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江苏省马坝中学2013届高三下学期期初检测数学试题


一、填空题 1.已知全集错误!未找到引用源。,集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。= .
a1 0 0 5 ? 4? 3 ,则 tan( a 1 ? a 2009 ) ? _______________.
3 2

2.已知等差数 列

{a n }

满足:

/>
3.已知边长为 a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值,这个定值为

a ,推广

到空间,棱 长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值,则这个定值为: 4 . 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ? ( x ) , 若 对 于 定 义 域 内 任 意 x 1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) , 有
f ( x1 ) ? f ( x 2) x1 ? x 2 ? f ?( x 1? x 2
2

)2 恒 成 立 , 则 称 f ( x ) 为 恒 均 变 函 数 . 给 出 下 列 函 数 : ①

f ( x ) = 2 x ? 3 ;② f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ;③ f ( x )=

1 x

;④ f ( x )= e ;⑤ f ( x )= ln x .其中为

x

恒均变函数的序号是 . (写出所有满足条件的函数的序号) .. 5.定义方程 f ( x ) ? f ? ( x ) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x ) ? x ,
h ( x ) ? ln ( x ? 1) , ? ( x ) ? co s x ( x ? (

? ?

, ) )的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ?

? , ? 的大小关系是


1 2a ? 1 b

6.设 a , b 为 正 数 , 且 a ? b ? 1, 则
x ?a
2

的最小值是

7.若函数 f ( x ) ?

x ?1

在 x ? 1 处取极值,则 a ?

[来源:学,科,网]

8.若 A ( ? 2 , ? 3 ), B (1,1) ,点 P ( a , 2 ) 是 AB 的垂直平分线上一点,则 a ? ___________. 9.已知平面向量 a , b ,且满足 a ? 1, a ? b ? 2 ,则 b 的取值范围为
? ?

?

?

?

?



.

2 10.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? n ? n ,那么它的通项公式为 a n ? _______

11.已知曲线 y=-

1 3

x +2 与曲线 y=4x - 1 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 的值为

3

2

12.设向量 a , b 的夹角为 ? ,且 a ? ( 3 , 3 ), 2 b ? a ? ( ? 1,1) 13.观察下列不等式 1+
1 2
2

,则 cos ? ?

.

<

3 2



1+

1 2
2



1 3
2

<

5 3



1+

1 2
2



1 3
2



1 4
2

<

7 4



?? 照此规律,第五个不等式为______________. ... 14. 在平面直角坐标系中, 定义 d ( P , Q ) ? x 1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 为两点 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) , 之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到 M ( ? 1, 0 ), N (1, 0 ) 两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④到 M ( ? 1, 0 ), N (1, 0 ) 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是___________. (写出所有正确命题的序号) 三、解答题 15.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ? d ( a ? 0 ) 的图象经过原点, f ? (1) ? 0 若 f ( x ) 在

x ? ? 1 取得极大值 2。

(1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)若对任意的 x ? [ ? 2 , 4 ], 都有
f ( x ) ? f ?( x ) ? 6 x ? m

,求 m 的最大值。

16.抛物线 x =4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为 邻边作平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.

2

[来源:Z§xx§k.Com]

17 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 给 定 两 点 A (1, 0 ), B ( 0 , ? 2 ) , 点 C 满 足
OC ? m OA ? n OB ,其中 m , n ? R ,且 m ? 2 n ? 1 .
x a
2 2

(1)求点 C 的轨迹方程; (2) 设

点 C 的轨迹与双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 , 且 a ? b ) 交于 M , N 两点, 且以 MN 为直径

的圆过原点,求证:

1 a
2

?

1 b
2

为定值; (3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于 3 ,

求双曲线实轴长的取值范围.

[来源:学科网 ZXXK]

18.设 0 ? a ? b ? 1 ? a ,解关于 x 的不等式 ( x ? b ) ? ( ax ) 。
2 2

19.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 CC1 和 AB1 的中点,点 F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3 (1)若 M 为 AB 中点,求证 BB1∥平面 EFM; (2)求证 EF⊥BC; (3)求二面角 A1—B1D—C1 的大小

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

20.甲、乙两个盒子里各放有标号为 1,2,3,4 的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒 中任取一小球,记下号码 x 后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码 y ,设随机变 量
X ? x? y

(1)求 y ? 2 的概率; (2)求随机变量 X 的分布列及数学期望.

参考答案 1.错误!未找到引用源。 2. ? 3 3.
6 3
[来源:Z.xx.k.Com]

a

4.①② 5. ? ? ? ? ? 6.3 7. a ? 3 8. ?
9 2



9.[1,3] 10. 2 n 11.
1 2
3 10 10

12.

13. 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?

1 4
3

2

?

1 5
2

?

1 6
2

?

11 6

14.①③④ 15. (1)
? f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d
2

? f '( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c
2

f (0 ) ? d ? 0

由题意得:

f '(1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0 f ( ? 1) ? ? a ? b ? c ? 2 f '( ? 1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0

?a ? ?b 解得: ? ?c ?d ?

