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2015-2016学年高中数学 模块五综合测度 新人教A版必修5


模块五综合测度
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中,一定正确的是( ) 1 1 A.若 a>b 且 > ,则 a>0,b<0 a b a B.若 a>b,b≠0,则 >1 b C.若 a>b 且 a+c>b+d,则 c>d D.若 a>b,且 ac>bd,则 c>d 1 1 解析:A 正确,若 ab>0,则 a>b 与 > 不能同时成立;B 错,如取 a=1,b=-1;C 错, a b 如 a=5,b=1,c=1,d=2 时有 a+c>b+d;D 错,取 a=-1,b=-2,则 a>b,令 c=-3, d=-1,有 ac>bd,c<d. 答案:A 2 2 2.已知不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|x<-2 或 x>4},那么对于函数 f(x)=ax +bx +c 应有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 2 2 解析:∵不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|x<-2 或 x>4},∴a>0 且 x1=-2,x2=4 为 ax +bx+c=0 的根. b ? ?2=-a, ∴? c ? ?-8=a,
2

? ?b=-2a, ∴? ?c=-8a. ?
2

∴f(x)=ax -2ax-8a=a(x -2x-8),图象对称轴为直线 x=1. 由二次函数的图象(下图)与性质知 f(-1)=f(3).故选 D.

答案:D

3. 如图, 一轮船从 A 点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛 B, 又从 B 沿北偏东 10° 的方向行驶 10 海里至海岛 C,若此轮船从 A 点直接沿直线行驶至海岛 C,则此船沿( )方 向行驶( )海里至海岛 C( ) A.北偏东 60°;10 2

-1-

B.北偏东 40°;10 3 C.北偏东 30°;10 3 D.北偏东 20°;10 2
解析:由已知得在△ABC 中,∠ABC=180°-70°+10°=120°, AB=BC=10,故∠BAC=30°, 所以从 A 到 C 的航向为北偏东 70°-30°=40°,

? 1? 2 2 2 2 2 由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BCcos∠ABC=10 +10 -2×10×10×?- ?=300, ? 2?
所以 AC=10 3. 答案:B 2 4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 a - c 2 c =ac-bc,则 的值为( ) bsinB

A. C.

1 2

B.

3 2

2 3 D. 3 3 2 解析:∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac. 2 2 2 2 2 又∵c -a =bc-ac,∴b +c -a =bc. 2 2 2 b +c -a bc 1 在△ABC 中,由余弦定理得 cosA= = = ,∴A=60°. 2bc 2bc 2 b 3b = ,∴sinB= . sinA sinB 2a c 2ac 2 ∴ = = 3. 2 b·sinB 3b 3 由正弦定理得 答案:C 5.在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,则 cosC 的值为( ) 1 1 A.- B. 4 4 2 2 C.- D. 3 3 解析:由正弦定理,知 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,设 a=3k,b=2k,c= 2 2 2 2 2 2 a +b -c 9k +4k -16k 1 4k,k>0,由余弦定理得 cosC= = =- . 2ab 2×3k×2k 4 答案:A 6.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 解析:解法一:利用等比数列的通项公式求解. 3 6 ?a4+a7=a1q +a1q =2, ? 由题意得? 4 5 2 9 ?a5a6=a1q ×a1q =a1q =-8, ?
?q =-2, ? ∴? ?a1=1 ?
3

a

1 ? ?q3=- , 2 或? ? ?a1=-8,
9

∴a1+a10=a1(1+q )=-7. 解法二:利用等比数列的性质求解.

-2-

?a4+a7=2, ? 由? ?a5a6=a4a7=-8 ? ?q =-2, ? ∴? ?a1=1 ?
3

?a4=-2, ? 解得? ?a7=4 ?

?a4=4, ? 或? ?a7=-2. ?

