用茎叶图的优点是原有信息不会抹掉, 能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图显得不太方便 了.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 要注意:不要把直方图错认为条形图,两者的区别在于条形图是离散随机变量,纵坐标 刻度为频数或频率,直方图是连续随机变量,纵坐标刻度为频率/组距. 例如, (11 北京理 17)茎叶图可以读取原始的每一个数据; (10 北京理 11 文 12)考查 的是频率分布直方图; (07 北京理 18)考查的是条形图,其纵坐标为参加人数. 关于线性回归. 这部分隶属于变量的相关性,有散点图、正相关、 负相关、 线性相关、 回归直线等概念, 能从散点图判断两个变量的相关性.这部分的主要内容应当是通过对已有数据的分析 (画散点图) ,判断变量的线性相关性,求回归直线方程(公式不要求记忆) ,再利用回
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归直线对总体做出估计. 线性回归的意义在于 “估计”其重点不在于回归直线的求解. , 线 性回归是回归分析中最简单的一种,回归直线方程一定经过样本中心点( x , y ) ,它 是依赖于具体的一组观测值的.根据回归方程进行估计,仅是一个估计而已,而不是真 实发生的值.由于计算量较大,计算器又不能带进考场,所以给线性回归的考查带来了 不便.所以,教学复习时应着重让学生理解线性回归的意义. 关于古典概型. 古典概型是具有以下两个特点的概率模型: (1) 在一次试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.如不能真正把握这两个特点,就有 可能会出现一些错误的概率观念,例如,两枚掷骰子所有可能出现的结果是 36 种,而 2 不是 21 种(两个点数相同 6 种,另加 C6 ) ;抛两枚硬币所有可能结果是 4 种,而不是 3 种.所以,在分析古典概型中事件的概率时,一定要准确地确定基本事件. 计算古典概型概率时,有时可以用排列模式,也可以用组合模式,只要统一都可以.用 列举法一定要不重不漏.事件 A 的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数 n 与事 件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下三个方面的问题:一是本试验是否是等 可能的;二是本试验的基本事件数有多少个;三是事件 A 是 什么,它包含的基本事件 有多少. 例如,一个袋中有 3 个红球和 5 个白球,这些球只可辨颜色,现从中摸出 3 个球,求三 3 个球同色的概率.一般按组合模式,所有可能的结果有 C8 ? 56 种,同色的结果有
3 3 3 C3 ? C5 ? 11 种,因而概率为 11/56;若按排列模式,则所有可能的结果有 A8 ? 336 种,

8.

3 3 同色的结果有 A3 ? A5 ? 66 种,因而概率为 66/336=11/56. 有放回和无放回也是有区别的,如果将本题改为“现从中有放回地摸球 3 次,每次摸出 一个球” ,则所有可能的结果为 8 3 种,同色的结果有 (33 ? 53 ) 种,概率为 19/64. 此外,解答概率题要特别注意表述.例如,11 年北京理 17 题的表述: 解(I)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

所以平均数为 x ? 方差为 s ?
2

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

1 35 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ )当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20, 21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所 以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y ? 18) ?

2 1 ? . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8
18 19 20 21

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17

1 8 1 4 1 4 1 4

1 4 1 8

1 4

1 4

1 8

EY=17× P(Y=17)+18× P(Y=18)+19× P(Y=19)+20× P(Y=20)+21× P(Y=21) =17× +18× +19× +20× +21× =19. 9. 关于几何概型. 古典概型是针对所有可能结果有限、且每个结果的发生具有等可能性的概率计算模型, 几何概型则是针对所有可能结果无限、 且每个结果等可能的概率计算模型. 在几何概型
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中计算概率都是用区域的几何度量(长度、面积或体积)进行求解.在有些问题中,我 们思考的角度不一样, 会导致我们选择的几何度量不一样, 从而计算出的概率也不一样, 但又都是合理的.如: (1)在 Rt△ABC 中,∠ A=30° ,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使|AM|>|AC| 的概率.究竟是以角来考虑还是以线段上的点来考虑? (2)半径为 1 的圆内弦长超过半径的概率是多少?以弧长考虑,还是以 A 所在直径考 虑,还是以圆内一点为中点作弦?弦产生的方式不同,概率也不相同. 另外,有些几何概型题的建模要求很高,例如,甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某 处会面,并约定先到者应等候另一个人 20 分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的 概率. (这里详细分析建模过程) 所以,几何概型只适宜要求学生了解其概念,增强一些概率观念,不适宜考查. 10. 离散型随机变量及其分布列与数字特征. 所谓随机变量的分布列, 就是试验结果和概率之间的一个对应关系, 这与函数概念本质 上是相同的.只不过在函数概念中,函数 f(x)的自变量是实数 x,而在随机变量分布列 的概念中,随机变量 X 是试验结果,函数值是相应的概率值. 本部分仅限于有限个取值的离散型随机变量的分布列与数字特征.离散型随机变量 X 的概率分布(或称为离散型随机变量 X 的分布列)具有两个性质:①pi ≥0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围 内各个值的概率之和.两点分布(独立重复试验后讲二项分布,注意二项分布与两点分 布的关系) 、超几何分布是典型的离散型随机变量的分布列. 本部分需重点复习, 需要让学生学会分析具体问题中随机变量的取值, 以及每种情况对 应的概率值.掌握计算期望与方程的公式: EX ? ? xi pi , DX ? EX 2 ? ( EX )2 .
i ?1 n

