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吉林省吉林市第一中学校2015-2016学年高一9月检测数学试题


2015-2016 学年度上学期吉林一中 9 月数学检测考卷 高一数学测试题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 分卷 I 分卷 I 注释

一、 选择题(注释) 1.

设函数 f ( x )= x -4 x +3, g ( x )=3 -2,集合 M ={ x ∈ R | f ( g ( x )) >0}, N ={ x ∈ R | g ( x )<2},则 M ∩ N 为?( A.(1,+∞) 2. 已知函数 y=log A.(0,1) B.(0,1)
a 2

x



C.(-1,1)

D.(-∞,1)

(2-ax)在区间[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的范围是( ) C.(0,2) D.(2,+∞)

B.(1,2)

3. 已知 0<a<1, ( ) A.x>y>z 4. 已知 log A.4 B.8
a





,则

B.z>y>x (x
1

C.y>x>z
2 006

D.z>x>y
2 1

x

2

?x
a

)=4,则 log

a

x

+log

a

x

2 2

+?+log

a

x

2 2 006

的值是( )

C.2 D.log

4

5. 已知

是(-∞,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是( )

A.(1,+∞)

B.(-∞,3)

C.[

,3)

D.(1,3)

6. 若 a=2

0.5

,b=log

π

3, C.c>a>b
2

,则( ) D.b>c>a

A.a>b>c

B.b>a>c
x

7. 若集合 A={y|y=2 A.A B B.A

,x∈R},B={y|y=x

,x∈R},则( )

B C.A=B D.A∩B=

8. 函数 y=

的值域是( ) D.[-1,0)

A.(0,+∞) B.(-∞,0] C.(0,1] 9. 若函数 f(x)=ka -a 象是下图中的( )
x -x

(a>0 且 a≠1)既是奇函数,又是增函数,则 g(x)=log a (x+k)的图

10. 如图给出了一种植物生长时间 t(月)与枝数 y(枝)之间的散点图.请你根据此判断这 种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )

A.指数函数:y=2 C.幂函数:y=t
3

t

B.对数函数: D.二次函数:y=2t
2

11. 今有一组数据,如下表所示:

x y

1 3

2 5

3 6.99

4 9.01

5 11

下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是 A.指数函数 B.反比例函数 12. 方程 a A.0 个
| x |

C.一次函数 D.二次函数 )

= x

2

(0< a <1)的解的个数为(

B.1 个

C.0 个或 1 个 D. 2 个 分卷 II 分卷 II 注释

二、 注释(填空题)

13. 已知函数 f ( x )=log 14.

3

的值域为[0,1],则 b 与 c 的和为________.



,

,

由大到小排列为__________.

15. 不等式

的解集为__________.

16. 方程

=3 的解是_____________________.

三、 注释(解答题)

17. 设 f(x)=lg

,且当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围.

18. 设 a 是实数,

(x∈ R ).

(1)证明不论 a 为何实数,f(x)均为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f(-x)+f(x)=0 成立.

19. 已知 lgx+lgy =2lg(x-2y),求 20. 解不等式 log
a

的值. (x-1).

(2x-5)>log

a

21. 给出函数 f ( x )=log (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求 f
-1

a

( a >0, a ≠1).

( x )的解析式.

22. 试讨论函数 f(x)=log

a

(a>0 且 a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.

答案解析部分(共有 22 道题的解析及答案) 一、选择题 1、D 函数 f ( x )=( x -3)( x -1),令 f ( x )>0 得 x >3 或 x <1,不等式 f ( g ( x )) >0 可化为 g ( x )>3 或 g ( x )<1,即 3
x

-2>3 或 3

x

-2<1,分别求解得 x >log
x

3

5 或 x <1,即 M ={ x ∈ R | x >log 3 5 或 x <1}, N ={ x ∈ R |3 -2<2}={ x ∈ R | x <log
3

4},所以 M ∩ N ={ x ∈ R | x <1},故选 D 项.

2、解析:y=log a (2-ax)由 y=log a u 与 u=2-ax 复合而成,要使在[0.1]上是减函数,则有 两种可能 y=log 答案:B 3、 高手点睛 小关系. 将 x、y、z 化为以 a 为底的对数,由 0<a<1 时,y=log a x 是减函数得大
a

u 减且 u=2-ax 增,或 y=log

a

u 增且 u=2-ax 减,经验证知 B 正确.

思维流程

答案: C 技术感悟 比较对数的大小,常化为同底数的对数,利用对数函数的单调性得解,必要时

可借用 0,1 作为桥梁比较. 4、解析:log 答案:B 5、 答案: D <3-5a; 点拨: 依题意, 有 a>1, 且 3-a>0, 解得 1<a<3. 又当 x<1 时, (3-a)x-4a
a

x

2 1

+log

a

x

2 2

+?+log

a

x

2 2006

=2log

a

(x

1

x

2

?x

2 006

)=2×4=8.

当 x≥1 时,log 6、 答案: A 7、解析:因 2 答案:A
x

a

x≥0,所以 3-5a≤0.解得

,所以 1<a<3,故选 D.

点拨: 本题利用指数函数、对数函数的单调性比较三数的大小. >0,而 x
2

≥0,∴B

A.