1 ? ?q3=- , 2 或? ? ?a1=-8,
9

∴a1+a10=a1(1+q )=-7. 答案:D 7.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( ) π π 2π π A. , B. , 6 3 3 6 π π π π C. , D. , 3 6 3 3 π 解析:∵ 3cosA-sinA=0,∴A= , 3 2 ∵sinAcosB+sinBcosA=sin C, 即 sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B) π π 2 =sinC=sin C,∴C= ,∴B= . 2 6 答案:C

x+2y-4≤0, ? ? 8.当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1
围是(

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范

) ? 3? ? 3? A.?1, ? B.?1, ? ? 2? ? 2? 3 ? ? ? 3? C.?1, ? D.?1, ? ? 2? ? 2? 解析:先画出可行域,然后利用数形结合确定出最值,进一步求出 a 的值. 画可行域如下图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立,则 ?1≤2a+1≤4, ? 3 3 a>0, 数形结合知, 满足? 即可, 解得 1≤a≤ .所以 a 的取值范围是 1≤a≤ . 2 2 ?1≤a≤4 ?

答案:D 9. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列? A. 100 99 B. 101 101
? ?anan+1?

1 ? ?的前 100 项和为(

)

-3-

99 101 D. 100 100 解析:由 a5=5,S5=15 可得 C.

a1+4d=5, ? ? ? 5×4 5a1+ d=15 ? 2 ?
∴ 1 = 1

??

? ?a1=1, ?d=1 ?

? an=n,

anan+1 n?n+1? n n+1

1 1 = - ,

S100=?1- ?+? - ?+…+? - ? 2 2 3 100 101

? ?

1?

?1 1? ? ? ?

? 1 ?

1 ?

?

1 100 =1- = . 101 101 答案:A π π 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 6 4 的面积为( ) A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1 解析:先由正弦定理解出 c 的值,再运用面积公式求解. π π ∵B= ,C= , 6 4 π π 7π ∴A=π -B-C=π - - = . 6 4 12 b c 2 c 由正弦定理 = ,得 = , sinB sinC π π sin sin 6 4 2 2 即 = ,∴c=2 2. 1 2 2 2 1 1 7π ∴S△ABC= bcsinA= ×2×2 2sin = 3+1.故选 B. 2 2 12 答案:B * 11.设数列{xn}满足 logaxn+1=1+logaxn(a>0 且 a≠1,n∈N ),且 x1+x2+…+x100=100, 则 x101+x102+…+x200 的值为( ) 2 A.100a B.101a 100 100 C.101a D.100a 解析:∵logaxn+1=1+logaxn, ∴logaxn+1=loga(axn),∴

xn+1 =a, xn

∴数列{xn}是公比为 a 的等比数列. 100 100 设 b1=x1+x2+…+x100,b1=x101+x102+…+x200,则 b2=b1·a =100a 答案:D 1 9 2 12.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 am,an,使得 am·an=16a1,则 + 的最

m n

小值为( ) A.2 B.16 8 3 C. D. 3 2

-4-

解析:由 a3=a2+2a1 可得公比 q=2 或 q=-1(舍),所以由 am·an=16a1可得 a12 ·a12 1 9 1 ?1 9? 1 ? n 9m ? 1 -1 2 = 16a 1 , 化 简 可 得 : m + n = 6 , 所 以 + = ? + ? ·(m + n) = ?1+ + +9? ≥ m n m n 6 ?m n? 6? ? 6

2

m-1

n

? ?10+2 ?

n 9m? 8 · ?= ,当且仅当 n=3m 时等号成立,故选择 C. m n? 3

答案:C 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,那么,不等式 f(x+ 2)<5 的解集是________.

解析: 设 x<0,则-x>0. 2 ∵当 x≥0 时,f(x)=x -4x, 2 ∴f(-x)=(-x) -4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), 2 ∴f(x)=x +4x(x<0), 2 ? ?x -4x,x≥0, ∴f(x)=? 2 ?x +4x,x<0. ?
? ?x -4x=5, 由 f(x)=5,得? ?x≥0 ?
2

? ?x +4x=5, 或? ?x<0, ?

2

∴x=5 或 x=-5. 观察图象可知,由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 答案:{x|-7<x<3} 14.某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元,另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元,在满足需要的条件下,最少 要花费________元. * * 解析:设购买 35 kg 的 x 袋,24 kg 的 y 袋,则 35x+24y≥106,x∈N ,y∈N ,共花费 z * * =140x+120y.作出由 35x+24y≥106, x∈N , y∈N 对应的平面区域, 再作出目标函数 z=140x +120y 对应的一组平行线,观察在各点(1,3)处 z 最小,为 500 元. 答案:500 2 2 15.对于使-x +2x≤M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做-x +2x 的上确 4 界,则函数 y=2-3x- (x>0)的上确界为________.

x

4 解析:∵x>0,∴3x+ ≥2

x

4 ? ?3x= , 4 x 3x· =4 3 当且仅当? x ? ?x>0,

? ? ?