11. 关于超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件概率为: C k ? C n?k P{X=k}= M n N ? M (k=0,1,2,…m) ,其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,N,M∈ N*. CN 记作 X~H(n,M,N),EX=

Mn( N ? M )( N ? n) Mn ,DX= . N 2 ( N ? 1) N

一般题 M、N 值较小,可以直接计算期望与方差,不要求记公式. 令次品率

N ?n M N ?n ? p ,则 EX=np,DX= ? np(1 ? p) ,当 N 无限大时, ? 1 ,因 N ?1 N N ?1

而超几何分布可以近似地看作二项分布. 超几何分布的学习不要模式化, 也不要去记上面这些公式, 实际上不知道超几何分布的 模型也可以求解分布列及期望与方差,因此,超几何分布主要是理解其模型,理解它与 二项分布的关系,会解决基本的超几何分布的分布列等相关问题. 12. 关于条件概率与事件的独立性.
条件概率是一种带有附加条件的概率.是指若事件 A 与事件 B 是相依事件,即事件 A 的概 率随事件 B 是否发生而变化,同样,事件 B 的概率与随事件 A 是否发生而变化,则在事件 A 已发生的条件下,事件 B 出现的概率称为事件 B 的条件概率. P( B | A) ? 条件概率有时也可以用缩小样本空间的方法,用 P ( B | A) ?

P( AB) .计算 P( A)

n( A ? B ) . n( A)

例如, (波利亚罐子模型)袋子中有 3 只红球,5 只白球,每次从袋中任取一只球,观察颜 色后放入袋中,并再放入 2 只所取球同色的球.若连续取球 4 次,试求前两次取到红球且 后两次取到白球的概率. 解:用 Ai (i=1,2,3,4)表示事件“第 i 次取到红球”, Ai 表示事件“第 i 次取到白球”, 则 所 求 概 率 为 : P( A1 A 2A A ) 4= P( A4 | A1 A2 A3 ) P( A3 | A A2 ) P( A2 | A1 ) P ( A1 ) = 3 1

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5? 2 5 3? 2 3 5 = .解答时不要错误地用独立事件的乘法 ? ? ? 3 ? 5 ? 3 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 2 3 ? 5 ? 2 3 ? 5 128
公式来求解.我们要分清是“AB 同时发生”P(AB) ,还是“在 A 发生的条件下 B 发生” P

(B|A) .事件的独立性是指:若事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即

| B ( P ? B | A? ? P ? B ? , P B A P?

?

?

,则称事件 A、B 相互独立. ? ?)

有时一个事件的发生与否与另一事件的发生与否是有关系的, 因而它们的发生概率也有 一定的关系. 条件概率的学习就是要让学生明白有些概率的计算是有条件的, 并能在此 基础上理解事件的独立性. 教学时可以结合上例让学生理解条件概率, 理解它与独立事 件的简洁公式的区别,不必刻意呈现一些较难理解的条件概率计算问题. 13. 关于正态分布. 了解正态曲线的性质: ① 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ② 曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; ③ 曲线在 x=μ 处达到峰值; ④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤ σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; 当 ⑥ μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ 当 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 如果对于任何实数 a,b (a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)= ? f ( x)dx ,则称 X 的分布为
a b