?1 ? 0 ? ?3 ? 0
3

? f (x) ? x ? 3x

? f ( x ) ? f '( x ) ? 6 x ? m

(2)

? m ? f ( x )- f '( x )-6 x 令 g ( x ) ? f ( x )- f '( x )-6 x ? x ? 3 x ? 9 x ? 3
3 2 2

? g '( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9

令 g '( x ) ? 0 得 x1 ? 3 或 x 2 ? ? 1
m m ax ? g (3) ? ? 2 4

16.解:设 R(x,y),∵F(0,1) , ∴平行四边形 FARB 的中心为 C (
2

x 2

,

y ?1 2

) ,L:y=kx-1,代入
2

抛物线方程得 x -4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k -16>0, 即|k|>1 ①,
? y1 ? y 2 ?
x

x1

2

? x2 4

2

?

( x1 ? x 2 )

2

? 2 x1 x 2

? 4k

2

?2

,∵C 为 AB 的中点.

4
? 2k ? 2k
2

?

x2 ? x2 2 ?



2 y ?1 2

y2 ? y2 2

?1

∴?

? x ? 4k ? y ? 4k ? 3
2

, 消 去 k 得 x = 4(y+3), 由 ① 得 ,

2

x ? 4

,故动点 R 的轨迹方程为

x2=4(y+3)(

x ? 4

).

17.解.(1)设 C ( x , y ) ,因为 OC ? m OA ? n OB ,则 ( x , y ) ? m (1, 0 ) ? n ( 0 , ? 2 ) 所以 ?
?x ? m ? y ? ?2n , 又 m - 2 n ? 1,? x ? y ? 1 即点 C 的轨迹方程为 x ? y ? 1 ? 0

2 ? x2 y ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2 得 (b ? a ) x ? 2 a x ? a ? a b ? 0 明:由 ? a b ?x ? y ? 1 ?

设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ? ?

2a b
2

2 2

?a

, x1 x 2 ? ?

a

2

? a b
2 2

2

b

?a

2

因为以 MN 为直径的圆过原点,所以 OM ? ON ? 0 , 即 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
2 2 2 2 化简得 b ? a ? 2 a b ? 0 ,?

1 a
2

?
2

1 b
2

? 2
2

因为

1 a
2

?

1 b
2

? 2 ,所以 b

2

?

a

1 ? 2a

2

因为 e ?

3 ,? e

2

?

a

?b a
2

2

? 3? 0 ? a ?

1 2

所以双曲线实轴长的取值范围是(0,1 ]

18.解:原不等式可化为 [( 1 ? a ) x ? b ][( 1 ? a ) x ? b ] ? 0 ,因为 0 ? a ? b ? 1 ? a ,所以 当 0 ? a ? 1 时,不等式化为 ( x ?
a ? 1 时,不等式化为 ( x ?
b 1? a b 1? a )( x ? b 1? a ) ? 0 ,∴ ? x | x ? b 1? a b 1? a b 1? a

或x ?

b 1? a

? ;当

)( ? b ) ? 0 ,∴ ? x | x ? )( x ? b 1? a

?;
? x ? b 1? a

当 a ? 1 时,不等式化为 ( x ?

b 1? a

) ? 0 ∴ ?x |

?.

19 .(1)证明 连结 EM、MF,∵M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴BB1∥ME,又 BB1 平面 EFM,∴BB1∥平面 EFM (2)证明 取 BC 的中点 N,连结 AN 由正三棱柱得 AN⊥BC, 又 BF ∶FC=1∶3,∴F 是 BN 的中点,故 MF∥AN, ∴MF⊥BC,而 BC⊥BB 1,BB1∥ME ∴ME⊥BC,由于 MF∩ME=M,∴BC⊥平面 EFM, 又 EF 平面 EFM,∴BC⊥EF (3)解 取 B1C1 的中点 O,连结 A1O 知,A1O⊥面 BCC1B1,由点 O 作 B1D 的垂线 OQ,垂足为 Q, 连结 A1Q ,由三垂线定理, A1Q ⊥ B1D ,故∠ A1QD 为二面角 A1 — B1D — C 的平面角,易得∠

A1QO=arctan
20.解: (1) P ( y ? 2 ) ? P ( x ? 2, y ? 2 ) ? P ( x ? 2, y ? 2 )
? 1 4 ? 2 5 ? 3 4 ? 1 5 ? 1 4

(2)随机变量 X 可取的值为 0,1,2,3 当 X =0 时 , ( x , y ) ? (1,1), ( 2, 2 ), (3, 3), ( 4, 4 )
? P ( X ? 0) ? 1 4 ? 2 5 ? 1 4 ? 2 5 ? 1 4 ? 2 5 ? 1 4 ? 2 5 ? 2 5

当 X =1 时, ( x , y ) ? (1, 2 ), ( 2,1), ( 2, 3), (3, 2 ), (3, 4 ), ( 4, 3)
? P ( X ? 1) ? 1 4 ? 1 5 ? 1 4 1 5 ? 1 5 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 4 1 10 ? 1 5 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 4 ? 1 5 ? 3 10

P ( X ? 2) ?

; P ( X ? 3) ?

同理可得

? 随机变量 X 的分布列为

X

0 P
2 5 2 5 ? 1? 3 10 ? 2? 1 5

1
3 10 ? 3? 1 10 ?1

2
1 5

3
1 10

? EX ? 0 ?


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