2 3 即x= 时取等号 , 3

? ? ?

4? 4 2 3 ? ∴y=2-3x- =2-?3x+ ?≤2-4 3,当且仅当 x= 时取等号.故 y 的上确界为 2 x? x 3 ? -4 3. 答案:2-4 3 16.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=

an ?1 ? * * (n∈N ),若 bn+1=(n-λ )? +1?(n∈N ),b1 an+2 ?an ?
-5-

=-λ ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为________. 1 an+2 2 解析:∵ = =1+ ,

an+1

an

an

∴?

? 1 +1?=2? 1 +1?. ? ? ? ?an+1 ? ?an ?
a1
? an ?

?1 ? 1 又∵ +1=2,∴? +1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.

∴ +1=2 ,∴bn+1=(n-λ )·2 .

1

n

n

an

又∵b1=-λ ,∴bn=(n-1-λ )·2 . 又∵数列{bn}为单调递增数列, n n-1 ∴bn+1>bn,∴(n-λ )·2 >(n-1-λ )·2 . * ∴λ <n+1 对于 n∈N 恒成立,∴λ <2. 答案:(-∞,2) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 2 2 2 2 在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,若(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A +B),判断该三角形的形状. 2 2 2 解析:利用和差角公式,将条件式展开,得 (a + b )·(sinAcosB - cosAsinB) = (a - b2)(sinAcosB+cosA·sinB),即 a2cosAsinB=b2sinAcosB. ① 方法一:利用正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB, 代入①式化简,得 sinAcosA=sinBcosB, 2 (∵4R sinAsinB≠0) ∴sin2A=sin2B,∴2A=2B 或 2A+2B=π , π 即 A=B 或 A+B= , 2 ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形. 方法二:由正弦、余弦定理将角化边,得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 2 2 a· ·b=b ·a· , 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ), 2 2 2 2 2 ∴(a -b )(a +b -c )=0, 2 2 2 ∴a=b 或 a +b =c . ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形. 18.(本小题满分 12 分) 1 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值.

n-1

ab

30-2b 解析:方法一:∵a= , b+1 2 30-2b -2b +30b ∴ab= ·b= . b+1 b+1
2 -2t +34t-32 ? 16? 由 a>0 得,0<b<15.令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2?t+ ?+34.

t

?

t?

16 ∵t+ ≥2

t· =8,∴ab≤18,∴y≥ . t 18 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立. t
1 1 ∴当 a=6,b=3 时,函数 y= 取得最小值为 . ab 18 方法二:由已知得 30-ab=a+2b. ∵a+2b≥2 2ab,
-6-

16

1

∴30-ab≥2 2ab. 2 令 u= ab(u>0),则 u +2 2u-30≤0, 1 ∴0<u≤3 2,∴0< ab≤3 2,ab≤18,y≥ . 18
? ? ?2b+ab+a=30, ?a=6, 当且仅当? 即? 时,等号成立. ?ab=18 ?b=3 ? ? 19.(本小题满分 12 分) * 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N . (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 2 2 解析:(1)令 n=1,得 2a1-a1=a1,即 a1=a1. 因为 a1≠0,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1 两式相减,得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1. 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. n-1 因此,an=2 . n-1 所以数列{an}的通项公式为 an=2 . n-1 n-1 (2)由(1)知,nan=n·2 .记数列{n·2 }的前 n 项和为 Bn, 2 n-1 于是 Bn=1+2×2+3×2 +…+n×2 , ① 2 3 n 2Bn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 . ② 2 n-1 n ①-②,得-Bn=1+2+2 +…+2 -n·2 n n n =2 -1-n·2 .从而 Bn=1+(n-1)·2 . 20.(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; ? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? 解析:(1)因为 A=2B, 所以 sinA=sin2B=2sinBcosB. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac

因为 b=3,c=1,所以 a =12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cosA= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π , 1 2 2 2 所以 sinA= 1-cos A= 1- = . 9 3 π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sinAcos +cosAsin = × +?- ?× = . 4? 4 4 3 2 ? 3? 2 6 ? 21.(本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1=1,an+1· an=8. (1)求 a2,a3; (2)设 bn=log2an,求证:{bn-2}为等比数列; (3)求{an}的前 n 项积 Tn. 解析:(1)a2· a1=8,a1=1,∴a2=8. a3· a2=8,a2=8,∴a3=2 2.

