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江苏省美术生数学一轮复习《15基本不等式》教学案


高中数学美术生一轮复习教学案(15)
§15 基本不等式

【考点及要求】 : 1.掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数的定理,了解其证明过程; 2.会用基本不等式证明不等式及解决简单的最大(小)值问题. 【基础知识】 : 1.设 a, b ? R ? , 则 a , b 的算术平均数为 2.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件: (2)等号成立的条件:当且仅当 3.几个重要的不等式:
[来源:Z§xx§k.Com]

, a , b 的几何平均数为

.

. 时取等号.

[来源:Z&xx&k.Com]

(1) a ? b ?
2 2

(a, b ? R)
2



b a ? ? a b

(ab ? 0)

( 3) ab

?a?b? ? ? (a, b ? R) ? 2 ?
值, 和定积有最
2

4.运用基本不等式求最值问题:积定和有 最 【基本训练】 :
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

值.

2 2 ? a?b ? a ?b 1.设 a, b ? R ,已 知命题 p : a ? b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成立 ? ? 2 ? 2 ?



条件. . . .

a b 2.若 a , b 为实数,且 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值为

? 3. 设 x, y ? R 且 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的最大值是

4.函数 y ?

x?5 x ?1

( x ? 0) 图象上最低点的坐标为

【典型例题讲练】 例 1. 已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值. x y

1

练习.在算式“ 4 ? ? ? 1 ? ? ? 30 ”中的 ?, ? 中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和 最小,则这两个数构成的数对 ??, ?? 应为 .

例 2.设 a ? b ? c, 且

1 1 n ? ? ,求 n 的最大值. a?b b?c a?c

练习.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0,2) 成立,则 a 的一个可能值是
2

.

【课堂小结】 【课堂检测】 1. 已知 a ? b ? 1, P ? 系是 . . .

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ), 则 P, Q, R 的大小关 2 2

? 2.设 x, y ? R 且 x ? 2 y ? 4 ,则 lg x ? lg y 的最大值是

3.设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为 a b

4 .已知 a ? 0, b ? 0,

1 3 ? ? 1 ,求 a ? 2b 的最小值. a b

2



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