正态分布.若 X~N(μ ,σ 2),则三个特殊区间内取值的概率值为(3σ 原则) : ① P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;② P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;③ P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 正态分布的应用一般较少考查,湖北 2006 年曾考过大题,北京小题都不曾考过. 14. 重拾一些概率观念(供教师参考) . (1)古典概型中的基本事件必须出现的可能性相等.如抛掷两枚硬币,结果理解为三 种:两个正面、两个反面、一正一反. (2)同一问题的概型未必唯一.如:n 个人围成一个圆周,求其中甲、乙两人之间恰 有 r(<n-2)个人的概率.(圆周排列时,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)对此问题,至 少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验:(i) n 个人的任意一种排 列作为一个基本事件;(ii) 仅以甲、乙两人在 n 个人一行中的不同排法作为基本事 件组;(iii) 可由甲与乙之间的间隔数来考虑.不论取何种概型,本题的求概率均为 1/(n-1). (3)概率为零的事件未必是不可能事件:如几何概型. (4)概率与抽样方式有关:有放回和无放回概率是不一样的. (5)事件概率与试验的先后次序无关:试验(抽签)有先后,概率均相同. (6)离散型分布的最可能值不一定唯一:如二项分布有两个最可能值. (7)两两独立但不相互独立.例如,设有一个均匀的正四面体,第一,二,三面分别 涂上红,黄,兰一种颜色,第四面涂上红,黄,兰三种颜色.现以 A,B,C 分别记投一 次四面体底面出现红,黄,兰颜色的事件,则 A,B,C 两两独立,但 A,B,C 不相互独立. (8)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立,但 A,B,C 不两两独立.例如,设有一均匀正八面体, 其第 1,2,3,4 面涂有红色,第 1,2,3,5 面图黄色,第 1,6,7,8 面涂兰色.现 以 A,B,C 分别表示投一次正八面体,底面出现红,黄,兰颜色的事件,则 A,B,C 不两 两独立. (9)独立关系不具有传递性,不独立关系也不具有传递性.例如,考虑有两个孩子的 家庭全体,假定生男生女是等可能的,A 为“第一个孩子是男孩”,B 为“两个孩子不同 性别”, 为“第一个孩子是女孩”, A 与 B 独立, 与 C 独立, A 与 C 不独立. C 则 B 但 考 察掷三枚均匀硬币的试验:A 为“全正面或全反面”,B 为“至多两个正面”,C 为“至多 一个正面”,则 A,B 不独立,B,C 不独立,A,C 却独立. 2k (10)随机变量的数学期望未必都存在.如随机变量 X 取值为 xk ? ( ?1) k ?1 ,相应的 k
计数原理与概率统计·海淀区第一轮复习·第 10 页

概率为 Pk ?

1 .顺便指出,随机变量的方差也未必都存在,数学期望存在但方差却未 2k

必存在. 15. 概率学习中常见错误: (1) “频率”与“概率”混同. (2) “非等可能”与“等可能”混同. (3) “有序”与“无序”混同. (4) “互斥”与“对立”混同. (5) “互斥”与“独立”混同. (6) “条件概率 P(B|A)”与“积事件概率 P(AB)”混同. (三)备选习题 排列组合二项式定理 1. (08 北京理 11)若 ( x ?
2

1 n ) x2

展开式的各项数之和为 32,则 n=

,其展开式

中的常数项为 2.

. (用数字作答) 展开式的各项数之和为 ; 各项系数之和

1 5 2 (08 北京文 12)若 ( x ? 3 ) x

3.

4.

为 .(用数字作答) (07 北京理 5)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位 老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 (07 北京文 5) 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成, 其中 4 个数 字互不相同的牌照号码共有( ) A. C26

? ?
1

2

4 A10 个

2 B. A26 A4 个 C. C26 10

? ? 10
1 2

4



2 D. A26104 个

5. 6.

(06 北京理 3)在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之 和为奇数的共有 (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 (06 北京文 4)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数 字之和为偶数的共有( ) (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个
2 (06 北京理 10)在 ( x ? ) 的展开式中, x 的系数是_________(用数字作答).
7

7. 8. 9.

2 x

2? ? (06 北京文 10)在 ? x ? ? 的展开式中,x3 的系数是 x? ?

7

.(用数字作答)

(05 北京文 8)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承建 1 项, 其中甲工程队不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有
1 4 (A) C4C4 种 1 4 (B) C4 A4 种 4 (C) C4 种 4 (D) A4 种

10. (05 北京理 7)北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若 每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种 数为( )
12 4 4 (A) C14 C12C8 12 4 4 (B) C14 A12 A8

(C)

12 4 C14 C12C84 3 A3

(D) C14 C12C8 A3

12

4

4

3

1 6 ) 的展开式中的常数项是 x 1 6 12. (05 北京文 10) ( x ? ) 的展开式中的常数项是 x
11. (05 北京理 11) ( x ?

(用数字作答) . (用数字作答)

计数原理与概率统计·海淀区第一轮复习·第 11 页

概率统计 13. (08 北京理 17,前两问为文 18) (本小题共 13 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岁位服务,每上岗位至少 有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列. 14. (07 北京理 18) (本小题共 13 分) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公 益活动 (以下简称活动) 该校合唱团共有 100 名学生, . 他们参加活动的次数统计如图所示. (I)求合唱团学生参加活动的人均次数; (II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动 次数恰好相等的概率. (III)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参 加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及 数学期望 E? .
参加人数

50 40 30 20 10
活动次数

1 2 3 15. (07 北京文 18) (本小题共 12 分) 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站 (包括起点站和终点站) 在起点站开出的一辆公共汽 , 车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求: (I)这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率; 16. (06 北京理/文 18) (本小题共 13 分) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. (理)假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a, b, c ,且三门课程考试是 否及格相互之间没有影响. (Ⅰ )分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ )试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) (文)假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程 考试是否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率. 17. (05 北京理 17 文 18) (本小题共 13 分) 甲、 乙两人各进行 3 次射击, 甲每次击中目标的概率为

2 1 , 乙每次击中目标的概率 , 2 3

(I)记甲击中目标的次数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ; (文)甲恰好击中目标的 2 次的概率; (II)求乙至多击中目标 2 次的概率; (III)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. (文)求乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率.

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