8、 解析: 函数的定义域是 R ,设 y=3 ,u=-x ,∵x∈ R ,∴u≤0.∴0<y≤1.故选 C. 答案: C 9、 答案: D
x

u

2

点拨: 由 f(x)=ka -a
a

x

-x

是奇函数,得 ka

-x

-a +ka
a

x

x

-a

-x

=0,即(k-1)(a

+a

-x

)=0,所以 k=1,于是 g(x)=log

(x+1)的图象可以由 y=log

x 左移 1 个单位得到.

10、

11、 解析: 画出散点图,如图所示.

观察散点图,可见各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示. 答案: C

12、D 二、填空题 13、解析:因为 f ( x )的值域为[0,1],即

0≤log

3

≤1,所以

当且仅当

时,0≤log

3

≤1 取等号.

解方程组可得 答案:4 或 0 14、



思路 解析: 本题考查指数函数与幂函数的综合运用.

注意到 又因为 综合得 答案: > >

<0,而 = ,且 y= > >

>0,

>0; < .

在[0,+∞)上是增函数,所以 . .

15、 高手点睛

将不等式两边化为同底数,用指数函数单调性计算.

思维流程 答案: [-3,1] 技术感悟 借助指数函数的单调性解 不等式,首先要化为同底数.

16、 解析: 由

=3 得 33

2

x+23

x

-1=0.

∴3

x

=

或3

x

=-1(舍). ∴x=-1.

答案: -1 三、解答题

17、 解析: 欲使 x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,需 1+2 +4 a>0 恒成立,也就是 a>-[(

x

x

)

x

+(

)

x

](x≤1)恒成立.

∵u(x)=-[(

)

x

+(

)

x

]在(-∞,1]上是增函数,

∴当 x=1 时,[u(x)]

max

=-

.

于是可知,当 a>-

时,满足题意,即 a 的取值范围为(-

,+∞).

答案:a 的取值范围为(18、 答案: (1)证明:设 x

,+∞).
1

,x

2

∈ R ,且 x

1

<x

2

,Δ x=x

1

-x

2

<0,则

, ∵函数 y=2
x x

在 R 上是增函数且 x

1

<x

2

,∴

,即



又由 2

>0,得

,∴Δ y<0.

∵此结论与 a 的取值无关,∴不论 a 为何实数,f(x)均为增函数.

(2)解:由 f(-x)+f(x)=0,得



,得 a=1. 点拨: 运用函数单调性定义证明 f(x)为增函数,应注意Δ y 的变形形式,应化成几个因式相 乘、除形式便于讨论正负. 19、 错解: ∵lgx+lgy=2lg(x-2y),∴xy=(x-2y) ,即 x -5xy+4y =0,即(x-y)(x-4y)=0.
2 2 2

∴x=y 或 x=4y,即











错解分析: 错误在于遗忘了在解题过程中,“对数的真数必须大于零”这一前提,因而出现 了 0 和 4 这两个结果,这是在运算过程中忽略了定义域造成的. 正解: 由已知得 xy=(x-2y)
2

,即(x-y)(x-4y)=0,得 x=y 或 x=4y.

∵x>0,y>0,x- 2y>0,∴x>2y>0.

∴x=y 应舍去.∴x=4y,即







20、 错解一: 由 2x-5>x-1,得 x>4,故原不等式的解集为{x|x>4}. 错解分析: 未考虑对数函数的定义域以及底数 a 的影响.

错解二: 由

得 x>4,故原不等式的解集为{x|x>4}.

错解分析: 未考虑底数 a 对不等式的影响.

正解: 当 a>1 时,原不等式等价于

解得 x>4.

当 0<a<1 时,原不等式等价于

解得



综上,得当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x>4};

当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|

}.

21、解:(1)由题意,得

>0.解之,得 x <-2 或 x >2.

所以函数定义域为{ x | x <-2 或 x >2}. (2)由(1)可知定义域关于原点对称,则

f (- x )=log

a

=log

a

=log

a

=-log

a

=- f ( x ).

所以函数 y = f ( x )为奇函数.

(3)设 y =log

a

,有

= a

y

,解得 x =



所以 f

-1

( x )=

, x ∈{ x | x ≠0, x ∈ R }.

22、 解析: 本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清 函数的复合过程.

解:设 u=

,任取 x

2

>x

1

>1,则

u

2

-u
1

1

=
2

∵x

>1,x
1

>1,∴x ,∴x
1

1

-1>0,x
2

2

-1>0.

又∵x

<x

2

-x

<0.

∴ 当 a>1 时,y=log ∴log
a a

<0,即 u

2

<u

1

.

x 是增函数, u
1

u

2

<log

a

,即 f(x

2

)<f(x

1

);
a

当 0<a<1 时,y=log

a

x 是 减函数,∴log

u

2

>log

a

u

1

,即 f(x

2

)>f(x

1

).

综上可知,当 a>1 时,f(x)=log

a

在(1,+∞)上为减函数;

当 0<a<1 时,f(x)=log

a

在(1,+∞)上为增函数.

答案:当 a>1 时,f(x)=lo g

a

在(1,+∞)上为减函数;

当 0<a<1 时,f(x)=log

a

在(1,+∞)上为增函数.


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