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2014届高考数学一轮复习 第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学案 理 新人教A版


10.1

第十章 计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考纲要求 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,会用它们分析和解决一些简单的实际问 题.

1.分类加法计数原理:完成一件事情可以有 n 类方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的 方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那 么完成这件事情共有__________种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 ______________种不同的方法. 1.4 封不同的信投入三个不同的信箱中,所有投法的种数是( A.3 A.3
4

). ).

B.4 B.4

3

C. A C. A

3 4 3 4

D. C D. C

3 4 3 4

2.4 个人去借 3 本不同的书(全部借完),所有借法的种数是(
4 3

3.有 A,B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两 种车床,丙只会操作 A 种车床,现在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床,不同的选 派方法有( ). A.6 种 B.5 种 C.4 种 D.3 种 4. 有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤, 如果一条 长裤与一件上衣配成一套, 则不同的配法种数是________. 5.农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这 6 种种子中选出 4 种,分别种植在 4 块不同的空地上(1 块空地只能种 1 种作物).若小李已决 定在第 1 块空地上种玉米或高粱,则不同的种植方案有________种.(用数字作答)

一、分类加法计数原理的应用 【例 1】高三(1)班有学生 50 人,男 30 人,女 20 人;高三(2)班有学生 60 人,男 30 人,女 30 人;高三(3)班有 学生 55 人,男 35 人,女 20 人. (1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席,有多 少种不同的选法? 方法提炼 运用分类加法计数原理时,首先要根据问题的特点,确定分类标准,分类应满足:完成 一件事的任何一种方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即“类”与“类”间有独立性与 并列性. 请做演练巩固提升 1 二、分步乘法计数原理的应用 【例 2-1】现要排一份 5 天的值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人.每个人都可 以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排 法? 【例 2-2】已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M), 问: (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?
1

(3)P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点? 方法提炼 运用分步乘法计数原理时,首先要根据问题的特点,按事件发生的过程合理分步,然后 再确定每一步中完成任务有多少种方法,最后根据分步乘法计数原理求出所有的方法数. 请做演练巩固提升 4 三、两个计数原理的综合应用 【例 3-1】如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每 个区域涂 1 种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有( ).

A.72 种 B.96 种 C.108 种 D.120 种 【例 3-2】编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个 盒子只能放一个小球,且 A 球不能放在 1,2 号盒子中,B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中, 则不同的放法有__________种.

方法提炼 对于某些复杂的问题,有时既要用分类加法计数原理,又要用分步乘法计数原理.运用 两个计数原理解题时是先分类、后分步,还是先分步、后分类,应视具体问题而定,并搞清 分类或分步的具体标准是什么,完成事情的含义和标准是什么. 请 做演练巩固提升 5 注意分情况求解勿重勿漏 【典例】 在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息, 不同排列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为( ). A.10 B.11 C.12 D.15 解析:(方法一)分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论. (1)若 0 个相同,则信息为:1001.共 1 个. (2)若 1 个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共 4 个. (3)若 2 个相同,又分为以下情况: ①若位置一与二相同,则信息为:0101; ②若位置一与三相同,则信息为:0011; ③若位置一与四相同,则信息为:0000; ④若位置二与三相同,则信息为:1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为:1100; ⑥若位置三与四相同,则信息 为:1 010. 共有 6 个. 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1+4+6=11. (方法二)若 0 个相同,共有 1 个; 1 若 1 个相同,共有 C4=4(个);
2

若 2 个相同,共有 C4=6(个). 故共有 1+4+6=11(个). 答案:B 答题指导:1.本题考查的是分类加法计数原理,难度不大,属中档题. 2.本题要求至多有两个对应位置上的数字相同,应按照 0 个相同、1 个相同、2 个相同 进行讨论,本题易错点是易漏掉 0 个相同的情况.

2

1.6 名同学安排到 3 个社区 A,B,C 参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中 甲同学必须到 A 社区,乙和丙同学均不能到 C 社区,则不同的安排方法种数为( ). A.12 B.9 C.6 D.5 2.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回到休息 室取衣服.由于灯光 暗淡,看不清自己的外衣,则至少有两人拿对自己的外衣的情况有( ). A.30 种 B.31 种 C.35 种 D.40 种 3.形如 45132 这样的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的 数字大,则由 1,2,3,4,5 可构成的数字不重复的五位“波浪数”的个数为( ). A.12 B.24 C.16 D.20 4.在 2012 年伦敦奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛,其中甲、乙、丙 三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上, 则安排这 8 名运动员比赛的方式共 有________种. 5.若一份试卷共有 10 道选做题,分为两个系列,每个系列有 5 道题,要求考生选做 6 道题,但每个系列至多选 4 道题,则每位考生选做方案种数为__________.