2

-7-

an bn+1-2 log2an+1-2 (2)方法一: = = = bn-2 log2an-2 log2an-2
1 ∴{bn-2}为等比数列,公比为- . 2

log2

8

-2

1 log28- log2an-2 2 1 2-log2an 1 = × =- , log2an-2 2 log2an-2 2

1 方法二:∵an+1· an=8,∴log2(an+1· an)=log28,即 log2an+1+ log2an=3. 2 1 又∵bn=log2an,∴bn+1+ bn=3, 2 1 bn+1-2 1 ∴bn+1-2=- (bn-2),∴ =- , 2 bn-2 2 1 ∴{bn-2}为等比数列,公比为- . 2 (3)设数列{bn-2}的前 n 项和为 Sn. ? ? 1?n? -2?1-?- ? ? ? ? 2? ? Sn= =b1+b2+b3+…+bn-2n=log2a1+log2a2+…+log2an-2n=log2Tn- 1 1+ 2 2n, 4?? 1?n ? ∴log2Tn= ??- ? -1?+2n, 3?? 2? ?
4

∴Tn=2 3 2 . 22.(本小题满分 12 分)
-( bn+2) 3 2 1 3 * 已知数列{bn}的前 n 项和 Sn= n - n,数列{an}满足 an=4 (n∈N ),数列{cn}满 2 2 足 cn=anbn. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn; 1 2 (3)若 cn≤ m +m-1 对于一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 1 2 ?3 2 1 ? ?3 ? 解析:(1)由已知得,当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=? n - n?-? ?n-1? - ?n-1??= 2 ? ?2 2 ?2 ? 3n-2, 又 b1=1=3×1-2,符合上式, 故数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2. 3 又∵an=4-(bn+2),

1 [(- )n-1]+2n

?1?n =? ? , ?4? ?1?n 故数列{an}的通项公式为 an=? ? . ?4? ?1?n (2)cn=anbn=(3n-2)·? ? , ?4? 1 1 ? ? ?1? ?1? Tn=1× +4×? ?2+7×? ?3+…+(3n-2)×? ?n, 4 ?4? ?4? ?4? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? Tn=1×? ?2+4×? ?3+7×? ?4+…+(3n-5)×? ?n+(3n-2)×? ?n+1, 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 上面两式相减得
∴an=4 =4
-8-

_

bn ? 2 3

_

? 3 n ? 2 ?? 2 3

3 1 ??1? ?1? ?1? Tn= +3×?? ?2+? ?3+? ?4+…+ 4 4 ??4? ?4? ?4?

?1?n?-(3n-2)×?1?n+1=1+3× ?4? ? ?4? 4 ? ?? ? ?
+1

?1?2?1-?1?n-1? ?4? ? ?4? ? ? ?? ? ? ?
1 1- 4

?1?n+1 1 ?1?n -(3n-2)×? ? = -(3n+2)×? ? 2 ?4? ?4?



2 3n+2 ?1?n ∴Tn= - ×? ? . 3 3 ?4? ?1?n (3)∵cn=(3n-2)·? ? , ?4? ?1?n +1 ?1? n ?1? n ?3n+1-?3n-2?? =-9·?1? n+ ∴ cn +1 -cn =(3n+1)·? ? - (3n -2)·? ? =? ? ·? ? ?4? ?4? ?4? ?4? ? 4 ? ? ? 1 (n-1). 当 n=1 时,cn+1=cn; 1 当 n≥2 时,cn+1<cn,∴(cn)max=c1=c2= . 4 1 2 若 cn≤ m +m-1 对一切正整数 n 恒成立, 4 1 2 1 则 m +m-1≥ 即可, 4 4 2 ∴m +4m-5≥0,即 m≤-5 或 m≥1. 故实数 m 的取值范围为{m|m≤-5 或 m≥1}.

-9-


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