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参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.N=m1+m2+?+mn 2.N=m1×m2×?×mn 基础自 测 1.A 解析:每封信有 3 种投法,根据分步乘法计数原理,4 封不同的信投入三个不同 4 的信箱,共有 3×3×3×3=3 种投法. 2.B 解析:每本书有 4 种借法, 根据分步乘法计数原理, 4 个人去借 3 本不同的书 (全 3 部借完)共有 4×4×4=4 种借法. 3.C 解析:从三名工人中选甲、乙两人有 2 种选派方法;选中甲、丙,则只有 1 种选 派方法;选中乙、丙,只有 1 种选派方法,共 2+1+1=4 种. 4.12 解析:先选上衣,从 4 件上衣中选一件有 4 种,第二步选长裤,从 3 条长裤中 选一条有 3 种,由分步乘法原理可知有 4×3=12 种配法. 1 3 5.120 解析:由已知条件可得第 1 块地有 C2种种植方法,则第 2~4 块地共有 A5种种 1 3 植方法,由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有 C2A5=120 种. 考点探究突破 【例 1】解:(1)从高三(1)班 50 人中选一人有 50 种选法;从高三(2)班 60 人中选一人 有 60 种选法;从高三(3)班中选一人有 55 种选法, ∴共有 50+60+55=165(种). (2)从高三(1)班、(2)班男生中选一人有 30+30=60(种)选法,从高三(3)班女生中选 有 20 种选法, ∴共有 30+30+20=80(种). 【例 2-1】解:先排第一天,可排 5 人中的任一人,有 5 种排法;再排第二天,此时 不能排第一天已排的人,有 4 种排法;再排第三天,此时不能排第二天已排的人,仍有 4 种排法;同理,第四、五两天均各有 4 种排法.由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排 法数为:5×4×4×4×4=1 280(种). 【例 2-2】解:(1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成: 第一步确定 a 的值,共有 6 种取法; 第二步确定 b 的值,共有 6 种取法. 故 P 可表示平面上 36 个不同的点. (2)确定第二象限点,可分两步完成:第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种取法;第 二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种取法.由分步乘法计数原理,得到 P 可表示第二象限的 点的个数是 3×2=6. (3)点 P(a,b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=b, 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素, 共有 6 种取法, 即在直线 y=x 上的点有 6 个. 由(1)得 P 可表示不在直线 y=x 上的点共有 36- 6=30(个). 4 【例 3-1】B 解析:若 1,3 不同色,则 1,2,3,4 必不同色,有 3A4=72 种涂色法;若 1 3 1,3 同色,有 C4A3=24 种涂色法.根据分类加法计数原理可知,共有 72+24=96 种涂色法. 【例 3-2】30 解析:根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C,D, 3 E 有 A3 3=6 种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有 A3=6 种不同的放法; (2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C,D, 3 E 有 A3 3=6 种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有 A3=6 种不同的放法; (3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号,3 号,5 号盒子中的任何一个 ,余 3 1 3 下的三个盒子放球 C,D,E 有 A3=6 种不同的放法,根据分步计数原理,此时有 A3A3=18 种 不同的放法. 综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种. 演练巩固提升
1 2 1.B 解析:当乙、丙中有一人在 A 社区时有 C1 2C3C2 =6 种安排方法;当乙、丙两人

4

2 都在 B 社区时有 C1 3C2 =3 种安排方法,所以共有 9 种不同的安排方法.

2.B 解析:至少有两人拿对自己的外衣,分为 2 人拿对,3 人拿对和全拿对自己的外 2 3 衣,2 人拿对有 C5×2=20 种,3 人拿对有 C5×1=10 种,全拿对有 1 种,共 20+10+1=31 种. 2 3 3.C 解析:当十位数字和千位数字排 4,5 时,有 A2A3=12 个“波浪数”;当十位数字 2 排 3, 千位数字排 5 时,万位数字必须排 4,其他两位排 1,2,有 A2=2 个“波浪数”; 同理, 2 交换 3 与 5 的位置,也有 A2=2 个“波浪数”.故共有 16 个“波浪数”. 3 5 4. 2 880 解析: 先安排甲、 乙、 丙三人在 1,3,5,7 号跑道上有 A4种, 余下 5 人有 A5种. 由 3 5 分步乘法原理得 A4×A5=2 880 种. 5. 200 解析: 因为每个系列至多选 4 道题, 所以分为两类: 一类是一个系列选 4 道题, 2 4 2 另一个系列选 2 道题,共有 A2·C5·C5=100 种方法;另一类是每个系列各选 3 道题,共有 3 3 C5·C5=100 种方法.由分类计数原理得共有 100+100=200 种不同的选做方案.

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